Мы, таким образом, имеем дело с отношением а е- р (а £ V) и с вопросом, удовлетворяет ли некоторое множество S нашим предварительным требованиям для такого отношения. Назовем множество S заведомо необходимым, если мы знаем (благодаря тому, что S удовлетворяет некоторому
подходящему критерию), что S и а всегда удовлетворяют предварительным условиям. Назовем множество S заведомо не необходимым, если мы знаем (снова благодаря тому, что S удовлетворяет некоторому подходящему критерию, который, однако, может теперь содержать также
->
другие факты, см. выше), что возможность того, что S и а удовлетворяют предварительным условиям, можно исключить из рассмотрения (так как это никогда не случается или по какой-либо другой причине; см. также оговорки, сделанные выше).
Эти рассуждения могут показаться сложными, но они выражают вполне естественную техническую точку зрения.
Замечание. Для читателя, знакомого с формальной логикой, отметим следующее.
Свойства «заведомой необходимости» и «заведомой не необходимости» имеют логическую природу. Они характеризуются нашей способностью показать (какими бы то ни было средствами), что некоторое определенное логическое упущение не сделает недействительным доказательство (определенного вида). Пусть, в частности,
-> ->
некоторое доказательство имеет дело с доминированием дележа р элементом а £ V. Предположим, что рассматривается такое доминирование а е- р, имеющее место при помощи множества S (а £ V). Тогда это доказательство остается верным, если мы
обращаемся с S и а (когда они обладают нужными свойствами) так, как будто бы они всегда удовлетворяли предварительным условиям (или никогда не удовлетворяли им), без фактического исследования этих условий. В математических доказательствах, которые мы будем проводить, этот метод будет часто использоваться.
Может даже случиться, что одно и то же множество S (при использовании двух различных критериев) окажется одновременно как заведомо необходимым, так и заведомо не необходимым (для одних и тех же а, например для них всех). Это означает просто, что ни одно из двух упомянутых выше упущений не портит какое-либо доказательство. Так может случиться, например, когда а не удовлетворяет главному условию ни для какого дележа. (Один пример получается объединением (31 :F) с (31 :G) в случае, описанном в (31:Е:Ь). Другой отмечен в сноске 1 на стр. 325 и в сноске 1 на стр. 441.)
Приведем теперь некоторые критерии свойств заведомой необходимости и заведомой не необходимости. После каждого критерия мы дадим словесное объяснение его содержания, которое, будем надеяться, сделает нашу технику более ясной для читателя.
31.1.3. Прежде всего приведем три элементарных критерия.
(31:A) S является заведомо не необходимым для данного дележа
-> ->
а (а £ V), если существует такое i £ S, что а* = v ((£))•
Объяснение. Никогда не нужно рассматривать какую-либо коалицию, если она не обещает каждому ее участнику (индивидуально) определенно больше, чем он может получить сам.
Доказательство. Если а удовлетворяет главному условию
для некоторого дележа, то at > рг. Так как р является дележом, Рг v ((0)- Следовательно, а* > v ((£)). Это противоречит тому, что
(31: В) S является заведомо необходимым для данного дележа а (а £ V), если оно заведомо необходимо (и рассматривается)
-* -У
для такого другого дележа a (а £ V), что (31:1) aiat для всех i£S.
Объяснение. Можно не рассматривать какую-то коалицию, если существует другая коалиция, которая имеет тех же самых участников и обещает каждому из них (индивидуально) не меньше, чем первая.
Доказательство. Пусть дележи аир удовлетворяют главному условию: at > pf для всех i £ S. Тогда, на основании (31:1), а и Р также удовлетворяют ему: а\ > pj для всех i £ S. Так как S и а заданы, установлено, таким образом, что р доминируется каким-то элементом из V, и не представляется необходимым рассматривать S и а.
(31:С) S является заведомо не необходимым, если другое множество
Т S заведомо необходимо (и рассматривается).
Объяснение. Можно не рассматривать коалицию, если ее часть уже определенно должна рассматриваться.
