Графическое изображение см. на рис. 40.
Сравнение рис. 40 с рис. 33 или 34 показывает, что прямая I не доминирует заштрихованную на рис. 40 область. Следовательно, прямая I должна быть помещена в фундаментальном треугольнике таким образом,
Рис. 39. Рис. 40.
чтобы выделенная область оказалась целиком вне фундаментального треугольника. Это означает, что прямая I должна лежать ниже средних точек тех двух сторон фундаментального треугольника, которые она пересекает г). В обозначениях (32:7) с < 1/2. С другой стороны, чтобы прямая I вообще пересекала фундаментальный треугольник, должно быть с - 1; таким образом, мы имеем:
(32:8) , - 1с<1/2.
Сравнение рис. 40 с рис. 33 или 34 показывает, что при таких условиях 2) множество V, т. е. прямая Z, действительно является решением. Но представление (32:7) этого решения было получено при помощи подходящей перестановки чисел 1, 2, 3. Следовательно, мы имеем еще два решения, соответственно характеризуемых равенствами
(32:7*) а2 = с,
(32:7**) а8 = с,
причем всегда вместе со свойством (32:8).
32.2.3. Резюмируем полученные результаты. Вот полный список решений:
(32:А) Для каждого с, удовлетворяющего условию (32:8), три множества (32:7), (32:7*), (32:7**). (32:В) Множество (32:6).
х) Предельное положение прямой Z, когда она проходит через сами средние точки, должно быть исключено. Причина состоит в том, что в таком положении вершина заштрихованной области лежала бы на фундаментальном треугольнике, а это недопустимо, поскольку эта точка также не доминируется множеством V, т. е. прямой I.
Отметим, что в случае (Ь), т. е. для заштрихованных областей на рис. 38, аналогичного запрещения не существует. Вершины заштрихованных областей также не до-минировались множеством V, но они принадлежали множеству V. С другой стороны, в данном случае рассматриваемая вершина не принадлежит V, т. е. прямой I. Это исключение предельного положения влечет знак <, ане g в последующем неравенстве.
2) При (32:8), т. е. прямая I пересекает фундаментальный треугольник, но ниже его середины.
х) За исключением того, что обе эти величины должны быть - 1, т. е. того,, что игрок может получить сам, без всякой помощи извне.
Условие а, - с - а -1 есть, конечно, то же самое, что и -1 а 1 - с из (33:1).
2) См. рассуждение в конце п. 25.2. Отметим, что аргументы, которые мы привели там, чтобы объяснить первостепенное значение функции v (£), перестали действовать в этом частном случае,- а функция v (S) тем не менее определяет решения!
3) Отметим, что благодаря условию (32:8) из п. 32.2.2 «прибыль», т. е. величина - с, может быть как положительной, так и отрицательной.
4) И то, что знак «=» исключен в с < 1/2, но не исключен в с -1.
§ 33. выводы
33.1. Множественность решений. Дискриминация и ее смысл
33.1.1. Результат в § 32 требует более тщательных рассмотрений и толкований. Мы нашли все решения существенной игры трех лиц с нулевой суммой. В п. 29.1, до того как были сформулированы точные определения в п. 30.1, мы уже установили, какое решение нам желательно, и это решение появилось теперь в виде решения (32:В). Однако, кроме того, мы нашли и другие решения: решения (32:А), которых имеется бесконечное множество и каждое из которых само является бесконечным множеством дележей. Что означают эти дополнительные решения?
Рассмотрим, например, вид (32:7) решения (32:А). Для каждого с при ограничениях (32:8) существует решение такого вида, состоящее
из всех дележей а = {а1? а2, а3}, которые удовлетворяют условию (32:7), т. е. Gt! = с. Кроме того, они должны vдoвлeтвopять лишь требованиям (30:1) и (30:2) из п. 30.1.1, т. е. (32:2) и (32:3) из п. 32.1.1. Другими словами, наше решение состоит из всех дележей ->
(33:1) а = {с, а, -с -а), -lgagl-с.
