Выпишем еще раз формулы, выражающие а, 3, у, а, Ъ, с, Д: Д = а + Ь + С необходимо 0,

- а + 6 + с , -2а-\-Ъ-\-с

и мы имеем

2 ~ 3

ft а - b-j-c а-2Ь + с

Р- 2 = 3

а-\-Ь - с , а-\-Ь-2с

a + b + c = 0,

/ Д 7, 7,/ Д / Д

- а=а -~ , -b = b-, -с = с--.

§ 24. ОБСУЖДЕНИЕ ОДНОГО ВОЗРАЖЕНИЯ 24.1. Случай полной информации и его значимость

24.1.1. Мы получили решение игры трех лиц с нулевой суммойг которое учитывает все возможности и указывает направление поиска решений игры п лиц. Именно, следует анализировать все возможные коалиции и конкурентное взаимоотношение между ними, что позволит определить компенсации, которые игроки, желающие образовать коалицию, будут выплачивать друг другу.

Мы уже отмечали, что для п > 4 это будет гораздо более трудной проблемой, чем в случае п = 3 (см. замечание на стр. 242).

Прежде чем заниматься этим вопросом, разумно, уделить некоторое время пересмотру нашей позиции. В дальнейших рассуждениях мы будем уделять основное внимание образованию коалиций и компенсациям между участниками этих коалиций, используя теорию игр двух лиц с нулевой суммой для определения выигрышей окончательных коалиций, которые противостоит друг другу после того, как все игроки примкнули к той или другой коалиции (см. пп. 25.1.1, 25.2). Но действительно ли этот аспект/ вопроса является таким всеобщим, как мы это предполагаем?

Мы уже привели некоторые сильные аргументы в пользу такой точки зрения при рассмотрении игр трех лиц с нулевой суммой. Наша способность построить на описанном основании теорию игр п лиц (для всех п) будет, наконец, решающим аргументом. Тем не менее имеются и доводы «против»; возражение, которое нам предстоит рассмотреть, возникает/ в связи с играми с полной информацией.

Возражение, которое мы теперь обсудим, касается только игр упомянутого выше частного класса. Поэтому, если это возражение окажется справедливым, оно не даст нам некоторой иной теории, которая применима ко всем играм. Но так как мы претендуем на общую истинность предложенной нами точки зрения, то мы должны опровергать все возражения, и даже те, которые приложимы только к некоторому частному случаю х).

г) Другими словами, при провозглашении общей истинности теории необходимо предполагается возможность опровержения всех возражений.

24Л.2, Игры с полной информацией уже обсуждались в§ 15. Мы видели там, что эти игры обладают важными специфическими особенностями и что их природу можно полностью понять только тогда, когда они рассматриваются в позиционной форме, а не просто в нормальной, к которой главным образом и относились наши рассуждения (см. также п. 14.8).

Анализ в § 15 начался с рассмотрения игр п лиц (для всех п), но в последней части § 15 мы сузили вопрос, ограничившись играми двух лиц с нулевой суммой. В частности, в конце § 15 мы изложили словесный метод рассуждения (см. п. 15.8), который обладал некоторыми примечательными особенностями. Во-первых, не будучи совершенно свободным от возражений, он оказался достойным рассмотрения. Во-вторых,, аргументация, которая при этом использовалась, существенно отличалась от аргументации, при помощи которой мы разобрали общий случай игры двух лиц с нулевой суммой;и хотя она была применима только к этому частному случаю, она была более действенной, чем другая аргументация. В-третьих, она привела в случае игр двух лиц с нулевой суммой с полной информацией к тем же результатам, что и наша общая теория.

Теперь можно попытаться применить эту аргументацию также к случаю п 3 игроков. Действительно, поверхностная проверка содержания п. 15.8.2 не выявляет каких-либо причин, по которым применение использованной там аргументации следовало бы ограничить случаем п = 2 игроков (см., однако, п. 15.8.3). Однако в этих рассуждениях не упоминается о коалициях или соглашениях между игроками и т. п. Поэтому, если они и применимы для п = 3 игроков, то используемый здесь подход можно подвергнуть серьезному сомнению.

3 амечание. Можно надеяться обойти этот вопрос, ожидая, что для всех игр трех лиц с нулевой суммой с полной информацией окажется А = 0. Это сделало бы коалиции излишними. См. конец п. 23.1.

Точно так же как игры с полной информацией, будучи вполне определенными, избежали трудностей теории нулевых игр двух лиц (см. п. 15.6.1), они могли бы теперь избежать трудностей теории игр трех лиц с нулевой суммой, будучи несущественными.

Однако это не так. Чтобы увидеть это, достаточно модифицировать правила простой мажоритарной игры (см. п. 21.1) следующим образом: пусть игроки 1, 2, 3 делают свои личные ходы (т. е. соответственно выборы тА, т2, т3, см. там же) в указанном порядке, причем каждый из них информирован о предшествующих ходах. Легко проверить, что значения с, b\ а трех коалиций 1,2,1,3, и 2, 3 являются теми же самыми, что и раньше,

с = Ь = а=1, А = а + Ь + с = 3>0.

