назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [ 96 ] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


96

Доказательство. Достаточность. Если игра несущественная,

то она имеет, по (31:1), ровно один дележ а, который обладает нужным «свойством на основании (31:К).

~>

Необходимость. Если игра существенная и а является дележом, -> ->

то для а = р, взятого из (31 :L), получаем

-+ -v ->

а = р е- а.

(31:N) Игра, обладающая одноэлементным . решением х), является обязательно несущественной.

Доказательство. Обозначим одноэлементное решение, упо-

->

мянутое в условии, через V = (а). Это V должно удовлетворять условию

->

*(30:5:Ь) из п. 30.1.1. Это означает в нашем случае, что каждое р, отличное

от а, доминируется элементом а. Иначе говоря, из р Ф а следует а е- р.

Тогда, если игра существенная, то (31 :L) дает элемент р, который нарушает это условие.

(31:0) Несущественная игра обладает ровно одним решением V. Оно является одноэлементным множеством V = (а) с а из (31:1). Доказательство. На основании (31:1) существует ровно один дележ, именно а из (31:1). Решение V не может быть пустым ввиду «(31:J); следовательно, единственной возможностью будет V = (а). Далее,

V = (а) действительно является решением, т. е. удовлетворяет условиям {30:5:а) и (30:5:Ь) из п. 30.1.1: первому - на основании (31:К), а второму - так как а является единственным дележом на основании (31:1). Теперь мы можем полностью ответить на первый вопрос из п. 30.4.1.

(31:Р) Игра обладает одноэлементным решением (см. сноску 1 на этой стр.) тогда и только тогда, когда она является несущественной; в этом случае она не имеет других решений.

Доказательство. Это утверждение является комбинацией результатов (31 :N) и (31:0).

31.3. Изоморфизм, соответствующий стратегической эквивалентности

31.3.1. Рассмотрим две игры Г и Г с характеристическими функциями v(S) и v(S), которые стратегически эквивалентны в смысле п. 27.1. Мы хотим доказать, что они действительно эквивалентны с точки зрения понятий, определенных в п. 30.1.1. Это будет сделано при помощи установления изоморфного отображения между объектами, которые составляют основу определений п. 30.1.1, т. е. между дележами. Другими словами, мы хотим установить взаимно однозначное соответствие между дележами игры Г и дележами игры Г, которое является изоморфизмом по отноше-

х) Мы не исключаем возможности, что эта игра может обладать также и другими решениями, одноэлементными или неодноэлементными. В действительности этого никогда не может произойти (при сделанных нами предположениях), как показывает комбинация результатов (31:N) и (31:0) или результат (31:Р). (днако данное рассуждение от них не зависит.



нию к соответствующим понятиям в них, т. е. которое переводит эффективные множества, доминирование и решения для игры Г соответственно в эффективные множества, доминирование и решения для игры Г.

Эти рассуждения являются просто точной переработкой эвристических идей из п. 27.1.1, и читатель может подумать, что они не нужны. Однако в них приводится достаточно поучительный пример «доказательства изоморфизма», и, кроме того, здесь снова могут быть применены наши прежние замечания о соотношении между описательным и точным доказательствами.

31.3.2. Пусть стратегическая эквивалентность задается числами a°v . . . , ап в смысле (27:1) и (27:2) из п. 27.1.1. Рассмотрим все дележи

а = {(*!, . . . , ап] игры Г и все дележи а = {а, . . . , ап} игры Т\ займемся поисками взаимно однозначного отображения

(31:15) а+±а

с нужными свойствами.

То, что соответствие (31:15) должно существовать, легко получить из рассуждений в начале п. 27.1.1. Мы описывали там переход от игры Г к игре Г при помощи включения в игру фиксированного платежа а& игроку к. Применение этого принципа к дележам означает

(31:16) ak-=ak + a0k для к=1, п1).

