х) Как в утверждении, так и в условии!

2) Эти неравенства заменяют первоначальное р + q п\ они, очевидно, более сильные. Так как из них следует Зр р + 2q п и 1 + 2q р + 2q п, мы имеем п п- 1

3) По определению v = v ((1)) = -v ((2)). При п = 2 в утверждении (28:9) (которое эквивалентно свойству (28:10)) существенным является только v ((1)) = = v ((2)). На основании сказанного выше это означает, что v = -v, т. е. что v = 0.

28.2. Симметрия и безобидность

28.2.1. Как бы то ни было, если (28:8) выполняется для G = С?г, то из (28:7) следует:

(28:9) v (а?) зависит только от числа элементов в S.

Иначе говоря:

(28:10) . v(S)=vp,

где р - число элементов множества S (р = 0, 1, . . ., п).

Рассмотрим условия (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1, которые дают исчерпывающее описание характеристических функций v(S). Легко переписать их для vp, если выполняется (28:10):

(28:11:а) v0 = 0,

(28:11:Ь) vp=-vp,

(28:11:с) vp+gvp + v для p + qn.

Очевидно,- (27:3) из п. 27.1.4 является следствием (28:10) (т. е. (28:9)), так что такая функция \(S) автоматически оказывается редуцированной, причем у = - Vi. Поэтому, в частности, мы имеем (27:7), (27:7*), (27:7**) из п. 27.2, т. е. условия рис. 30.

Условие (28:11:с) может быть переписано аналогично (25:А) из п. 25.4.2.

Положим r=n - p - q; тогда свойство (28:11:Ь) позволяет записать свойство (28:11 :с) следующим образом:

(28:11:с*) Vp + Vg-f-vr<; 0, если p + q + r = n.

Теперь свойство (28:11:с*) является симметричным относительно р, q, г *), следовательно, мы можем, используя соответствующую подстановку, принять, что р q г. Кроме того, когда р = 0 (и, следовательно, когда г = п - q), (28:11:с*) (и притом даже со знаком =) следует из (28:11:а) и (28:11:Ь). Значит, можно предполагать, что р Ф 0. Итак, нам необходимо потребовать выполнения (28:11:с*) только для 1 < р < q г, и поэтому, то же самое верно и для (28:11:с). Отметим, наконец, что, так как г = п - р - д, неравенство q г означает р -\- 2q п. Сформулируем сказанное.

(28:12) Выполнения (28:11:с) достаточно требовать только при lpq, p + 2qn*).

28.2.2. Свойство (28:10) характеристической функции является следствием симметрии, но оно важно также и само по себе. Это становится ясным, если мы рассмотрим его в наиболее простом частном случае: при п = 2.

В самом деле, при п = 2 свойство (28:10) просто означает, что v из п. 17.8.1 обращается в нуль 3).

*) Конечно, общая игра п лиц при этом еще остается, но мы сможем решать ее с помощью игр лиц с нулевой суммой. Решающим шагом при этом будет переход к играм т/г лиц с нулевой суммой.

В терминологии п. 17.11.2 это означает, что игра Г является безобидной. Обобщим это понятие. Игра п лиц Г называется безобидной, если ее характеристическая функция v (S) обладает свойством (28:9), т. е. если она является функцией \р из (28:10). Далее, как и в п. 17.11.2, это понятие безобидной игры выражает то, что действительно является существенным в понятии симметрии. Следует помнить, однако, что из этого понятия безобидности и, аналогично, из понятия полной симметрии игры может следовать, а может и не следовать, что все отдельные игроки могут ожидать одну и ту же судьбу в отдельной партии (при условии, что они играют хорошо). Этот вывод был справедлив при п = 2, но не при п 3! (См. п. 17.11.2 для первого случая и замечаний 1 и 2 на стр. 245 для второго.)

