он с ценой исполнения НО приобретет дельту 50. Очевидно, если это произойдет в краткий промежуток времени, можно даже ожидать, что премия, наблюдавшаяся на 100 -колл при цене актива 100, будет приблизительно такая же при цене актива 110, но теперь уже на 110 -колл. Причина оговорки относительно времени ясна: следует учесть еще временной распад. Кроме того, влияние будут оказывать такие факторы, как волатильность и процентные ставки.
Таким образом, если мы выясним отношение изменения опционных премий близлежащих цен исполнения к величине расстояния между этими ценами исполнения, то получим дельту опциона. При этом будет учтена также и гамма, поскольку она тоже влияет на стоимость опциона, поэтому мы компилируем оба показателя чувствительности: дельту и гамму, выясняя подобным образом экспозицию опционной компоненты.
В принципе, есть два варианта расчета профиля дельт опционов, один из которых выполняется в два этапа, одновременно предоставляя дополнительные сведения о характере кривой, поэтому мы последовательно разберем все варианты, чтобы получить полное понимание предлагаемой методики. Обратите внимание: в контексте данного изложения дельту, выясняемую путем элементарных расчетов, используя при этом только ценовые ряды, мы будем называть «эмпирической дельтой», чтобы исключить возможность путаницы с дельтой, определяемой по модели. Так же поступим и с экспозицией, определив ее как «эмпирическая экспозиция».
Первый вариант предполагает сначала выяснить дельты опционов для случая понижения цен - это достаточно условное название, просто облегчающее понимание вопроса, а также для варианта повышения цен. Соответственно вычисляемые скорости изменения цены опциона для каждого случая будут «эмпирическая дельта на понижении» и «эмпирическая дельта на повышении». После этого остается выяснить среднее значение полученных дельт, чтобы получить величину эмпирической дельты, которую в контексте изложения назовем «средняя эмпирическая дельта». В формулах, приведенных ниже, присутствуют обозначения «нижележащая», «вышележащая» и «текущая», означающие процедуру расчетов по двум соседним ценам исполнения.
нцо - тцо тци- нци
тцо - вцо вци- тци
| сэд ДПн-ДПе |
где ДПн - | дельта на понижение; |
ДНв- | дельта на повышение; |
НЦО - | нижележащая цена опциона; |
ТЦО - | текущая цена опциона; |
ТЦИ- | текущая цена исполнения; |
НЦИ- | нижележащая цена исполнения; |
ВЦО - | вышележащая цена опциона; |
ВЦИ- | вышележащая цена исполнения; |
СЭД- | средняя эмпирическая дельта. |
Второй вариант позволяет напрямую выяснить эмпирическую дельту каждого опциона, используя для этого соседние цены исполнения и соответственно - премий, которые наблюдаются у этих опционов. Формула приведена ниже, где следует обратить внимание: мы используем два соседствующих опциона (цены исполнения выше и ниже), чтобы выяснить дельту опциона, находящегося между ними, поэтому необходимо, чтобы интервал между ценами исполнения был одинаковым. Учитывая используемый подход, данную дельту определим как «эмпирическая дельта по диапазону».
нцо-вцо
ВЦИ-НЦИ
где ЭДД - эмпирическая дельта по диапазону; НЦО - нижележащая цена опциона; ВЦО - вышележащая цена опциона; ВЦИ - вышележащая цена исполнения; НЦИ - нижележащая цена исполнения.
Обратите внимание: не имеет значения, какие опционы мы исследуем: пут или колл, - в каждом случае мы получим значение дельты с соответствующим знаком. Кроме того, изложенная версия формул выдает величину дельты в виде доли, поэтому если существует потребность получить ее в терминах процентов, следует применить мультипликатор 100. Аналогичные действия надо выполнить, когда возникает необходимость представления дельты в виде экспозиции фондового актива. Например, для американских фондовых опционов тоже потребуется введение мультипликатора 100. Результаты расчетов эмпирической дельты по всем представленным выше формулам приведены в таб-
лице 8 - 5 для опционного рынка на Евродоллар (сентябрьский фьючерс 97.17 на 6 марта 2002 г., цены закрытия), разбиравшегося нами в предыдущем разделе. В таблице также даны сведения дельт опционов, вычисленных по модели.
Таблица 8-5. Вычисление эмпирической дельты по ценовым рядам
Цена исполнения | Дельта опциона по модели | Цена опциона | Эмпирическая дельта на понижении | Эмпирическая дельта на повышении | Средняя эмпирическая дельта | Эмпирическая дельта по диапазону |
99.00 | 1.70 | 0.0025 | | | | |
98.75 | 1.73 | 0.0025 | | | | |
98.50 | 3.03 | 0.0050 | | | | |
98.25 | 5.37 | 0.0100 | | | | |
98.00 | 10.31 | 0.0225 | | 14.0 | | |
97.75 | 20.48 | 0.0575 | 14.0 | 25.0 | 19.5 | 19.5 |
97.50 | 33.74 | 0.1200 | 25.0 | 40.0 | 32.5 | 32.5 |
97.25 | 48.61 | 0.2200 | 40.0 | 57.0 | 48.5 | 48.5 |
97.00 | 62.46 | 0.3625 | 57.0 | 70.0 | 63.5 | 63.5 |
96.75 | 73.41 | 0.5375 | 70.0 | 79.0 | 74.5 | 74.5 |
96.50 | 81.40 | 0.7350 | 79.0 | 87.0 | 83.0 | 83.0 |
96.25 | 86.52 | 0.9525 | 87.0 | 94.0 | 90.5 | 90.5 |
96.00 | 89.03 | 1.1875 | 94.0 | 96.0 | 95.0 | 95.0 |
95.75 | 90.50 | 1.4275 | 96.0 | 99.0 | 97.5 | 97.5 |
95.50 | 91.05 | 1.6750 | 99.0 | 99.0 | 99.0 | 99.0 |
95.25 | 91.48 | 1.9225 | 99.0 | 99.0 | 99.0 | 99.0 |
95.00 | 91.84 | 2.1700 | 99.0 | 100.0 | 99.5 | 99.5 |
94.75 | 92.01 | 2.4200 | 100.0 | 100.0 | 100.0 | 100.0 |
94.50 | 92.18 | 2.6700 | 100.0 | 100.0 | 100.0 | 100.0 |
94.25 | 92.33 | 2.9200 | 100.0 | 100.0 | 100.0 | 100.0 |
94.00 | 92.48 | 3.1700 | 100.0 | 100.0 | 100.0 | 100.0 |
Анализ таблицы показывает: мы имеем ошибку, которая в локальной окрестности укладывается в 2%. Данному инструменту, даже при наличии уверенного тренда, для попадания в область, где ошибка может оказывать более серьезное воздействие, потребуется как минимум