В соответствии с этим мы определяем отображение (31:15) при помощи равенств (31:16).

31.3.3. Проверим теперь требуемые свойства для отображения, определяемого посредством (31:15) и (31:16).

Дележи игры Г отображаются на дележи игры Г. В самом деле, эта означает, на основании (30:1) и (30:2) из п. 30.1.1, что свойства

(31:17) cti>v((0) Для i = l, /2,

(31:18) 2аг = 0

переходят в свойства

(31:17*) a-v((i)) для i = l, .... в,

(31:18*) 2 а. -0.

Это будет так для (31:17) и (31:17*), потому что v ((&)) = v ((&)) + a?

(вследствие (27:2) из п. 27.1.1.), для (31:18) и (31:18*), потому что 2 <*? =

г = 1

= 0 (на основании (27:1)).

Эффективность для игры Г переходит в эффективность для игры Г. В самом деле, на основании (30:3) из п. 30.1.1 это означает, что

2 ai = v (S) переходит в 2 ai = v ($)• Это очевидно из сравнения (31:16) с (27:2).

х) Если мы введем (фиксированный) вектор a0 = {aj, . . . , an}, то равенства (31:16) могут быть записаны в векторной форме a = а + а0. Другими словами, это*

будет сдвиг (на а0) в векторном пространстве дележей.



Доминирование для игры Г переходит в доминирование для игры Г. Это означает то же самое для (30:4:а) - (30:4:с) из п. 30.1.1. (30:4:а) тривиально; (30:4:Ь) является эффективностью, котЬрая уже установлена; (30:4:с) утверждает, что at > р переходит в aj> Рь что очевидно. Решения игры Г отображаются на решения игры Г. В самом деле, это означает то же утверждение для (30:5:а), (30:5:Ь) (или (30:5:с)) из п. 30.1.1. Эти условия содержат только доминирование, которое уже установлено.

Сформулируем еще раз эти результаты:

<{31:Q) Если две игры с нулевой суммой Г и Г стратегически эквивалентны, то существует изоморфизм между их дележами, т. е. взаимно однозначное отображение дележей игры Г на дележи игры Г, которое оставляет инвариантными понятия, определенные в п. 30.1.1.

§ 32. НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННОЙ ИГРЫ ТРЕХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ

32.1. Математическая формулировка задачи. Графический метод

32.1.1. Обратимся теперь ко второй задаче, сформулированной m п. 30.4.1 и состоящей в нахождении всех решений для существенных игр трех лиц с нулевой суммой. Мы знаем, что такую игру можно считать заданной в редуцированной форме и что можно выбрать у = 1 1). Как мы установили прежде 2), характеристическая функция в этом случае полностью определена:

0 -1

(32:1) у(£) = когда S имеет

элементов.

Дележ является вектором

ar={ai, a2, a3},

три компоненты которого должны удовлетворять условиям (30:1) и (30:2) из п. 30.1,1, т. е. соответственно

(32:2) a1=t -1, a2=t -1, a3 -1,

(32:3) с + аз + осзО.

Мы знаем из (31:1) в п. 31.2.1, что эти компоненты а4, а2, а3 образуют лишь двумерный континуум, т. е. что они могут быть изображены на плоскости. В самом деле, условие (32:3) дает возможность сделать очень простое представление на плоскости.

32.1.2. Для этой цели возьмем на плоскости три оси, составляющие друг с другом углы в 60°. Для любой точки плоскости определим al7 a2, аз как ее расстояния по перпендикулярам до этих трех осей. Все расположение и, в частности, знаки, приписываемые компонентам ai9 a2, a3, приведены на рис. 31. Легко проверить, что для любой точки алгебраическая

2) См. рассуждение в начале п. 29.1 или приведенные там ссылки: конец п. 27.1 и второе замечание в п. 27.3.

2), См. рассуждение в начале п. 29.1 или второй случай в п. 27.5.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [ 96 ] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]