Детальное обсуждение этой игры* в соответствии с рассуждениями п. 21,2 представляло бы определенный интерес, но мы не предполагаем в данный момент продолжать эту тему.

Поэтому мы хотим показать, почему метод п. 15.8 несостоятелен, когда число игроков не менее трех.

Чтобы сделать это, повторим некоторые существенные пункты примененной аргументации (см. п. 15.8.2, обозначениями которого мы будем пользоваться).

24.2. Детальное обсуждение. Необходимость компенсаций между тремя или более игроками

24.2.1. В соответствии со сказанным выше рассмотрим игру Г с полной информацией. Пусть с#1? оМ2у . . . , oMv будут ходами в этой игре, оь о2, . . . , ov - выборами при этих ходах, я (оь о2, • • • • °ч>) - партией, описываемой этими выборами, a 3F$ (я (сгь о2, . . . , ov)) - исходом этой партии для игрока / (= 1, 2, ... , п).

Предположим, что ходы oMi, <М2, . . . , ©#v-i уже сделаны и исходами их выборов являются а4, а2, . . ., av-i- Рассмотрим последний ход <MV и соответственно av. Если oSv является случайным ходом (т. е. если &v (аь о2, . . . , orv !) =0), то различные возможные значения av = = 1, 2, . . . , av (о, . . . , av !) имеют соответственно вероятности pv (1), pv (2), . . . , £v (av (ai, . . . , oTv.j)). Если это личный ход игрока к (т. е. если kv (аь . . . , av i) = к = 1, 2, . . . , п), то игрок к выбирает av так, чтобы сделать (я (о, . . . , <7v-i» av)) максимальным. Обозначим это <уу через av (a4, . . . , av ±). Таким образом, можно доказать, что значение партии становится известным (для каждого игрока j = 1, . . . , п) уже после ходов о/Их, оМъ, . . ., c#v-i (и перед ходом c#v); иными словами, значение партии является функцией только аи а2, . . . , av-i. Действительно, на основании сказанного выше

<*v(ov ..., av-1)

2 Pv (av) J- (я (ab ..., av 4, av))

J-(n (ai> ....a*-i)) = <

для kv(au ..., 0 = 0, (я (a4, • • •» ov-i, av (a4, ..., av-i))),

где av = oy (a4, ..., av-i) максимизирует (я (a4, ..., av)), для kv (a, ..., av-0 =

= 1,.. f /г.

Следовательно, мы можем рассматривать игру Г так, как будто она состоит только из ходов оЖи о/Я2, . . . » G#v-i (т. е. без oMv).

С помощью проведенного рассуждения мы отбросили ход aMv. Повторяя его, мы аналогично можем отбросить последовательно ходы qMv-x, g#v 2, . . . , JiH, наконец, получить определенное значение партии (для каждого игрока 7=1, 2, ... , п).

24.2.2. Для критической оценки этого метода рассмотрим два последних шага c#v-i, gv и предположим, что они являются личными ходами двух различных игроков, скажем соответственно 1 и 2. В этой ситуации мы предполагали, что игрок 2 определенно выберет av, с тем чтобы максимизировать JF2 (ои ... , av b av). Это даст av = av (Фи ... , av 4). Далее, мы предположили также, что игрок 1, выбирая av !, может быть уверен в таком выборе игрока 2. Это значит, что он может без риска заменить JFi (a4, ... , av !, av) (то, что он в действительности получит) на 3Fi (<Ti, a2» • • • > ffv-i> cTv (<*!> o2j . . orv 4)) и максимизировать последнюю величину 1). Но может ли он быть уверен в этом предположении?

Прежде всего, av (a4, . . . , av t) может даже не определяться однозначно: можно предположить, что 2(1, . . . , av-i> av) достигает своего максимума (при данных о, . . . , на нескольких crv. В игре двух лиц с нулевой суммой этого не может быть: поскольку ± = - $F2, два av, которые доставляют одно и то же значение JF2, дают также одно и то же значение tr12). Но уже в игре трех лиц с нулевой суммой $F2 не определяет

г) Так как она является функцией только от о, сг2, . . . , crv 2, crv i из которых cTj, . . . , av 2 к моменту хода o#v i известны, а crv i контролируется игроком 1, он способен ее максимизировать.

Он не может, в каком-либо смысле, максимизировать (at, . . . , av i, o*v), так как эта величина зависит от переменной av, которую игрок 1 не знает и не контролирует.

2) Действительно, в п. 15.8.2 мы воздержались от упоминания F2 вообще: вместо максимизации F2 мы говорили о минимизации Там не понадобилось даже вводить av (a4, .... tfv-i)» так как все описывалось операциями шах и min над iFi.