Доказательство. Пусть дележи а (а £ V) и р удовлетворяют главному условию для S; тогда они, очевидно, будут удовлетворять ему
и для Т S. Поскольку Г и а рассматриваются, они, таким образом, устанавливают, что р доминируется каким-то элементом из V, и не является необходимым рассматривать S и а.
31.1.4. Введем теперь некоторые дальнейшие критерии, и притом на несколько более широкой основе, чем это непосредственно необходимо. Для этой цели начнем со следующего рассуждения.
Для произвольного множества S = (&i, . . ., кр) воспользуемся (25:5) из п. 25.4.1 при £i = (ki), . . ., Sp - (кр). Тогда мы получим
v(S)v((kJ)+...+v((kp)),
т. е.
(31:2) v(5)Sv((&)).
fees
Избыток левой части в (31:2) над правой выражает полное преимущество (для всех участников вместе), присущее образованию коалиции S. Назовем это свойство выпуклостью множества S. Если это преимущество исчезает, т. е. если
(31:3) v(S)=2v((ft))t
fees
то множество S назовем линейным.
Непосредственно получаем несколько утверждений.
(31 :D) Следующие множества всегда линейны:
(31:D:a) Пустое множество.
(31:D:b) Любое одноэлементное множество.
(31:D:c) Любое подмножество линейного множества.
(31 :Е) Любое из следующих утверждений равносильно несущественности игры:
(31:Е:а) Множество / = (1, ... , п) является линейным.
(31:Е:Ь) Существует такое множество S, что оба множества S и -S линейны.
(31:Е:с) Любое множество S линейное.
Доказательство утверждений (31:D:a) и (31:D:b). Для этих множеств (31:3) очевидно.
Утверждение (31:D:c). Пусть 5д Ги множество Т линейное. Положим R = Т - S. Тогда на основании (31:2)
<31:4) v (5)2= 2 v ((*)),
fees
<31:5) у(Д)2т((й)).
Поскольку множество Т линейное, то по (30:3) получаем (31:6) v(r)=2v((*)).
Так как S П R = 0, то S [} R = Г; поэтому
v(S)+v(i?)<v(T), 2 v((fc)) + 2 v((*)) = 2 v((ft)).
Следовательно, (31:6) влечет
<31:7) v(S) + v(R) S v((*))+ Ev((*)).
feis fee#
Теперь сравнение (31:4), (31:5) и (31:7) показывает, что мы должны иметь в них во всех равенство. Но равенство в (31:4) означает как раз линейность S.
Утверждение (31:Е:а). Это утверждение совпадает с (27:В) из п. 27.4.1.
Утверждение (31:Е:с). Это утверждение совпадает с (27:С) из п. 27.4.2.
Утверждение (31:Е:Ь). Для несущественной игры это верно при любом S на основании (31:Е:с). Обратно, если это верно для S (хотя ы для одного), то
v(S)=2v((fc)), v(-£) = 2v((ft));
fees fes
следовательно, суммируя (используем (25:3:b) из п. 25.3.1), получаем
0= 2 v((*)),
fe=l
т. е. игра является несущественной на основании (31:Е:а) или (27:В) из п. 27.4.1.
31.1.5. Теперь мы можем доказать следующее:
(31 :F) S является заведомо не необходимым, если оно линейное.
Объяснение. Не нужно рассматривать коалицию, если игра не допускает полного преимущества (для всех ее участников вместе) по сравнению с тем, что они получили бы сами по себе, как независимые игроки *).
*) Отметим, что это связано с критерием (31 :А), но вовсе не тождественно с ним! В самом деле, (31:А) имеет дело с щ, т. е. с обещаниями, сделанными для каждого участника индивидуально. (31 :F) имеет дело с функцией v(S) (которая определяет линейность), т. е. с возможностями игры для всех участников вместе. Но оба критерия согласуют свои утверждения с v((i)), т. е. с тем, что каждый игрок индивидуально может получить сам по себе.