назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [ 83 ] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


83

25.2. Обсуждение введенного понятия

25.2.1. Введенная выше функция \(S) определена для всех подмножеств S множества / и принимает вещественные значения. Следовательно, в смысле п. 13.1.3 она является числовой функцией множеств. Назовем ее характеристической функцией игры Г. Как мы уже неоднократно указывали, мы предполагаем основать на этой функции построение всей теории игр п лиц с нулевой суммой.

Легко представить себе, что содержится в этом утверждении. Нам придется давать определения всему, что может касаться коалиций между игроками, компенсаций между партнерами в любой коалиции, объединений или борьбы между коалициями и т. д., используя только характеристическую функцию y(S). На первый взгляд эта программа может показаться неразумной, особенно ~ точки зрения следующих двух фактов:

(a) Для определения v(S) была использована фиктивная игра двух лиц которая связана с реальной игрой п лиц лишь через посредство теоретического построения. Следовательно, функция v(S) опирается на гипотетическую ситуацию, а не непосредственно на саму игру п лиц.

(b) Функция \(S) описывает,*что может получить данная коалиция игроков (а именно множество S) от своих противников (от множества -S), но она не указывает, как должен распределяться выигрыш между партнерами к из Sm Это распределение, или «дележ», на самом деле непосредственно определяется индивидуальными функциями Жк(хи . . ., тп), к £S, в то время как v(S) зависит от гораздо меньшего. Действительно, величина v(S) определяется лишь их частичной суммой Ж (xs, x~s), и даже еще меньшим, чем эта сумма, поскольку v) является значением в седловой

точке билинейной формы К (£, г]), построенной по Ж (xs, x~s) (см. формулу из п. 25.1.3).

25.2.2. Несмотря на сделанные замечания, мы рассчитываем показать, что характеристическая функция v (S) определяет все, включая «дележ» (см. (Ь) выше). Анализ игры трех лиц с нулевой суммой, приведенный в гл. V, устанавливает, что непосредственное распределение (т. е. «дележ») на основе функций Жк(х11 . . ., хп) с необходимостью является возмещением в виде некоторой системы «компенсаций», которые игроки должны дать друг другу, прежде чем могут образоваться коалиции. Эти «компенсации» должны существенно зависеть от имеющихся у каждого партнера из коалиции S (т. е. для каждого к £ S) возможностей отказаться от этой коалиции и примкнуть к некоторой другой коалиции Г. (Можно рассматривать также влияние возможных одновременных и согласованных выходов из коалиции различных подмножеств партнеров из S и т. д.) Другими словами, «дележ» величины v(S) между игроками к £ S должен определяться другой величиной \ (Т)1), а не величинами Жк (х1У . . ., хп). Мы продемонстрировали это в гл. V для игры трех лиц с нулевой суммой. Одна из главных целей теории, которую мы пытаемся построить,- установить то же самое для общей игры п лиц.

25.3. Фундаментальные свойства

25.3.1. Прежде чем разъяснить важность характеристической функции v (S) для общей теории игр, исследуем ее как математическое понятие само по себе. Мы знаем, что она является числовой функцией множеств,

х) Все это в значительной мере - в духе замечаний о роли «виртуального» существования из п. 4.3.3.



§ 25]

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

определенной для всех подмножеств S cz I = (1, . . п). Займемся установлением основных ее свойств.

Оказывается, что эти основные свойства - следующие:

Сначала докажем, что характеристическая функция множества v (S) любой игры обладает свойствами (25:3:а) - (25:3:с).

25.3.2. Простейшим доказательством является концептуальное, которое практически может быть проведено без математических формул. Однако, поскольку мы дали точные математические выражения для v(S) в п. 25.1.3, можно было бы пожелать строго математического формального доказательства - при помощи операций max и min и соответствующих векторных переменных. Подчеркнем поэтому, что наше концептуальное доказательство строго эквивалентно такому желаемому формальному математическому доказательству и что нужный «перевод» может быть осуществлен без особого труда. Кроме того, поскольку концептуальное доказательство делает основные идеи более ясными, в то время как формальное доказательство потребовало бы громоздких выкладок, мы* предпочитаем в качестве первого дать именно концептуальное доказательство. Читатель, который этим интересуется, может в качестве хорошего упражнения провести формальное доказательство путем «перевода» нашего концептуального.

25.3.3. Доказательство свойства (25:3:а) х). Коалиция 0 не имеет участников, поэтому она всегда получает выигрыш нуль, следовательно v(0) =0.

