назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [ 74 ] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


74

Сначала каждый игрок в результате случайного хода получает свой расклад 5 = 1, . . . , S; каждое из.этих чисел имеет одну и ту же вероятность 1/S. Обозначим расклады игроков 1 и 2 соответственно через s4 и s2.

После этого г) игрок 1 своим личным ходом выбирает либо а, либо Ь, т. е. высокую или низкую ставку 2). Он осуществляет это только на основе собственного расклада, ничего при этом не зная о раскладе партнера. Если его ставка низкая, то игра закончена. Если его ставка высокая, то игрок 2 личным ходом выбирает 3) либо а, либо Ь, т. е. высокую или низкую ставку. Он осуществляет это только на основе собственного расклада и выбора противника, ничего не зная при этом о раскладе партнера.

В этом состоит партия игры. По ее окончании расплата производится

следующим образом. Если ставка игрока 1 низкая, то при = s2 игрок 1

получает от игрока 2 соответственно 0. Если ставки обоих игроков высо-

-Ъ а

кие, то при Si = s2 игрок 1 получает от игрока 2 соответственно 0.

Если ставка 1 высокая, а ставка игрока 2 низкая, то игрок 1 получает 4) от игрока 2 только Ъ.

19.14.2. Рассмотрение чистых и смешанных стратегий теперь можно провести, по существу, точно так же, как это было сделано для исходного варианта покера в п. 19.5.

Укажем основные направления этого рассмотрения, что будет вполне понятно для читателя, если он вспомнит сказанное в пп. 19.4-19.7.

Чистая стратегия в этой игре состоит, очевидно, в следующем. Для каждого расклада s = 1, . . . , S указывается назначаемая ставка:- высокая или низкая. Проще всего это описать с помощью числового индекса: is = 1, 2, причем is = 1 соответствует высокой ставке, a is = 2 - низкой. Таким образом, стратегия игрока состоит в задании таких индексов ig. для каждого s = 1, . . . , S, т. е. в задании последовательности iu . . . , is.

Это относится к каждому из игроков 1 и 2; поэтому описанную выше стратегию мы будем обозначать через 24 . . . , is) или соответственно через 22 (/ь . . • , 7s)- Таким образом, количество стратегий у игроков одинаково - их столько же, сколько последовательностей iu . . . , is* т. е. число их равно 2s. В обозначениях из п. 11.2.2 мы имеем

6, = 62 = 6 = 2S.

(Подчеркнем, что рассматриваемая игра не симметрична!)

Теперь мы должны записать выигрыш, получаемый игроком 1, если игроки используют стратегии 21 . . . , is), 22 (/ь . • • , 7s) соответственно. Он определяется элементом матрицы SK . . . , is 7ь • • • » 7s)* Если расклады игроков будут s} и s2, то выигрыш игрока 1 можно записать, используя сформулированные выше правила, следующим образом. Он равен <£Sing (si-S2) (hx, 7s2)» гДе sign (54 - s2) - знак числа st - s2f а три функции

*) Мы продолжаем с этого места, как если бы игрок 2 уже сделал низкую ставку, а игрок 1 выбирал бы, что ему делать: раскрывать или повышать. На этом этапе мы рассматриваем пасование.

2) То есть повышает или раскрывается (см. сноску

3) То есть раскрывается или пасует.

4) При интерпретации этих правил вспомним приведенные выше сноски. Формально говоря, следовало бы вспомнить и замечание на стр. 213.



можно задать с помощью матриц, представленных в табл. 19 - 21.

Таблица 19

N. 0 г \ч

Таблица 20

Таблица 21

г \

Величины 5А, 52 являются результатом описанных выше случайных ходов. Следовательно,

1 VI

(ч> • • • 1 is 7i» • • •» 7s) = "s" «5fsigii(Sj-Sg) (Ц* Ц).

19.14.3. Перейдем теперь к смешанным стратегиям в смысле п. 17.2.

Ими являются векторы £, т), принадлежащие £р. Мы должны обозначить компоненты этих векторов подобно тому, как это было сделано для чистых стратегий. Вместо £Tl, цХ2 мы должны писать £гь ...,isi Ли,

Выпишем функцию (17:2) из п. 17.4.1, определяющую ожидаемый выигрыш игрока 1. Мы имеем

К(, Л)= 2 ,ЗР&» kli •Js)Ei1.....is4i1.....is =

*i.....\s

sv • • •. Js *

1 XI VI

~S2 ZJ sign (e4-e2) (Ц» 7e2)5llf • - • • isTlii> ••••

Целесообразно изменить порядок суммирования и написать Если мы теперь положим

{19:25) л

<19:26)

21.....г£,

исключая г»

h.....3S,

исключая js

то приведенное выше равенство примет вид

(19:27) К (I, л) = ж 2 S 3ei«n d-V (*• Л PiS2



(19:29) все os20, 2 а

и что произвольные pf1, Oj2i удовлетворяющие этим условиям, можно

получить из надлежащих g и г\ по формулам (19:25) и (19:26). (См. соответствующий шаг в п. 19.5.3 и, в частности, сноску 1 на стр. 216.) Благодаря этому можно ввести двумерные векторы

Тогда условия (19:28) и (19:29) выражают именно тот факт, что все р8*,

о82 принадлежат S2.

Итак, вектор £ (или rj) принадлежит £3, т. е. зависит от (3 - 1 = 2s-1

параметров; р81 (или of) составляют множество из S векторов из £2 (т. е. каждый вектор зависит от одного числового параметра); следовательно, для задания этого множества нужно ровно S числовых констант. Таким образом, 2s - 1 мы свели к S. (См. конец п. 19.5.3). 19.14.5. Перепишем теперь (19:27) в соответствии с п. 19.6:

<19:30) К(р\ Jeoi, ...,а*)=4-2 У?°?

s2,i

с коэффициентами

~S~ / ~ ~S2 2 sign (s!-s2) (h j) Pi1 si, i

или, исцользуя матричные схемы табл. 19 - 21,

82-1 S

<19:31:а) ТЙ==+ { ( ар*-&р+ 2 («РГ + 6рГ)} ,

Si = l ? Si=S2+l

S2-1 S

(19:31:Ь) Tl2 = 4" { 2 - + ЬР? + 2 №х + 6Р?)} •

si=l si=s2-fl

19.14.4. Все сказанное в точности соответствует проделанному в п. 19.5.2. Как и там, формула (19:25) показывает, что pf1 есть вероят-ность того, что игрок 1, использующий смешанную стратегию , выберет £, имея расклад s4, а формула (19:26) показывает, что of есть вероятность того, что игрок 2, использующий смешанную стратегию г), выберет /,

имея расклад $2. Снова интуитивно ясно, что ожидаемое значение К (£, rj) зависит только от этих вероятностей, а не непосредственно от определяющих их вероятностей &lf...,ig, тЬч, ..., js- Равенство (19:27) выражает именно этот факт, и на основе этого его можно было бы получить непосредственно.

Понятно также, что величины pf1, of, как по своему смыслу, так и в силу их формальных определений из (19:25), (19:26) удовлетворяют условиям

(19:28) все pJiO, 2р\*=1

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [ 74 ] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]