назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [ 82 ] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


82

1F\ из-за существования третьего игрока и его 3F$\ Таким образом, здесь впервые появилась возможность того, что различие, которое является несущественным для одного игрока, может быть важным для другого. Этого не могло быть в игре двух лиц с нулевой суммой, где каждый игрок выигрывает в точности то, что проигрывает другой.

Чего должен ожидать игрок 1, если два выбора crv являются одинаково важными для игрока 2, но не являются таковыми для игрока 1? Можно ожидать, что он постарается убедить игрока 2 выбрать то crv, которое более предпочтительно для него. Он может предложить игроку 2 заплатить ему некоторую сумму, вплоть до той разницы, которую он получит от более предпочтительного для себя действия игрока 2.

Допустив это, нужно считаться также с той возможностью, что игрок 1 может даже стараться убедить игрока 2 выбрать crv, которое не максимизирует JF2(cri, . . ov b av), если это изменение вызовет меньший проигрыш игрока 2, чем увеличение выигрыша игрока 1 г). Последний может компенсировать игроку 2 его потери и, возможно даже, отдаст ему некоторую часть своей прибыли.

24.2.3. Если, однако, игрок 1 может предложить это игроку 2, то он должен также рассчитывать на подобное предложение игроку 2 и со стороны игрока 3. Это значит, что вовсе не обязательно игрок 2, выбирая crv, будет максимизировать cF<i(g<l, . . ., о-и °v)- Сравнивая два выбора 0V, надо рассмотреть, будут ли потери игрока 2 покрываться выигрышем игрока 1 или игрока 3, так как это может привести к соглашениям и компенсациям. Таким образом, следует выяснить, какая коалиция будет при данном изменении crv выигрывать - коалиция 1, 2 или коалиция 2, 3.

24.2.4. Сказанное снова приводит к рассмотрению коалиций. Более тщательный анализ привел бы нас к рассуждениям и результатам пп. 22.2, 22.3 и § 23 во всех деталях. Но нет необходимости в проведении этого анализа во всех деталях: в конце концов, это просто частный случай, а рассуждения пп. 22.2, 22.3 и § 23 были справедливы (для игр трех лиц с нулевой суммой) при условии, что допускалось рассмотрение соглашений и компенсаций и тем самым коалиций.

Мы хотели показать, что слабость аргументов п. 15.8.2, обнаруженная уже в п. 15.8.3, становится опасной как раз тогда, когда мы выходим за пределы игр двух лиц с нулевой суммой. А это немедленно приводит к механизму коалиций и т. д., что мы и предвидели в начале этой главы. Все это должно быть ясно из приведенного выше анализа. Таким образом, мы возвращаемся к первоначальному методу исследования игр трех лиц с нулевой суммой, т. е. утверждаем справедливость результатов пп. 22.2, 22.3 и § 23.

) То есть когда это произойдет за счет игрока 3.



Глава VI

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ. ИГРЫ П ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ

§ 25. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

25.1. Мотивировка и определение

25.1.1. Обратимся теперь к изучению игры п лиц с нулевой суммой для произвольного п. Опыт, приобретенный в гл. V и касающийся случая п = 3, наводит на мысль, что возможности коалиций игроков будут играть решающую роль в общей теории, которую мы развиваем. Поэтому важно разработать математические средства для количественного выражения этих «возможностей».

Поскольку мы имеем точное понятие «значения» (значения партии) для игры двух лиц с нулевой суммой, мы можем также приписать «значение» любой данной группе игроков при условии, что ей противопоставлена коалиция всех остальных игроков. В дальнейшем этим несколько эвристическим рассуждениям мы придадим точный смысл. Во всяком случае,, важно то, что мы таким образом придем к математическому понятию, опираясь на которое можно пытаться строить общую теорию, и что эта попытка в конце концов приведет к успеху.

Сформулируем теперь точные математические определения, которые осуществят эту программу.

