назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [ 85 ] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


85

чивается, игрок к получает в Г выигрыш, который он должен был бы получить в Г (после той же партии), плюс а%. (Заметим, что а?, . . ., а°п - абсолютные константы!) Таким образом, если игра Г представлена в нормальной форме, как в п. 11.2.3, с функциями &Ch (ть • • • » г/п), то Г также представлена в нормальной форме с соответствующими функциями

Ш,"и (т1? ..., тп) = oKh (т4, ..., хп) +a°k.

Очевидно, Г будет игрой п лиц с нулевой суммой (одновременно с Г) тогда и только тогда, когда

(27:1) 2 «1 = 0,

что мы и будем предполагать.

Обозначим характеристическую функцию игры Г через v(S); тогда, очевидно,

(27:2) v(5) = v(5)+2a).

k£S

Ясно, что стратегические возможности игр Г и Г совершенно одни и те же. Единственное различие между этими двумя играми состоит только в добавлении после каждой партии фиксированных платежей а%. И эти платежи абсолютно фиксированы; ничто из того, что могут сделать какие-нибудь игроки или все они, не изменит их. Можно было бы также сказать, что положение каждого игрока сдвигается на фиксированную величину, но что их стратегические возможности, стимулы и т. д. совершенно не меняются. Другими словами, если две характеристические функции v(S) и v{S) связаны между собой соотношением (27:2) 2), то всякая игра с характеристической функцией v (S) со всех стратегических точек зрения полностью эквивалентна некоторой игре с характеристической функцией у(5), и обратно. Это значит, что v (S) и v (S) описывают два стратегически эквивалентных семейства игр. В этом смысле v (S) и v (S) могут сами считаться эквивалентными.

Заметим, что все эти рассуждения не зависят от предположения, воспроизведенного в п. 26.2, согласно которому все игры с одной и той же функцией v (S) имеют одни и те же стратегические характеристики.

27.1.2. Преобразование (27:2) (нет необходимости принимать во внимание свойство (27:1), см. сноску 2 на этой стр.) заменяет, как мы видели, функцию множеств w(S) на функцию множеств v(S), вполне стратегически эквивалентную ей. Поэтому назовем это отношение стратегической эквивалентностью.

Перейдем теперь к математическим свойствам понятия стратегической эквивалентности характеристических функций.

Желательно выбрать из каждого семейства стратегически эквивалентных характеристических функций v(S) некоторого особенно простого

г) Истинность этого соотношения становится очевидной, если вспомнить, как были определены функции v(S) и v(S) с помощью коалиции S. Легко также доказать

(27:2) формально с помощью функций $Ch (ги • • •» xn)i (r4l . . ., хп).

2) Из этих условий следует (27:1), и нот необходимости его отдельно постулировать. В самом деле, на основании свойства (25:4) из п. 25.4.1 v (/) = v (/) = 0; следовательно, (27:2) дает

ой = 0. т. е. . а£=0.



представителя v (S). Основная мысль состоит в том, чтобы по заданной функции v(S) можно было легко найти этого представителя v(S), а также чтобы две функции y(S) и v(S) были бы стратегически эквивалентны тогда и только тогда, когда их представители v(S) и v(S) совпадают. Кроме того, мы можем попытаться выбирать этих представителей v(S) таким образом, чтобы анализ их был проще, чем анализ исходной функции v (S).

27.1.3. Когда мы исходили из характеристических функций v (S) и v (£), понятие стратегической эквивалентности могло опираться только на соотношение (27:2); свойство (27:1) следовало отсюда (см. сноску 2, стр. 266). Однако теперь мы будем исходить лишь из одной характеристической функции v(S) и будем рассматривать все возможные стратегически эквивалентные ей функции v(£), для того чтобы выбрать среди них представителя v(S). Отсюда возникает вопрос: какие системы aj, . . . . . ., можно использовать, т. е. для каких из этих систем (используя соотношение (27:2)) тот факт, что v(S) является характеристической функцией, влечет за собой то же самое для v(/S)? Ответ получается сразу как из того, что мы говорили до сих пор, так и в результате непосредственной проверки: условие (27:1) является необходимым и достаточным х).

