назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [ 91 ] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


91

убеждены» в возможности получения того, что им предложено дележом а; см. п. 4.4.3 и утверждение (29:В:а) из п. 29.1.4. Условие (30:4:с) в определении доминирования выражает, что все эти игроки имеют положитель-

-> ->

ный побудительный мотив для предпочтения дележа а дележу 3. Цоэтому очевидно, что мы здесь определяем доминирование в духе п. 4.4.1 и понятия предпочтения, описанного в (29:В:а) из п. 29.1.4.

Такое определение решения полностью согласуется с определением, данным в п. 4.5.3, а также с (29:В:а), (29:В:Ь) из п. 29.1.4.

30.2. Обсуждение и обзор результатов

30.2.1. Мотивировки всех этих определений приводились в тех местах текста, на которые мы ссылались в последнем пункте. Тем не менее мы вновь выделим некоторые из главных черт, особенно понятие решения.

Мы уже видели в п. 4.6, что наше понятие решения игры в точности соответствует представлению о «норме поведения», если говорить на обычном, повседневном языке. Условия (30:5:а), (30:5:Ь), соответствующие условиям (4:А:а), (4:А:Ь) из п. 4.5.3, выражают как раз тот вид «имманентной устойчивости», который следует ожидать от реальных норм поведения. Эти представления были разработаны далее в п. 4.6. на качественной основе. Теперь мы можем переформулировать приведенные там идеи точным образом, учитывая точный характер, который теперь принимают рассуждения. Замечания, которые мы хотим сделать, состоят в следующем г). 30.2.2.

-►

(30:А: а) Рассмотрим решение V. Для дележа Р £ V мы не исключали существование такого «внешнего» дележа а (т. е. не принадлежащего V), что схе-Р 2). Если такой дележ а существует, то отношение игроков следует представить себе примерно так: если решение V (т. е. система дележей) «принято» игроками 1, . . ., п, то в их сознании должна запечатлеться мысль, что только дележи

-у- -у

Р £ V являются «надежными» способами распределения. Дележ а,

-У -У

не принадлежащий V, для которого а е- р, хотя и предпочтителен для некоторого эффективного множества игроков, не сможет привлечь их, потому что является «ненадежным». (См. детальное обсуждение игры трех лиц с нулевой суммой, в особенности то, что касается причины отказа каждого игрока согласиться на большее, чем установленный выигрыш в коалиции. См. конец п. 29.2 и относящиеся к нему сноски.) Представление о «ненадеж-

ности» дележа а может основываться также на существовании

-у ->- ->

такого дележа а £ V, что а е- а (см. (30:А:Ь) ниже). Все эти доводы, конечно, в известном смысле представляют собой замкнутый круг и опять-таки зависят от выбора множества V в качестве «нормы поведения», т. е. в качестве критерия «надежности».

х) Замечания (30:А:а) - (30:A:d), которые следуют ниже, являются более тщательной и точной разработкой идей из п. 4.6.2. Замечание (30:А:е) находится в аналогичном отношении к п. 4.6.3.

2) В самом деле, в (31:М) из п. 31.2.3 мы увидим, что дележ р, для которого никог-

-У -у

да не выполняется ае- р, появляется лишь в несущественных играх.



Но этот вид замкнутого круга не чужд повседневным рассмотрениям, имеющим дело с «надежностью». (30:А:Ь) Если игроки 1, . . ., п приняли решение V в качестве «нормы поведения», то для того, чтобы поддерживать их доверие к, V, необходима возможность при помощи множества V (т. е. его элементов) дискредитировать любой дележ, не принадлежащий V.

В самом деле, для каждого не принадлежащего V дележа а

должен найтись такой дележ а £ V, что а е- а. (Это было нашим постулатом (30:5:Ь).) (30:А:с) Наконец, в множестве V не должно быть внутренних противо-

-у -> -> ->

речий, т. е. для а, р £ V никогда не должно быть а е р. (Это было нашим другим постулатом (30:5:а).) (30:A:d) Отметим, что если бы доминирование, т. е. отношение е-, было транзитивным, то требования (30:А:Ь) и (30:А:с) (т. е. наши постулаты (30:5:а) и (30:§:Ь)) исключили бы довольно деликатную ситуацию, отраженную в (30:А:а). Именно: в утверждении (30:А:а)

Рб V, a (jj V и а е- р. На основании (30:А:Ь) существует такой

дележ а £ V, что а е- а. Тогда, если бы доминирование было

транзитивно, мы могли бы прийти к заключению, что а е- р;

но это противоречит (30:А:с), так как а, р £ V.

