назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [ 99 ] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


99

Глава VII

ИГРЫ ЧЕТЫРЕХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ

§ 34. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ОБЗОР 34.1. Общая точка зрения

34.1.Теперь мы располагаем общей теорией игр п лиц с нулевой суммой, но состояние нашей информации все еще далеко от удовлетворительного. За исключением формального изложения определений, мы мало проникли вглубь. Рассмотренные приложения, т. е. частные случаи, в которых нам удалось определить решения, можно оценить только как предварительную ориентировку. Как отмечалось в п. 30.4.2, эти приложения покрывают все случаи п 5g 3, но из наших предыдущих обсуждений мы знаем, сколь мало это по сравнению с общей проблемой. Таким образом, мы должны обратиться к играм, для которых п 4, и именно здесь можно ожидать проявления всей сложности взаимоотношения коалиций. Более глубокое понимание природы наших задач будет достигнуто только после того, как мы изучим механизмы, управляющие этими явлениями.

Настоящая глава посвящена играм четырех лиц с нулевой суммой. В нашей информации об этих играх еще имеется много пробелов. Это вынуждает проводить неполное и преимущественно казуистическое рассмотрение с его очевидными недостатками Но даже такое несовершенное изложение обнаружит различные существенные качественные черты общей теории, которые нельзя было встретить раньше (в случае п 3). В самом деле, как выяснится, интерпретация математических результатов этих игр вполне естественно приводит к конкретным «социальным» понятиям и формулировкам.

34.2. Формализация существенной игры четырех лиц с нулевой суммой

34.2.1. Для того чтобы составить представление о природе игр четырех лиц с нулевой суммой, мы начнем с чисто описательной классификации.

Итак, пусть дана произвольная игра четырех лиц с нулевой суммой Г, которую мы с таким же успехом можем рассматривать в ее редуцированной форме; пусть выбрано у = 1 2). Эти высказывания соответствуют, как мы знаем из (27.7*) и (27.7**) в п. 27.2, следующим утверждениям, касающимся характеристических функций:

(34:1) у(£) = <

г) Например, делается, значительный упор на эвристические схемы.

2) См. пп. 27.1.4 и 27.3.2. Читатель заметит аналогию между этим обсуждением и обсуждением в п. 29.1.2, касающимся игры трех лиц с нулевой суммой. Подробнее об этом будет сказано ниже.



Таким образом, при выбранном нормировании значение v (S) остается неопределенным только для двухэлементных множеств S. Обратим поэтому наше внимание на эти множества.

Множество / = (1, 2, 3, 4) всех игроков имеет шесть двухэлементных подмножеств:

(1,2), (1,3), (1,4), (2, 3), (2,4), (3,4).

Значения v (S) на этих множествах нельзя рассматривать как независимые переменные, так как для каждого из таких множеств S в этой же последовательности имеется дополнение. Именно, первое и последнее, второе и пятое, третье и четвертое соответственно дополняют друг друга. Поэтому их значения v (S) отличаются только знаком. Следует также вспомнить, что на основании неравенства (27:7) в п. 27.2 (с п = 4, р = 2) - 2 :=g v (S) 5g 2. Следовательно, если мы положим

у((1,4)) = 2*ь

(34:2) { v ((2, 4)) = 2ж2,

v ((3, 4)) = 2х3,

то будем иметь (34:3)

v((2,3))=-2*lf v((l, 3))=-2хг, y((i,2))=-2xa и, кроме того,

(34:4) - 1х19 х2, я3=2.1.

