Мы здесь снова имеем указание на симметрию некоторых аспектов ситуации для всех игроков: А/2 является стимулом для стремления к коалиции; эта величина для всех игроков одна и та же.

22.3.4. Наши результаты можно выразить в виде табл. 22.

Таблица 22

Если мы положим

то будем иметь

и можем выразить результаты, сведенные в табл. 22, следующим образом.

{22:А) Для игроков 1, 2, 3 партия имеет основные значения соответственно а, Ь\ с. (Это - возможные оценки, так как сумма всех значений равна нулю.) Партия, однако, достоверно приведет к образованию некоторой коалиции. Те два игрока, которые ее образуют, получат (помимо своих основных значений) премию А/6, а исключенный игрок понесет потери, равные -Д/3.

Таким образом, стимулом для образования коалиции для каждого игрока является А/2 и всегда А/2 0.

§ 23. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

23.1. Исчерпывающее обсуждение. Несущественные и существенные игры

23.1.1. Теперь мы можем снять все ограничения. Пусть Г - совершенно произвольная игра трех лиц с нулевой суммой. Достаточно простого рассуждения, чтобы перенести на нее анализ пп. 22.2 и 22.3. Будем рассуждать следующим образом.

Если два игрока, скажем 1 и 2, решают полностью кооперироваться, временно откладывая впредь до расплаты урегулирование вопроса о распределении, т. е. вопроса о компенсациях, выплачиваемых партнерами друг другу, то игра Г превращается в игру двух лиц с нулевой суммой. Двумя игроками в этой новой игре являются коалиция 1, 2 (которая представляется составным игроком, состоящим из двух «естественных игроков») и игрок 3. Рассматриваемая таким образом игра Г подпадает под теорию игр двух лиц с нулевой суммой, изложенную в гл. III. Каждая

партия в этой игре имеет вполне определенное значение (мы имеем в виду v, определенное в п. 17.4.2). Обозначим через с значение партии для коалиции 1, 2 (которая в нашей интерпретации является одним из игроков).

Сходным образом можно предположить абсолютную коалицию между игроками 1, 3 и рассматривать игру Г как нулевую игру двух лиц между этой коалицией и игроком 2. Обозначим через Ъ значение партии для коалиции 1, 3.

Наконец, можно предположить абсолютную коалицию между игроками 2, 3 и рассматривать игру Г как игру двух лиц с нулевой суммой между этой коалицией и игроком 1. Обозначим через а значение партии для коалиции 2, 3.

Следует отдавать себе отчет в том, что мы пока еще не*предполагаем, что какая-нибудь из этих коалиций с необходимостью появится. Величины а, &, с определены просто вычислительным образом; мы составили выражения для них, исходя из основной (математической) теоремы п. 17.6. (По поводу точных выражений для а, Ь, с см. ниже.)

23.1.2. Ясно, что для игры трех лиц с нулевойсуммой Г полностью справедливы рассуждения пп. 22.2 и 22.3. Коалиции игроков 1, 2, или 1, 3, или 2, 3 могут соответственно получить (от исключенных игроков 3, 2 или 1) не более чем суммы с, Ь, а. Следовательно, все результаты пп. 22.2 и 22.3 остаются в силе и, в частности, сформулированный в конце результат, который описывает положение каждого игрока в коалиции и вне ее.

23.1.3. Эти результаты показывают, что игра трех лиц с нулевой суммой попадает в один из двух количественно различных классов, соответствующих возможностям Д = 0 и А > 0.

Действительно, мы видели, что нет причин для образования коалиции при Д = 0, и каждый игрок может получить ту же сумму, что и в любой коалиции, играя в одиночку против всех остальных. В этом и только в этом случае возможно предположить единственность значения каждой партии для каждого игрока, а сумма этих значений равняется нулю. Ими являются основные значения а, Ь, с, упомянутые в конце п. 22.3. В этом случае формулы п. 22.3 показывают, что а = а = -а, Ъ = Р = = - Ь, с = у = -с. В случае, когда образование коалиций бесполезно, мы будем называть игру несущественной.

В случае, когда А > 0, к образованию коалиций имеется определенный стимул, как обсуждалось в конце п. 22.3. Нет необходимости повторять приведенные там рассуждения. Отметим лишь, что здесь а > а > -а, Р > V > -Ь, у > с > с. В этом случае, когда коалиции являются существенными, будем называть игру существенной.

Приведенное разделение игр на несущественные и существенные было сформулировано только*применительно к случаю игр трех лиц с нулевой суммой. Впоследствии мы увидим, что оно может быть распространено на все игры и что эта дифференциация имеет исключительную важность.

23.2. Окончательные формулы

23.2. Прежде чем приступать к дальнейшему анализу полученного результата, сделаем несколько чисто математических замечаний о величинах а, &, с и связанных с ними а, р, у, а, с, Д, в терминах которых выражалось наше решение.

Предположим, что Г является игрой трех лиц с нулевой суммой в нормальной форме, как в п. 11.2.3. В этой игре игроки 1, 2, 3 выбирают

= - 2 3 (Т4, Т2, Т3) птгПтз

ж, наконец,

с = max min К (£, rj) = min max К (£, rj).

£ л /л £

Выражения для Ь, а получаются из написанного циклической перестановкой игроков 1, 2, 3 во всех деталях этого представления.

х) Число пар ti, т2, очевидно, равно р4р2.

•соответственно переменные т4, т2, т3 (каждый игрок не информирован о выборах двух других) и получают соответственно выигрыши е/Г! (т, т2, т3), е/?2 (т4, т2, т3), &Сг (ть т2, т3). Конечно (игра с нулевой суммой),

&Сi (Ti> т2, г3) + &С2 (т4, т2, Tg) + SK3 (xlf т2, т3) = 0. Областями изменения переменных являются

Ti=l, 2, ./.,plf т2 = 1, 2, ..., р2, т3 - 1, 2, ..., р3.

Теперь в игре двух лиц, которая возникает между абсолютной коалицией игроков 1, 2 и игроком 3, имеет место следующая ситуация.

Составной игрок 1, 2 располагает переменными т4, т2; оставшийся игрок 3 распоряжается переменной т3. Первый получает выигрыш

#Pi(t4, т2, г3) + Ж2(ти т2, т3) = - $С3 (т4, т2, т3),

последний получает этот выигрыш с обратным знаком.

Сметанной стратегией составного игрока 1, 2 является вектор

->

£££02» компоненты которого можно обозначить через т1)- Таким

образом, принадлежность £ множеству характеризуется соотноше-

ниями

->

Смешанной стратегией игрока 3 является вектор г)6рз,компоненты кото-> ->.

рого обозначим через т]Тз. Принадлежность вектора г) множеству S$3

характеризуется соотношениями

Поэтому билинейная форма К (£, т]) из (17:2) в п. 17.4.1 выглядит так:

К (I, rj) = 21 {1 Ы> т2, Г3) + Жг (т4, Т2, Т3)} iriTzllts =

*1» *2» Тз