назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [ 95 ] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


95

Доказательство. Если а е- р для некоторого S, то необходимо S Ф 0, > Pi Для всех i £ S и Р* v((0); следовательно, af > v((i)). Таким образом, 2 a* > 2 v((0)- Так как S линейно, это

означает, что 2 a* > (*У). Но S должно быть эффективным: 2 а* = 5g v(iS), и мы получаем противоречие.

(31 :G) S является заведомо необходимым, если - S линейно

и S ф 0.

Объяснение. Коалиция должна рассматриваться, если она не пуста и противостоит коалиции вида, описанного в (31 :F).

Доказательство. Предварительные условия выполнены для всех дележей.

Проверяем (30:4:а). S Ф 0 по условию.

Проверяем (30:4:Ь). Всегда аг > v((z)), так что 2 at = 2 v((0)-

i$S i$S

Поскольку 2 аг = 0, левая часть равна - 2 at- Так как -S линейног

i=l i£S

то правая часть равна v (-S), т. е. (используем (25:3:Ь) из п. 25:3:1) равна -v (S). Итак, - 2 аг = v (£)> 2 аг v (£)> т. е. S эффективно-Из (31 :F) и (31 :G) получим, в частности:

(31 :Н) /7-элементное множество является заведомо необходимымг если р = п - 1, и заведомо не необходимым, если р = О, 1, ?г.

Объяснение. Коалиция обязательно должна рассматриваться, если она имеет только одного противника. Коалицию не нужно рассматривать, если она пуста или состоит только (!) из одного игрока или если она не имеет противников.

Доказательство, Пусть р = п - 1. Множество -S имеет только один элемент; следовательно, оно линейное по (31 :D). Утверждение следует теперь из (31 :G).

Пусть р = О, 1. Утверждение получается непосредственно из (31 :D) и (31:F).

Пусть р = п. В этом случае S = / = (1, . . ., п), что делает главное условие невыполнимым. В самом деле, получается > Pj для всех j = l, . . . , п, и, следовательно,

г=1 г=1

Но так как а и Р суть дележи, обе части обращаются в нуль, и мы получаем противоречие.

Таким образом, те р, для которых необходимость S сомнительнаг ограничены случаем р Ф О, 1, п - 1, п, т. е. интервалом

(31:8) 2рп-2.

Этот интервал играет некоторую роль только при п 4. Обсуждаемая ситуация сходна с ситуацией в конце п. 27,5.2 и в п. 27.5.3, причем еще раз выявляется исключительная простота случая п = 3.



31.2. Система всех дележей. Одноэлементные решения

31.2.1. Рассмотрим теперь структуру множества всех дележей.

(31:1) Для несущественной игры существует ровно один дележ:

(31.9) a = {ai, . .., ал}, a. = v((0) для & = 1, тг.

Для существенной игры существует бесконечно много дележей (их (п- 1)-мерный континуум), но дележа (31:9) среди них нет.

Доказательство. Рассмотрим дележ

P={Pi.....м

и положим

Р* = v((i)) + е* для i = l,

Тогда характеристические условия (30:1) и (30:2) из п. 30.1.1 превращаются в

(31:10) 8г-0 для г=1, /г,

(31:11) Se4= -Sv((0).

г=1 г=1

Если игра Г несущественна, то (27:В) из п. 27.4.1 дает - 2 v ((0)»

так что условия (31:10) и (31:11) приводят к е4 = . . . = гп = 0, т. е. (31:9) является единственным дележом.

Если игра Г существенна, то (27:В) из п. 27.4.1 дает - 2 v((0) > 0,

так что (31:10) и (31:11) имеют бесконечно много решений, которые образуют (п - 1)-мерный континуум 1); следовательно, то же самое верно -> ->

для дележей 3. Но дележ а из (31:9) не является одним из них, так как е1= . . . = гп = 0 теперь не удовлетворяют равенству (31:11). Непосредственное следствие:

(31 :J) Решение V никогда не пусто.

Доказательство. Другими словами, пустое множество 0

не является решением. В самом деле, рассмотрим какой-нибудь дележ Р

(на основании (31:1) хотя бы один дележ существует). Дележ 3 не при-

-> -> ->

надлежит 0, и ни для какого а из 0 не имеет места а е- р. Поэтому для пустого множества 0 нарушается условие (30:5:Ь) из п. 30.1.1 2).

31.2.2. Мы уже указывали, что одновременное выполнение

(31:12) а&-р, рЕ-а

ни в каком смысле не является невозможным3). Однако (31 :К) Отношение a е-а невозможно..

г) Имеется только одно уравнение, а именно (31:11).

2) Этот довод может показаться педантичным; однако если условия, наложенные на дележ, оказались бы противоречивыми (т. е. при отсутствии (31:1)), то V = 0 являлось бы решением.

3) Множества S этих двух доминирований не должны пересекаться. На основании (31:Н) каждое из этих S должно иметь количество элементов 2. Следовательно. (31:12) может иметь место только при п 4.

При помощи более детального рассмотрения случай п = 4 также можно исключить; однако для каждого п 5 отношения (31:12) действительно возможны.



Доказательство. Условия (30:4:а), (30:4:с) из п. 30.1.1

-У ->

противоречивы при а = р.

(31 :L) Если имеется существенная игра и дележ а, то существует

такой дележ р, что Р и не а е-р1).

Доказательство. Положим

->

а = {аи ..., ап}.

Рассмотрим уравнение

(31:13) «i = v((0).

Поскольку игра существенная, (31:1) исключает предположение, что (31:13) справедливо для всех i = 1, . . . , п. Пусть (31:13) нарушается,

скажем, для i = i0. Так как а является дележом, cti0 v ({io)); поэтому нарушение (31:13) означает, что (Хг0 > v ((io)), т. е.

(31:14) aio = v((i0)) + e> г>0.

Определим теперь вектор

p--={Pi, ..., Р4,

К = ач - е = v((i0)),

Из этих уравнений ясно, что Р* v ((г)) 2) и что 2 = 2 a* = 0 3),

-> г=1 г=1

так что Р является дележом вместе с а.

Теперь можно доказать оба интересующих нас утверждения относи-

-У ->

тельно аир.

-У -У

Покажем, что Р е- а. Мы имеем рг > а для всех i Ф i0, т. е. для всех i £ S = - (i0). Это множество имеет п - 1 элементов и удовлетворяет

-У -У -у -у

главному условию (для р, а); следовательно, (31 :Н) дает р е- а.

Покажем, что неверно а е- р. Предположим, что а е- р. Тогда должно существовать такое множество S, удовлетворяющее главному условию, которое не исключается условием (31 :Н). Поэтому S должно иметь 2 элементов. Следовательно, в S должно существовать i Ф i0. Из первого

следует Р > at (по построению Р), а из второго - a* > Pf (на основании главного условия), и мы получаем противоречие.

31.2.3. Мы можем вывести те заключения, которыми интересовались с самого начала.

-> -> -У

{31 :М) Дележ а, для которого не может быть ае- а, существует тогда и только тогда, когда игра несущественная 4).

-у ->

!) Следовательно, а Ф р.

2) Для i = i0 мы действительно имеем рг0 = v ((i0))- Для i Ф i0 мы имеем р$ > >oiiv ((0).

3) 2Р*= 2 а* так как Разность между pj и at равна е для одного значе-i=i i=i

*ния i (i = io) и равна - в/(л - 1) для тг - 1 значений i (для всех i Ф i0).

4) См. (30:А:а) в п. 30.2.2 и, в частности, сноску 2 на стр. 284.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [ 95 ] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]