25.1.2. Предположим, что мы имеем игру Теп игроками, обозначенными числами 1, 2, . . ., п. Удобно ввести множество всех игроков / = = (1, 2, . . ., п). Не делая пока никаких предсказаний или предположений о вероятном протекании партии этой игры, отметим следующее: если мы разобьем игроков на две группы и рассмотрим каждую группу как абсолютную коалицию (т. е. если мы предположим полную кооперацию внутри каждой труппы), то мы получим игру двух лиц с нулевой суммой г). Точнее: пусть S - некоторое данное подмножество множества /, a -S - его дополнение в /. Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой, которая получается, если все игроки к, принадлежащие S, кооперируются между собой на одной стороне, а все игроки к, принадлежащие -S, кооперируются между собой на другой стороне.

Рассматриваемая таким образом игра Г подпадает под теорию игр двух лиц с нулевой суммой (гл. III). Каждая партия такой игры имеет вполне определенное значение (мы имеем в виду значение v, определенное в п. 17.8.1). Обозначим через v (S) значение партии для коалиции всех игроков к, принадлежащих S (в нашей интерпретации эта коалиция является одним из игроков).

Математическое выражение для v (S) получается следующим образом2).

25.1.3. Пусть имеется игра п лиц с нулевой суммой Г в нормальной форме, как в п. 11.2.3. Каждый игрок к - 1, 2, . . ., п выбирает в ней

*) В точности то же самое мы делали для случая п = 3 в п. 23.1.1. Возможность обобщения уже упоминалась в начале п. 24.1.

2) Здесь повторяется построение из п. 23.2, которое применялось там только в случае п = 3.



ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

переменную Тд (каждый из них не знает об остальных п - 1 выборах) и получает выигрыш

fflk(tlj *2, .. ., тп).

Конечно (игра является игрой с нулевой суммой),

(25:1) 2 aSTftCt,, та> ...,т„)=0.

Области значений переменных суть

тА = 1, ...,рА для к = 1, 2, ..., п.

Тогда в игре двух лиц, которая возникает между абсолютной коалицией всех игроков к £ S (игрок 1) и абсолютной коалицией всех игроков к £ -S (игрок 2), создается следующая ситуация.

Составной игрок 1 имеет набор переменных тд, где к пробегает все элементы из S. Этот набор следует рассматривать как одну переменную, которую мы поэтому будем обозначать одним символом ts. Составной игрок 2 имеет набор переменных т, где к пробегает все элементы из -S. Этот набор также является одной переменной, которую мы обозначим через r~s. Игрок 1 получает выигрыш

(25:2) &С (ts, г-5) - 2 Ш\ (ть ..., т„) = - 2 &Ch (ть ..., ) *);

ues ke-s

игрок 2 получает тот же выигрыш с противоположным знаком.

Смешанной стратегией игрока 1 является вектор g £ .Ss 2), компоненты которого обозначаются через £xs. Таким образом, принадлежность

вектора £ множеству Ss характеризуется условиями

iTs0, SiTs = l-

Смешанной стратегией игрока 2 является вектор r\Sss), компо-

ненты которого обозначаются через \-s- Таким образом, г) £ £p-s характеризуется свойствами

\-s0, S r,T s=l.

Билинейная форма К(, rj), аналогичная (17:2) из п. 17.4.1, имеет вид и5 наконец,

-> -> ->

v (5) = max min К (£, г]) = min max К (£, r\).

-> -> ->

x) Переменные ts и t~s из левой части равенства образуют вместе набор т1? . . ., т„, из двух других частей равенства. Таким образом, rs и r~s определяют т1? . . ., хп.

Равенство двух последних выражений является, конечно, лишь констатацией свойства равенства нулю суммы выигрышей.

2) Ps - число возможных наборов rs, т. е. произведение всех где к пробегает по всем элементам из S.

3) P~s - число возможных наборов r~s, т. е. произведение всех где к пробегает все элементы из -S.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [ 82 ] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]