Доказательство свойства (25:3:Ь). Величины v(S) и v(-S) определяются одной и той же (фиктивной) игрой двух лиц с нулевой суммой - коалиции S против коалиции -S. Значением партии в такой игре для ее двух составных игроков являются соответственно v(S) и v(-S). Поэтому v(-S) = - v(5). .л

Доказательство свойства (25:3:с). Коалиция S может получить от своих противников (используя надлежащую смешанную стратегию) выигрыш v(iS), но не более. Аналогично коалиция Т может получить выигрыш v(T), но не более. Следовательно, коалиция S [} Т может получить от своих противников выигрыш у(б) + v(T), даже если под-коалиции S и Т и не смогут кооперироваться друг с другом 2). Поскольку

г) Отметим, что и пустое множество 0 мы рассматриваем в качестве коалиции. Читателю следует тщательно это обдумать. Несмотря на кажущуюся странность, этот шаг совершенно безопасен и вполне соответствует духу общей теории множеств. В самом деле, было бы большим техническим неудобством исключить из рассмотрения пустое множество. Конечно, такая пустая коалиция не имеет ни ходов, ни переменных, ни влияния, ни выигрышей, ни потерь. Но это несущественно.

Множество, дополнительное к 0\ т. е. множество всех игроков /, также будет рассматриваться как возможная коалиция. Это также удобно с теоретико-множественной точки зрения. До некоторой степени такая коалиция также может показаться странной, поскольку у нее нет противников. Хотя она имеет много участников, а следовательно, и ходов, и переменных, она также не оказывает никакого влияния (в игре с нулевой суммой) и не имеет ни выигрышей, ни потерь. Но это также несущественно.

2) Заметим, что мы используем здесь условие S f) Т = 0. Если бы множества S и Т имели общие элементы, то мы не могли бы разбить коалицию S {J Т на подкоали-ции S и Т7.

(25:3:а) (25:3:Ь) (25:3:с)

v(0) = O, v(-S)=-v(S), v(S[jT)v(S) + Y(T)1 если S(\T=0.



максимум, который может получить коалиция S [} Т при любых условиях, равен v(S(jr), отсюда следует v (S [} Т) v (S) + v (Т).

Замечание. Это доказательство является почти что повторением доказательства неравенства а + Ь 0 из п. 22.3.2. Свойство (25:3:с) можно даже вывести из этого соотношения. Действительно, разложим / на три взаимно непересекающихся подмножества S, Г, -(S\JT). Рассмотрим три соответствующие (гипотетические) абсолютные коалиции в качестве трех игроков игры трех лиц с нулевой суммой, в которую игра Г переводится таким разложением. Тогда v (S), v (Г), v (S\JT) соответствуют приведенным выше величинам -а, -&, с; следовательно, а -f- Ъ с 0 означает -v(S) - у(Т) + v(S{JT) Ш 0, т. е. v (S (J Т) v (S) + v (Г).

25.4. Непосредственные математические следствия

25.4.1. Прежде чем продолжать, мы выведем из свойств (25:3:а) - (25:3:с) несколько следствий. Эти утверждения будут выведены в том смысле, что они верны для любой числовой функции множеств v (51), которая удовлетворяет условиям (25:3:а) - (25:3:с), независимо от того, является она характеристической функцией игры п лиц с нулевой суммой Г или нет.

(25:4) v (/) = ().

Доказательство1). На основании свойств (25:3:а) и (25:3:Ь) мы имеем v(i) = y ( - 0) - - v (0) =0.

(25:5) Если S{, - попарно непересекающиеся подмножества

множества /, то

v (S, U ... U Sp) v (SJ + ... + v (Sp).

Доказательство получается непосредственно, повторным использованием свойства (25:3:с).

(25:6) Если £ь Sp - разложение множества /, т. е. такие

попарно непересекающиеся подмножества множества /, что

SiUU № = то

v(SJ + ...+v(Sp)0.

Доказательство. По условию Si{] ... U Sp = /, следовательно, v(iSr1U ... U Sp) = 0 на основании (25:4); поэтому (25:6) следует из (25:5).

25.4.2. Утверждения (25:4) - (25:6) являются следствиями свойств (25:3:а) - (25:3:с); в то же время они - и даже некоторая их часть - могут эквивалентно заменить свойства (25:3:а) - (25:3:с). Перейдем к точной формулировке.

(25:А) Условия (25:3:а) - (25:3:с) эквивалентны утверждению (25:6) только для значений р = 1, 2, 3; но (25:6) должно тогда выполняться для р = 1, 2 со знаком =, а для р - 3 - со знаком fg.

Доказательство. (25:6) для р = 2 со знаком = означает V (S) + v (-S) = 0 (Si обозначено через S, так что S2 есть -S), т. е. v (-S) = - v (S), что является свойством (25:3:Ь).

(25:6) для р = 1 со знаком = означает v (/) = 0 (в этом случае множеством Si должно быть /), что является утверждением (25:4). На основании (25:3:Ь) мы получаем (25:3:а) (см. приведенное доказательство утверждения (25:4)).

х) Для функции v (£), возникающей из игры, обе формулы (25:3:а) и (25:4) по смыслу содержатся в сноске 1 на стр. 261.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [ 83 ] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]