назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [ 93 ] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


93

к проблеме существования решений не является столь произвольным, как это может показаться. В самом деле, в дальнейшем мы встретимся с аналогичной задачей, которая будет решена совершенно таким же образом (см. п. 51.4.3). А пока нам осталась одна лишь надежда.

30.3.7. В последнем пункте мы рассматривали вопрос, является ли каждое -удовлетворяющее множество подмножеством какого-либо -насыщенного множества. Мы отмечали, что для отношения хМу, которое мы должны использовать («яе-х е- у», асимметричное), ответ отрицателен. Краткое объяснение этого факта представляется заслуживающим внимания.

Если бы этот ответ оказался утвердительным, то это означало бы, что всякое множество, удовлетворяющее условию (30:В:а), могло бы быть расширено до множества, удовлетворяющего условиям (30:В:а) и (30:D), или, в обозначениях п. 30.1.1, что всякое множество дележей, удовлетворяющее условию (30:5:а), могло бы быть расширено до множества, удовлетворяющего условиям (30:5:а) и (30:5:Ь).

Поучительно повторить сказанное в терминологии п. 4.6.2. Тогда утверждение будет состоять в следующем: всякая норма поведения, свободная от внутренних противоречий, может быть расширена до устойчивой, т. е. до такой, которая не только свободна от внутренних противоречий, но способна также отвергнуть все дележи вне ее.

Рассмотрения из п. 30.3.6, согласно которым все это, вообще говоря, неверно, представляют определенный интерес: для того чтобы множество правил поведения было ядром (т. е. подмножеством) устойчивой нормы поведения, оно, возможно, должно было бы обладать более глубокими структурными свойствами, чем просто свобода от внутренних противоречий х).

30.4. Три непосредственных цели

30.4.1. Мы уже сформулировали характеристические свойства решения для произвольной игры п лиц с нулевой суммой и можем теперь начать систематическое исследование свойств этого понятия. В добавление к прежним этапам этого исследования представляется уместным рассмотреть три конкретных вопроса. Эти вопросы связаны со следующими частными случаями.

Первый вопрос. Через все изложение § 4 проходит мысль, что есте1 ственное понятие решения должно быть понятием некоторого дележа, т. е. в нашей теперешней терминологии понятием некоторого одноэлементного множества V. В п. 4.4.2 мы определенно увидели, что это приводило бы к нахождению «первого» элемента по отношению к доминированию. В последующих пунктах § 4, так же как и в точных рассмотрениях п. 30.2, мы увидели, что именно нетранзитивность нашего понятия доминирования препятствует главным образом успеху такой попытки и вынуждает нас ввести в качестве решений множества дележей V.

Представляет интерес поэтому (и теперь мы в состоянии сделать это) дать точный ответ на следующий вопрос: для каких игр существуют одноэлементные решения V? Что еще можно сказать о решениях таких игр?

J) Если бы могло быть найдено отношение о котором говорилось в конце п. 30.3.6, то именно это а не раскрыло бы, какие нормы поведения являются такими ядрами (т. е. подмножествами); это были бы -удовлетворяющие множества.

Ср. с аналогичным положением в п. 51.4, где соответствующая операция проведена успешно.



Второй вопрос. Постулаты из п. 30.1.1 были получены из опыта работы над игрой трех лиц с нулевой суммой в случае существенности. Поэтому интересно вернуться к рассмотрению этого случая в свете данной точной теории. Конечно, мы знаем (фактически это было ведущим принципом нашего изложения), что решение, которое мы получили при помощи предварительных методов из §§ 22 и 23, является также решением и в смысле наших теперешних постулатов. Тем не менее желательно проверить это явно. На самом деле вопрос состоит в том, чтобы установить, не приписывают ли эти постулаты тем играм также и другие решения. (Мы уже видели, что одна и та же игра вполне может иметь несколько решений.)

Определим поэтому все решения для существенных игр трех лиц с нулевой суммой. Полученные при этом результаты окажутся весьма неожиданными; однако неразумными, как мы увидим, они не будут.

30.4.2. Эти два случая исчерпывают в действительности все игры с нулевой суммой с п 3. В самом деле, мы отметили в первом замечании из п. 27.5.2, что для п = 1, 2 эти игры несущественны, так что вместе с существенными и несущественными играми для п = 3 они отражают все возможности при п 3.

Когда эта программа будет выполнена, останутся игры, для которых п 4, а мы уже знаем, что для них возникают новые трудности (см. замечание на стр. 269 и конец п. 27.5.3).