Обратно: если даны любые три числа xt, х2, х3, удовлетворяющие (34:4), то мы можем определить функцию v (S) (для всех подмножеств S из / = (1, 2, 3, 4)) по (34:1) - (34:3); однако мы должны еще показать, что эта функция v (S) является характеристической функцией игры. Согласно п. 26.1 это означает, что наше представление v (S) удовлетворяет условиям (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1. В данном случае условия (25:3:а) и (25:3:Ь), очевидно, выполнены, так что остается проверить только условие (25:3:с). Из п. 25.4.2 следует, что нужно показать, что

v (St) + v (S2) + v (S3) =g 0,

если .Si, S2, S3 является разложением /. (См. также (25:6) в п. 25.4.1.) Если какое-нибудь из множеств Si, S2, S3 пусто, то два других являются взаимными дополнениями, и потому в условиях (25:3:а), (25:3:Ь) из п. 25.3.1 мы имеем равенство. Поэтому мы можем предполагать, что ни одно из множеств «Si, S2, S3 не пусто. Так как всего в нашем распоряжении имеется четыре элемента, одно из множеств, скажем St = S, должно иметь два элемента, а два остальных являются одноэлементными. Таким образом, наше неравенство принимает вид

у(£) - 20, т. е. v(S)2.

Если мы запишем это неравенство для всех двухэлементных множеств S, то (34:2), (34:3) преобразуют его в следующие:

2*42, 2х2 2, 2х32,

- 2xi2, -2х22, -2х32,

что эквивалентно предположению (34:4). Таким образом, нами доказано следующее.



(34:А) Существенные игры четырех лиц с нулевой суммой (в их

редуцированной форме при выборе у = 1) в точности соответствуют тройкам чисел х2, х3, удовлетворяющих неравенствам (34:4). Это соответствие между игрой, т. е. ее характеристической функцией, и числами xz, х3 описывается уравнениями (34:1) - (34:3)

34.2.2. Проведенное выше представление существенной игры четырех лиц с нулевой суммой тройками чисел хи х2, х3 можно проиллюстрировать простым геометрическим рисунком. Мы можем рассматривать Х\, х2, х3 как декартовы координаты некоторой точки 2). В этом случае

неравенства (34:4) описывают часть пространства, точно заполняющую куб Q. Этот куб имеет центр в начале координат, а длина ребер равна 2, потому что шестью его гранями являются шесть плоскостей

-х, - I ."j +л> Zi = ±l, х2=. ±1, #3=±1,

как это показано на рис. 41.

Таким образом, каждая существенная игра Г четырех лиц с нулевой суммой описывается ровно одной точкой внутри этого куба или Рис. 41. на его поверхности, и наоборот.

Представляется полезным именно так рассматривать эти игры и пытаться связывать их особенности с геометрическими условиями в Q. Особенно поучительным будет выделение игр, соответствующих тем или иным особенным точкам из Q.

Но перед тем, как приступить к осуществлению этой программы, мы рассмотрим некоторые вопросы симметрии. Мы хотим обнаружить связи между подстановками игроков 1, 2, 3, 4 и геометрическими преобразованиями (движениями) куба Q. В самом деле, согласно п. 28.1 подстановки соответствуют симметриям игры Г, а преобразования куба, очевидно, выражают симметрии геометрического объекта.

34.3. Перестановки игроков

34.3.1. При рассмотрении геометрического представления существенной игры четырех лиц с нулевой суммой нам пришлось ввести несколько произвольную операцию, т. е. операцию, которая частично нарушает симметрию исходной ситуации. В самом деле, описывая значения v (S) на двухэлементных множествах S, мы должны были выбрать три этих множества (которых всего шесть), чтобы получить координаты хи х2, х3. Мы так и сделали в (34:2) и (34:3), приписывая игроку 4 особую роль и устанавливая затем соответствие между игроками 1, 2, 3 и величинами xit х2, х3 (см. (34:2)). Таким образом, перестановка игроков 1, 2, 3 будет индуцировать такую же перестановку координат хи х2, х3, и в этих пределах система симметрична. Но таких перестановок только 6 из общего

г) Читатель может теперь сравнить наш результат с результатом п. 29.1.2, касающимся игр трех лиц с нулевой суммой. Можно заметить, как выросло разнообразие возможностей.

2) Мы можем также рассматривать эти числа как компоненты вектора в L3 в смысле п. 16.1.2 и след. Такой подход иногда будет удобнее, как в замечании на стр. 319.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [ 99 ] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]