28.2.3. Отметим, наконец, что на основании (27:7), (27:7*), (27:7**) из п. 27.2 и на основании рис. 30, все редуцированные игры симметричны и, следовательно, безобидны при п = 3, но не при п 4. (См. обсуждение в п. 27.5.2.) Далее, ничем не ограниченная игра п лиц с нулевой суммой сводится к своей редуцированной форме при помощи фиксированных дополнительных платежей а4, . . ., ап (соответственно для игроков 1, . . ., п), как это описано в п. 27.1. Следовательно, небезобидность в игре трех лиц с нулевой суммой, т. е. то, что действительно важно в ее асимметрии, полностью выражается этими величинами а1? а2, аз, т. е. фиксированными определенными платежами. (См. также основные значения а!, Ъ, с из п. 22.3.4.) В игре п лиц с нулевой суммой с пА это уже не всегда возможно, поскольку редуцированная форма не должна обязательно быть безобидной. Это значит, что в такой игре могут существовать гораздо более фундаментальные различия между стратегическими состояниями игроков, которые не могут быть выражены при помощи а4, . . ., ап, т. е. при помощи фиксированных, определенных платежей. Все это станет совершенно ясно в гл. VII В этой же связи полезно также вспомнить замечание на стр. 269.

§ 29. ПОВТОРНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ИГРЫ ТРЕХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ

29.1. Качественные рассмотрения

29.1.1. Теперь мы подготовлены к главному: сформулировать прин ципы теории игр п лиц с нулевой суммой х). Характеристическая функция v (£), которую мы определили в предыдущих параграфах, является необходимым средством для этой операции.

Наши рассуждения будут такими же, как и прежде: мы должны выбрать частный случай, который послужит основой для дальнейшего исследования. Это будет такой случай, который мы уже рассматривали и который мы тем не менее считаем достаточно типичным для общего случая. Анализируя (частичное) решение, найденное в этом частном случае, мы попытаемся затем выявить те правила, которые управляют общим случаем. После того, что мы сказали в пп. 4.3.3 и 25.2.2, должно представляться правдоподобным, что таким частным случаем оказывается игра трех лиц с нулевой суммой.

29.1.2. Рассмотрим снова рассуждение, на основании которого было получено решение игры трех лиц с нулевой суммой. Очевидно, представляет интерес только случай существенной игры. Мы знаем теперь, что можно также рассматривать эту игру в ее редуцированной форме и что мы. можем выбрать у = 1 1). Характеристическая функция в этом случае полностью определена, как это было установлено во втором случае в п. 27.5.2:

(29:1) v(S)

-1 1

когда S имеет

элементов2)

Мы видели, что в этой игре все решается сформированными коалициями (двух лиц), и наши рассуждения 3) привели к следующим главным результатам.

Здесь можно образовать три коалиции, и соответственно три игрока закончат партию с результатами, приведенными в табл. 23.

Таблица 23

Это «решение» требует интерпретации; в частности, очевидны следующие замечания 4). 29.1.3.

(29:А:а) Три распределения, указанные выше, соответствуют всем стратегическим возможностям игры.

(29:А:Ь) Ни одно из распределений не может рассматриваться само по себе как решение; именно система всех трех распределений и их соотношение между собой действительно составляют решение.

(29: А:с) Эти три распределения обладают, в частности, «устойчивостью», о которой мы говорили до сих пор только очень бегло. На самом

х) См. пп. 27.1.4 и 27.3.2.

2) В обозначениях п. 23.1.1 это означает, что а = Ъ = с = 1. Общая часть упомянутых рассуждений содержалась в пп. 22.2, 22.3 и в § 23. Приведенная конкретизация возвращает нас к более раннему (более частному) случаю из п. 22.1. Таким образом, наши рассмотрения из п. 27.1 (о стратегической эквивалентности и о редуцировании) фактически достигают того же эффекта в случае игры трех лиц с нулевой суммой. Они сводят, как установлено выше, общий случай к предыдущему частному случаю.

3) В пп. 22.2.2 и 22.2.3; на самом деле они являются просто разработкой изложенного в пп. 22.1.2 и 22.1.3.

4) Эти замечания снова возвращают нас к рассмотрениям из п. 4.3.3. В связи с (29:A:d) можно также вспомнить вторую половину п. 4.6.2.