назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [ 86 ] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


86

(27:5**) и равенство v (/) =0 (т. е. (25:4) из п. 25.4.1) могут быть также сформулированы иначе:

(27:7**) Для р = п - 1, п во втором соотношении из (27:7) мы имеем знак =.

27.3. Несущественность и существенность

27.3.1. При анализе этих неравенств лучше всего различать теперь два случая. Это различие основано на неравенстве (27:6).

Первый случай: у = 0. Тогда (27:7) дает v (S) = 0 для всех S. Это совершенно тривиальный случай, когда игра, очевидно, лишается дальнейших возможностей. Нет ни поводов для каких-либо коалиционных стратегий, ни элементов борьбы или конкуренции: каждый игрок может играть сам по себе, поскольку нет преимуществ ни в одной из коалиций. В самом деле, каждый игрок может получить выигрыш нуль независимо от того, что делают другие игроки. И ни в какой коалиции все ее участники не могут получить вместе больше чем нуль. Следовательно, совершенно очевидно, что значение партии в такой игре равно нулю для каждого игрока.

Если произвольная характеристическая функция v (S) стратегически эквивалентна такой характеристической функции v(5), т. е. если ее редуцированной формой является v (S) = 0, то мы находимся в тех же условиях, только сдвинутых на а% для игрока к. Партия игры Г с этой характеристической функцией v (S) имеет, очевидно, значение а% для игрока к: он может получить этот выигрыш даже один, независимо от того, что делают другие игроки. Никакая коалиция в целом не могла бы добиться большего.

Игру Г, у которой характеристическая функция v (S) имеет такую редуцированную форму v (S) = 0, назовем несущественной *).

27.3.2. Второй случай: у > 0. Изменяя единицу измерения 2), мы можем сделать у = 1 3). Это, очевидно, не влияет на аспекты игры, важные со стратегической точки зрения, и иногда это вполне удобно делать. Однако здесь мы делать этого не будем.

В рассматриваемом случае игроки при всех обстоятельствах имеют достаточные основания пожелать образования коалиций. Всякий игрок, предоставленный самому себе, теряет сумму 7 (т. е. он получает -7, см. (27:5*) или (27:7*)), в то время как любые п - 1 игроков, кооперируясь, выигрывают вместе эту сумму 7 (т. е. их коалиция получает 7, см. (27:5**) или (27:7**)).

Замечание. Это, конечно, не исчерпывает полностью все возможности. Могут существовать также другие коалиции, содержащие больше одного, но меньше п - 1 игроков, к которым следует стремиться. (Если это происходит, то п - 1 должно превосходить 1 более чем на 1, т. е. должно быть п =s 4.) Это зависит от функции v (S) для множеств S с числом элементов больше 1, но меньше п - 1. Вместе с тем только полная и детальная теория игр может правильно оценить роль этих коалиций.

х) То, что это совпадает со значением, придаваемым слову «несущественный» в п. 23.1.3 (для частного случая игры трех лиц с ненулевой суммой), будет видно в конце п. 27.4.1.

2) Если производятся платежи, то мы имеем в виду денежную единицу. В более широком смысле это могла бы быть единица полезности. См. п. 2.1.1.

3) Это было бы невозможно в первом случае, когда у = 0.



Указанное выше сравнение изолированных игроков и коалиций п - 1 игроков (самые большие коалиции, которые кому-либо могут противостоять!) достаточно только для данной конкретной цели, состоящей в установлении важности коалиций в такой обстановке.

Следовательно, подходящая коалиционная стратегия имеет теперь большое значение.

Назовем игру Г существенной, если ее характеристическая функция v (S) имеет редуцированную форму v (S) ф 0 *).

27.4. Различные критерии. Неаддитивные полезности

27.4.1. Пусть задана характеристическая функция у(£), а мы хотим из ее редуцированной формы v (S) получить явное выражение для у (см. выше).

Число -у является общим значением всех v ((&)), т. е. выражений

1 71

вида у ((к)) + а\, что на основании равенства (27:4) равно - 2V((/)) 2)*

пз=1

Следовательно,

(27:8) 7=-2

В результате мы имеем:

(27:В) Игра Г является несущественной тогда и только тогда, когда

2 у((/)) =0 (т. е. у = 0), и существенной тогда и только тогда,

когда 2 v((;)) < 0 (т. е. у < 0) 3).