Интерпретация этого решения состоит, очевидно, в следующем. Один из игроков (в данном случае 1) дискриминируется двумя другими (в данном случае 2 и 3). Они назначают ему выигрыш с, который тот получает. Этот выигрыш является одним и тем те для всех дележей решения, т. е. принятой нормы поведения. Место игрока 1 в объединении предписывается двумя другими игроками; он исключается из всех переговоров, которые могут привести к коалициям. Такие переговоры происходят далее, однако, между двумя другими игроками, и распределение их доли, - с, полностью зависит от их способности торговаться. Решение,, т. е. принятая норма поведения, не налагает абсолютно никаких ограничений на способ, каким они делят эту долю между собой: оно выражается в виде а, - с - а1). Это и не удивительно. Поскольку на исключенного игрока наложено абсолютное «табу», с каждого участника коалиции снимается угроза измены партнера. Не существует способа найти какое-нибудь определенное разделение прибылей2»3).
Между прочим, весьма поучительно посмотреть, как наше понятие решения в смысле множества дележей может учесть также и эту ситуацию.
33.1.2. Следует еще кое-что сказать о «дискриминации» какого-либо игрока.
Во-первых, она совершается не совсем произвольным образом. Величина с, в которой дискриминация находит свое количественное выражение,, ограничена интервалом (32:8) из п. 32.2.2. Смысл неравенства с - 1 из (32:8) достаточно ясен, но смысл другого неравенства с < 1/2 4) значи-
выводы
тельно менее понятен (см., однако, ниже). Все это сводится к-следующему. Даже произвольная система дискриминаций может быть совместима с устойчивой нормой поведения - т. е. с принятым порядком общества,- но она, возможно, должна удовлетворять некоторым количественным условиям, чтобы она не смогла нарушить эту устойчивость.
Во-вторых, эта дискриминация не должна быть несомненно неблагоприятной для игрока, который ей подвергается. Она не может быть, несомненно благоприятной, т. е. фиксированное ее значение с не может быть равно или быть лучше, чем то наилучшее, что могут ожидать остальные. На основании (33:1) это означало бы, что с 1 - с, т. е. с 1/2, что как раз запрещается условием (32:8). Но дискриминация была бы несомненно неблагоприятной лишь при с = - 1; это одно из возможных значений с (вследствие (32:8)), но отнюдь не единственное, с = - 1 означает, что игрок не только исключается, но и эксплуатируется на все 100%. Остальные значения с (из (32:8)), - 1 < с < 1/2, соответствуют постепенно менее и менее неблагоприятным формам сегрегации.
33.1.3. Представляется замечательным тот факт, что наше понятие решения способно выразить все эти нюансы не дискриминирующей (32: В) и дискриминирующей (32:А) норм поведения, причем последняя - как в своей стопроцентно несправедливой форме (при с = - 1), так и в форме непрерывного семейства все меньших и меньших несправедливостей (при - 1 < с < 1/2). Особенно существенно то, что ничего подобного мы не ожидали; эвристические рассуждения в п. 29.1 проводились, конечно, не в таком духе, но, несмотря на это, сама строгая теория привела нас к таким результатам. И эта ситуация возникает даже в рамках исключительно простой игры трех лиц с нулевой суммой!
При п 4 следует ожидать гораздо большего обилия возможностей для всех видов систем дискриминации, предубеждений, привилегий и т. д. Кроме того, мы всегда должны внимательно искать аналоги решения (32:В), т. е. недискриминирующие, «объективные» решения. Но мы увидим, что соответствующие условия далеко не просты. Кроме того, мы увидим также, что именно исследование дискриминирующих, «необъективных» решений ведет к подлинному пониманию общих игр с ненулевой суммой, а следовательно, и к применению их в экономике.
33.2. Статика и динамика
33.2. Теперь может оказаться полезным вспомнить рассуждения п. 4.8.2, относящиеся к статике и динамике. То, что мы говорили тогда, применяется теперь; на самом деле это и имелось в виду для той стадии развития нашей теории, которой она теперь достигла.
В п. 29.2 и в других упомянутых там разделах рассматривались переговоры, надежды и опасения, которые предшествуют образованию коалиции и которые определяют ее условия. Все это носило квазидинамический характер, описанный в п. 4.8.2. То же самое применяется к рассуждениям п. 4.6, а также п. 30.2 о том, как различные дележи могут или не могут доминировать друг друга в зависимости от их положения относительно решения; другими словами, как действия, принятые установившейся нормой поведения, не вступают в конфликт друг с другом, но могут быть использованы, чтобы дискредитировать непринятые множества действий.
Оправдание, а также и необходимость использования таких рассмотрений в статической теории были уже изложены. Поэтому нет нужды в их повторении здесь.