(30:А:е) Приведенные рассуждения делают еще более ясным, что только множество V целиком является решением и обладает тем или иным видом устойчивости, но отнюдь ни один из его элементов индивидуально. Замкнутый круг, о котором говорилось в (30:А:а), делает также правдоподобным существование в одной и той же игре нескольких решений V. Иначе говоря, для одной и той же реальной ситуации может существовать несколько устойчивых норм поведения. Каждая из них, конечно, была бы устойчивой и внутренне совместной, но находилась бы в конфликте со всеми остальными. (См. также конец п. 4.6.3 и конец п. 4.7.)

Во многих последующих рассуждениях мы увидим, что эта множественность решений является на самом деле весьма распространенным явлением.

30.3. Понятие насыщенности

30.3.1. Теперь представляется уместным привести несколько замечаний более формального характера. До сих пор мы обращали внимание главным образом на смысл и обоснование введенных понятий, однако понятие решения, как оно было определено выше, обладает некоторыми формальными чертами, также заслуживающими внимания.

Последующие формальные (логические) рассмотрения не будут использоваться непосредственно, и мы не будем долго останавливаться на них, продолжая изложение в духе предыдущего. Тем не менее мы полагаем, что эти замечания полезны здесь для более полного понимания структуры нашей теории. Кроме того, методы, которые здесь будут использоваться, найдут важное техническое применение по совершенно другому поводу в пп. 51.1-51.4.

30.3.2. Рассмотрим область (множество) D, для элементов х, у которой имеется некоторое отношение хМу. Справедливость отношения М



между двумя элементами х, у из D выражается формулой хМу 1). Отношение М определяется утверждением, недвусмысленно указывающим, для каких пар х, у £ D соотношение хМу истинно, а для каких - нет. Если хМу равносильно y3Zx, то мы говорим, что отношение х31у симметричное. Для любого отношения М можно определить новое отношение Ms, считая, что xMsy означает конъюнкцию xRy и уМх. Очевидно, что отношение Ms всегда симметричное, и оно совпадает с М тогда и только тогда, когда само М симметрично. Назовем Ms симметризованной формой отношения

Введем теперь следующие определения.

(30:В:а) Подмножество А множества D называется М-удовлетворяю-щим, если отношение хМу выполняется для всех х, уА.

(30:В:Ь) Подмножество A cz D и элемент у £ D называются М-сов-местными, если отношение хМу выполняется для всех хА.

Отсюда сразу получается:

(30:С:а) Подмножество A cz D является -удовлетворяющим тогда и только тогда, когда все элементы у, которые -совместны с А, образуют надмножество А.

Введем еще одно определение.

(30:С:Ь) Подмножество A cz D называется М-насыщенным, если все элементы г/, которые .-совместны с А, составляют в точности множество А.

Таким образом, свойство, которое должно быть добавлено к (30:С:а) для того, • чтобы обеспечить (30:С:Ь), состоит в следующем:

(30:D) Если у вне А, то у не является -совместным с А, т. е. суще-

ствует такой элемент х £ А, что отношение хМу не выполняется.

Следовательно, -насыщенность может быть определена равносильно при помощи как (30:В:а), так и (30:D).

30.3.3. Прежде чем продолжать исследовать эти понятия, приведем несколько примеров. Проверка соответствующих утверждений проста и предоставляется читателю.

Пример первый. Пусть D - некоторое множество и хМу является отношением х = у. Тогда -удовлетворяемость множества А означает, что А есть либо пустое, либо одноэлементное множество, в то время как -насыщенность А означает, что А - одноэлементное множество.

Пример второй. Пусть D - множество вещественных чисел и хМу является отношением ху3). Тогда ?-удовлетворяемость множества А означает то же самое, что и выше4), в то время как -насыщенность А означает, что А является одноэлементным множеством, состоящим из наи-

*) Иногда более удобно пользоваться выражением вида М */), но для наших целей запись xSiy предпочтительнее.

2) Несколько примеров. Пусть D состоит из всех вещественных чисел. Отношения х = у и х Ф у симметричные. Ни одно из четырех отношений х у, х у, х <. у, х >- у симметричным не является. Симметризованной формой двух первых отношений является х = у (конъюнкция х у и х у), & симметризованной формой двух последних отношений - абсурдность (конъюнкция х <с у и х > у).

3) D могло бы быть любым другим множеством, в котором определено такое отношение; см. второй пример в п. 65.4.1.

4) См. сноску 1 на стр. 287.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [ 91 ] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]