назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [ 75 ] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


75

(19:30*) К=2 J У?*?***

о о

22 1

(19:31 :а*) Y?2 = j (- ар\1 - Ър?) dzt + J (ap2i + 6p2i) dzu

0 22

22 1

(19:31:Ь*) y22 = j (6p2i - 6p2i) dzt + j (bp? - bpp) dz>

*) Имеется в виду по / (i), но не по s2, j (su i)l

Поскольку эта игра уже не симметрична, нам нужны такие модификации формул, в которых роли двух игроков меняются. Это следующие формулы:

(19:32) К(р\ ..., ps а1, .. .,os) = -jr 2 W.

8Ь г

с коэффициентами

~s~ б*х=ж 2 <si-s2) (*> /) °?

S2,i

или, если использовать матричные схемы табл. 20 - 21,

81-1 8

(19:33:а) fiji = -L { 2 (оо? + 6о*2) + бор + 2 (- оо? + бор)} ,

S2=l 82=Si~{-l

81-1 S

(19:33:Ь) вр = { 2 (6*?2 +62) + 2 (-Ьо?-Ьо?)} .

S2== 1 S2=Si+l

Далее, критерии того, что стратегии оптимальны, остаются, по существу,, теми же, что и в.п. 19.6. Это значит, что, благодаря асимметричности, рассматриваемого сейчас варианта, наш критерий будет получен из общего-критерия (17:D) в п. 17.9, точно так же, как можно было бы из симметричного критерия в конце п. 17.11.2 получить критерий в п. 19.6.

-> -> -> -+•

(19 :G) Векторы р1, . . . , ps и о\ . . . , os (все они принадлежат $2}

описывают оптимальную стратегию в том и только том случае,

когда справедливо следующее:

Для каждой пары s2l jf, для которой yf не достигает минимума

(по У *)), имеем of2 = 0. Для каждой пары su i, для которой б®1

не достигает максимума (по i*)), имеем pf1 = 0.

19.14.6. Заменим теперь дискретные расклады sA, s2 на непрерывные в смысле п. 19.7. (См., в частности, табл. 18.) Это приводит, как было

-► -У

описано в п. 19.7, к замене векторов p8i, aS2 (su s2 = 1, . . - , S) на векторы

р21, a22 (0 zi9 z2 1), которые по-прежнему являются вероятностными векторами той же самой природы, т. е. принадлежат S2. Так вместо компонент pf1, of появляются компоненты р\1 о)9. Аналогично величины

б?1, yf переходят в б?1, yf. Суммы в наших формулах (19:30), (19:31 :а), (19:31 :Ь) и (19:32), (19:33:а), (19:33:Ь) переходят в интегралы, подобна тому как это было с (19:7*), (19:9:а*), (19:9:Ь*), (19:9:с*) в п. 19.7. Итак, мы получаем



{19:32*) <19:33:а*)

(19:33:Ь*)

к=2 $ W1!,

г О

6fi= (aaf2 + baj2)dz2+ j ( - ao\2-\-bof) dz2,

0 zi

6*i = j (baf» + bo?) dz2 + j (- 6af2 - bof)dz2.

Соответственно преобразуется теперь и наш критерий для оптимальных стратегий. (Подобно тому как был осуществлен переход от дискретного критерия в п. 19.6 к непрерывному критерию в п. 19.7.) Мы получаем:

-> ->

(19:Н) Векторы pzi и о22 (О zu z2 rg 1), принадлежащие £2, описывают оптимальную стратегию й том и только том случае, если: Для всех z2, /, для которых yf не достигает минимума (по *)), будет of = 0. Для всех zb i, для которых б!1 не достигает максимума (по г *)), будет р!1 = 0.

19.15. Математическое описание всех решений

19.15.1. Нахождение оптимальных стратегий р2 и о2, т. е. решений, определяемых неявным условием, установленным в конце п. 19.14, может быть осуществлено полностью. Математические методы, которые позволяют это сделать, аналогичны тем, которые были использованы для нахождения в п. 19.8 оптимальных стратегий в нашем исходном варианте покера,

V 1 z

V J 2

Рис. 26.

Рис. 27.

т. е. решений, задаваемых неявным условием, сформулированным в конце п. 19.7.

Мы не будем цриводить здесь математического рассмотрения, но опи-

-V -у

шем оптимальные стратегии pz и az, которые оно дает.

Существует одна и только одна оптимальная стратегия pz, в то время

как оптимальные стратегии oz образуют обширное семейство. См. рис. 26, 27. Фактические пропорции этих рисунков соответствуют случаю alb ~ 3. Здесь

(а - 6)6 д2 + 2д& -62

и- а(а + ЗЬ) V~ а(а + ЗЬ)

г) Имеется в виду по / (£), а не по z2, / (zu i)\



Сплошные линии изображают соответственно кривые р = pf и о = = of. Таким образом, превышение ординат сплошной линии над линией: р =0 (а - 0) равно вероятности высокой ставки pf (af), а превышение ординат линии р = 1 (а = 1) над сплошной линией равно вероятности низкой ставки pf = 1 - pf (of = 1 - of). Неправильная часть кривой

о = af (см. рис. 27) в интервале и 5g z v представляет сложность опти-

->

мальных стратегий az. Действительно, эта часть кривой а = of удовлетворяет следующим (необходимым и достаточным) условиям:

- (о?

V-ZQ J 1

если z0 - u,

> - , если m<Cz0<z;.

Это означает, что между и я v среднее значение af равно b/а, а на правом конце каждого такого интервала среднее значение af Ыа.

Таким образом, как рг, так и <тг соответствуют трем различным типам поведений на этих трех интервалахх).

Первый: Oz <. и. Второй: и <; z 5g у. Третий: i; < z <; 1. Длины этих интервалов соответственно равны и, и - и л I - у, а довольно сложные выражения для и ж v лучше всего запомнить с помощью следующих, легко проверяемых пропорций:

и а - Ъ

а + Ъ

1-и b

19.15.2. Формулы (19:31:а*), (19:31:Ь*) и (19:33:а*), (19:33:Ь*) позвр-ляют теперь вычислить коэффициенты у), б*. Вместо формул (как и в п. 19.& на рис. 25) мы дадим графическое представление, оставляя элементарную-

проверку читателю. Для проверки, являются ли pz, az оптимальными стратегиями, нужны только разности 6f - 6f, yl - у\. Действительног критерий в конце п. 19.14 можно переформулировать следующим образом..

Рис. 28.

Рис. 29.

Как только разность >0, должно быть pf = 0 или соответственно af = 0,, и как только разность <0, то pf = 0 или соответственно af = 0. Поэтому мы приводим графики этих разностей. (См. рис. 28, 29. Фактические пропорции этих рисунков соответствуют пропорциям рис. 26, 28, т. е. alb ~ 3. Здесь tg a = 2а, tg fi = 2Ь, tg у = 2 (а - Ь).)

Линия на рис. 28 изображает кривую у = yl - у\, а линия на рис. 29> изображает кривую б = 8f - 6f. Нерегулярная часть кривой б = 6f - Ь%

г) О граничных точках этих интервалов см. замечание на стр. 223.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [ 75 ] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]