Для игры трех лиц с нулевой суммой, в обозначениях п. 23.1, мы

имеем v((l)) = - a, v ((2)) = - Ь, v ((3)) = - с, так что у = ~ А.

Поэтому для* игры трех лиц с нулевой суммой наши понятия существенности и несущественности сводятся к соответствующим понятиям из п. 23.1.3. Учитывая интерпретации этих понятий в обоих случаях, этого и следовало ожидать.

27.4.2. Можно сформулировать некоторые дальнейшие критерии несущественности.

(27:С) Игра Г является несущественной тогда и только тогда, когда

значения ее характеристической функции \(S) могут быть представлены в виде

для некоторой системы чисел aj, ..., a-Доказательство. В самом деле, на основании (27:2) это как раз и означает, что функция v (S) стратегически эквивалентна v (S) =

г) См. снова сноску 1 на стр. 269.

2) Итак, -у совпадает с р из сноски 3 на стр. 267.

8) Мы уже видели, что тот или другой случай должен иметь место, поскольку 2 ▼((/)) = 0 и у 0.



== 0. Поскольку функция v (S) редуцированная, то она является редуцированной формой v(iS), а это и означает несущественность последней.

(27:D) Игра Г является несущественной тогда и только тогда, когда

для ее характеристической функции v (S) в условии (25:3:с) из п. 25.3.1 всегда имеет место знак =, т. е. когда

v(S[}T) = v(S) + v(T) при S[\T = 0.

Доказательство. Необходимость. Функция v(S) указанного в (27:С) вида, очевидно, обладает этим свойством.

Достаточность. Повторное применение этого равенства дает знак = в (25:5) из п. 25.4.1, т. е.

v(.S1U--.U5,p) = v(51)+...4-v(5p),

если ..., Sp попарно не пересекаются.

Рассмотрим произвольное множество S, например S = (kt, ..., кр)* Тогда для Si = (ki), Sp = (kp) мы получаем

v(5) = v((ft1))+...+v((up))-

Таким образом, мы имеем

где а\ - v((l)), . . ., а?п = v((w)), так что игра Г является несущественной на основании (27:С).

27.4.3. Оба критерия (27:С) и (27:D) выражают, что значение для любой коалиции получается из значений для ее участников х) путем суммирования. Следует помнить, какую роль в экономической литературе играет аддитивность значения или, скорее, ее нередкое отсутствие. Случаи, в которых значение, вообще говоря, не аддитивно, являются наиболее важными, но они представляют серьезные трудности при любом теоретическом подходе к ним; и нельзя сказать, что эти трудности удалось где-либа действительно преодолеть. В этой связи следует вспомнить обсуждения таких понятий, как дополнительность, полное значение, дележ и т. д. Теперь мы приступаем к соответствующему этапу нашей теории; здесь существенно то, что мы обнаруживаем аддитивность только в неинтересном (несущественном) случае, в то время как игры, действительно представляющие интерес (существенные), имеют неаддитивную характеристическую функцию 2).

Читатели, знакомые с математической теорией меры, придут к следующему заключению: аддитивные функции v(S), т. е. несущественные игры, оказываются в точности функциями меры на множестве /, которые придают множеству / полную меру нуль. Таким образом, произвольные характеристические функции w(S) являются новым обобщением понятия меры. Эти замечания глубоко связаны с предыдущими замечаниями относительно экономического значения. Однако подробное рассмотрение этого вопроса увело бы нас слишком далеко 3).

А) Читатель понимает, что мы используем слово «значение» (значение для коалиции S) для обозначения величины v(S).

2) В данный момент мы, разумеется, занимаемся только некоторым частным аспектом нашей теории: мы рассматриваем только значения для коалиций, т. е. согласованных поведений, а не значения для экономических благ или услуг. Читатель заметит, однако, что эта конкретизация заходит не так далеко, как это может показаться: товары и услуги в действительности означают экономические действия при их обмене, т. е. означают согласованные поведения.

3) Теория меры появляется вновь в другой связи. См. п. 41.3.3.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [ 86 ] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]