Таким образом, при отыскании представителя v (S) мы имеем п неопределенных величин aj, . . ., ап, но aj, . . . , ай подчиняются ограничению (27:1). Следовательно, мы имеем в нашем распоряжении п - 1 свободных параметров.

27.1.4. Итак, можно рассчитывать подчинить искомого представителя v (S) п - 1 требованиям. В качестве таковых возьмем уравнения

(27:3) ;((1))=v((2))=...=v((n))«),

т. е. потребуем, чтобы каждая коалиция, состоящая из одного лица (каждый игрок, предоставленный самому себе), имела бы одно и то же значение.

Можно подставить (27:2) в (27:3) и взять полученное вместе с (27:1); тем самым будут сформулированы все наши требования относительно aj, . . ., ап- Так мы получаем

{27:1*) 2 afc = 0,

(27:2*) v ((1)) + а\ = v ((2)) + a° = ... = v ((п)) + a°n.

Легко проверить, что эти уравнения имеют ровно одно решение а5, ..., a„:

(27:4) а% = - v ((к)) + ~ 2 v ((/)) в).

*) Это детальное обсуждение может показаться педантичным. Мы привели его только для того, чтобы подчеркнуть, что, когда мы исходим из двух характеристических функций v(S) и v.S), условие (27:1) становится лишним; если мы, однако, исходим только из одной характеристической функции, то условие (27:1) необходимо.

2) Отметим, что здесь имеется п - 1, а не п уравнений.

3) Доказательство. Обозначим общее значение п выражений из (27:2*) через р. Тогда (27:2*) приводит к а% = - v((&)) -f Р, и, следовательно, из (27:1*) получаем

fe=i k=i



Итак, мы можем сказать следапющее.

(27:А) Будем называть характеристическую функцию v (S) редуцированной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям (27:3). Каждая характеристическая функция v (S) стратегически эквивалентна ровно одной редуцированной функции v (S). Эта функция v (S) определяется формулами (27:2) и (27:4), и мы назовем ее редуцированной формой функции \(S).

Редуцированные функции и будут теми представителями, которых мы отыскиваем.

27.2. Неравенства. Величина у

27.2. Рассмотрим редуцированную характеристическую функцию v (S). Обозначим общее значение п выражений из (27:3) через -7, т. е. положим

(27:5) - у = v ((!)) = v ((2)) = ... = v ((л)).

Систему равенств (27:5) можно записать также следующим образом:

(27:5*) v (S) = - у для любого одноэлементного множества S. Используя (25:3:Ь) из п. 25.3.1, преобразуем (27:5*):

(27:5**) v (S) - у для любого (п-1)-элементного множества S.

Обратим еще раз внимание на то, что любое из условий (27:5), (27:5*), (27:5**), кроме того, что оно определяет у, является также переформулированием условия (27:3), т. е. характеризацией того, что функция v (S) редуцированная.

Применим теперь (25:6) из п. 25.4.1 к одноэлементным множествам iS!=(l), Sn=(ri). (Так, что р=п.) Тогда (27:5) даег -пу 0, т. е.

(27:6) 70.

Рассмотрим далее произвольное подмножество S cz /. Пусть р - число его элементов: S = (kl9 . . ., кр). Применим теперь к одноэлементным множествам 54 = (ftj), . . ., Sp = (кр) (25:5) из п. 25.4.1. Тогда (27:5) дает

v(S)-py.

Применим это также к множеству -S, содержащему п~р элементов. На основании (25:3:Ь) из п. 25.3.1 указанное выше неравенство перейдет в неравенство

- v (5) - (п - р) у, т.е. y (S)(n - p)y. Объединяя последние два неравенства, мы получаем

(27:7) -ру r v (S) (п - р) у для любого -элементного множе-

ства S.

(27:5*) и равенство v (0) = 0 (т. е. (25:3:а) из п. 25.3.1) могут быть также сформулированы иначе:

(27:7*) Для р = 0, 1 в первом соотношении из (27:7) имеем знак=ч

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [ 85 ] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]