30.4.3. Третий вопрос. В п. 27.1 мы ввели понятие стратегической эквивалентности. Представляется вполне естественным, что такое отношение содержит в себе именно то, что выражает его название: две игры, связанные этим отношением, предоставляют одни и те же стратегические возможности и побуждающие мотивы для образования коалиций и т. д. Теперь, когда понятие решения поставлено на строгую основу, эти эвристические предположения потребуют строгого доказательства.

На эти три вопроса будут даны ответы соответственно в (31 :Р) из п. 31.2.3, в п. 32.2 и в (31.Q) из п. 31.3.3.

§ 31. ПЕРВЫЕ СЛЕДСТВИЯ 31.1. Выпуклость, линейность и некоторые критерии доминирования

31.1.1. Этот параграф посвящен доказательству различных вспомогательных результатов, относящихся к решениям и к таким связанным с ними понятиям, как несущественность, существенность, доминирование, эффективность. Поскольку мы поставили все эти понятия на строгую основу, возникает возможность, равно как и обязательность, абсолютной строгости при установлении их свойств. Некоторые из последующих выводов могут выглядеть педантичными, и может иногда показаться, что словесное объяснение могло бы заменить математическое доказательство. Такой подход, однако, был бы возможен лишь для части результатов, содержащихся в этом параграфе, и если принять во внимание все, то наилучшим планом окажется систематическое изложение всего материала с полной математической строгостью.

Некоторые принципы, которые играют значительную роль при нахождении решений, суть (31:А), (31:В), (31 :С), (31 :F), (31:G), (31:Н); эти принципы решают априори для некоторых коалиций либо что они всегда должны приниматься во внимание, либо что никогда. Представляется удобным сопровождать эти принципы словесными объяснениями



(в указанном выше смысле) в дополнение к их формальным доказательствам.

Другие результаты представляют интерес и сами по себе. Все вместе они дают первую ориентировку во всем том, что окружает только что выработанные понятия. Ответы на первый и третий вопросы из п. 30.4 содержатся в (31:Р) и (31:Q). Второй вопрос, который возник ранее, разрешен в (31 :М).

31.1.2. Рассмотрим два дележа а и р и предположим, что необходимо

решить, верно ли, что а е- р, или нет. Это сводится к решению вопроса, существует ли множество S со свойствами (30:4:а) - (30:4:с) из п. 30.1.1. Одно из них, именно (30:4:с), состоит в том, что

°>Рг для всех i£S.

Назовем это свойство главным условием, а два других, (30:4:а) и (30:4:Ь),- предварительными условиями.

Заметим, что одну из наибольших технических трудностей при работе с понятием доминирования, т. е. при нахождении решений V в смысле п. 30.1.1, представляет собой наличие предварительных условий. Крайне желательно суметь, так сказать, сократить их круг, т. е. установить такие критерии, при которых они заведомо выполняются, а также другие критерии, при которых они заведомо не выполняются. При поиске критериев последнего типа ни в коем случае не является необходимым, чтобы они включали в себя невыполнение предварительных условий для

всех дележей а; достаточно, чтобы это было для всех тех дележей а,

которые удовлетворяют главному условию при некотором другом деле-

->

же р. (См. доказательства утверждений (31:А) или (31:F), где именно это и использовалось.)

Мы интересуемся критериями такого вида в связи с выяснением того, является ли данное множество дележей V решением или не является,

т. е. удовлетворяет ли оно условиям (30:5:а), (30:5:Ь), т. е. условию

->

(30:5:с), из п. 30.1.1. Это сводится к выяснению того, какие дележи р доминируются элементами множества V.

Критерии, которые устраняют все предварительные условия в описанной выше ситуации, являются особенно желательными, если они

совсем не содержат ссылок на а1»2), т. е. если они относятся только

к множеству S. (См. (31:F), (31:G), (31:Н).) Однако даже критерии, кото-

->

рые содержат а, могут быть желательными. (См. (31:А).) Мы рассмотрим

->

даже критерий, который имеет дело с5иаи использует поведение другого а. (Конечно, оба дележа принадлежат V. См. (31:В).)

Для того чтобы охватить все эти возможности, введем следующую терминологию.

У*2!Рассмотрим доказательства, которые имеют целью нахождение всех дележей р, доминируемых элементами данного множества дележей V.

г) Дело в том, что в нашем первоначальном определении доминирования ос £- р

-> -->

предварительные условия относятся к S и а (а не к р). В частности, это касается условия (30:4:Ь).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [ 93 ] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]