назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [ 72 ] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


72

ставленных на рис. 25, и с помощью (19:7*) из п. 19.7 вычислить выигрыш в игре для игрока 1:

(19:22) К=2 ]mdz-

з о

Поэтому используемые игроком 2 вероятности о) будут оптимальны против используемых игроком 1 вероятностей pf, если будет выполнено условие, аналогичное условию (19:8) из п. 19.6:

(19:С) Для каждой пары z, jf, для которой у) не достигает минимума

(по У *)), имеем of = 0. Иными словами, условие (19:С) необходимо и достаточно для того, чтобы вероятности о) были настолько хороши против р), насколько вероятности р) хороши против самих себя, т. е. дают К = 0. В противном случае вероятности о] плохи, т. е. дают К > 0. Иными словами:

(19:D) Ошибка, т. е. стратегия о), отличающаяся от оптимальной стратегии pj, не приведет к потерям, когда противник придерживается оптимальной стратегии, в том и только том случае, когда величины о? удовлетворяют приведенному выше условию (19:С).

Теперь достаточно мельком взглянуть на рис. 25, чтобы понять, что условие (19:С) означает, что of = af = 0 для z > (а - Ь)/а, но только af = 0 для z (а - Ъ)1а 2). Иными словами, условие (19:С) предписывает назначать высокую ставку и не делать ничего иного для старших раскла-

/ а - Ь\

дов ( z >> -у- 1 ; оно запрещает низкую ставку с последующим пасованием для всех раскладов, но его оказывается недостаточно для задания отношения вероятностей высоких и низких ставок (с последующим пасованием) для младших раскладов, т. е. в зоне блефа при z ~~~) *

19.10.3. Таким образом, любое отклонение от оптимальной стратегии, допускающее нечто большее, чем некорректный блеф, приводит к немедленным потерям. Этого достаточно для партнера, придерживающегося оптимальной стратегии. Некорректный блеф не приводит к потерям против партнера, использующего оптимальную стратегию; но партнер может причинить потери путем надлежащего собственного отклонения от оптимальной стратегии. Итак, важность блефа состоит не в фактической партии, разыгрываемой против оптимально действующего игрока, но в той защите, которую он дает против отклонений партнера от оптимальной стратегии. Это согласуется с замечаниями, сделанными в конце п. 19.2, и, в частности, с предложенной там второй интерпретацией блефа 3). Действительно, элемент неопределенности, создаваемой блефом, является именно тем типом ограничений на стратегию противника, о котором мы там упоминали и который анализировался в конце п. 19.2.

*) Мы имеем в виду минимум по /, а не по z, /!

2) В действительности можно было допустить даже of Ф 0 для одной точки z = --- .

Но вероятность этого изолированного значения z равна нулю, и его можно не рассматривать. См. замечание на стр. 223.

3) Все сказанное справедливо для рассматриваемой здесь формы покера. Другие точки зрения см. в п. 19.16.



Результаты, полученные нами при изучении блефа, находятся в полном согласии с заключениями из п. 17.10.2. Мы видим, что для этого варианта покера единственная оптимальная стратегия не всегда будет перманентно оптимальной; следовательно, в этом случае не существует перманентно оптимальной]стратегии. (См. начало п. 17.10.2, в частности доказательство на стр. 186.) Блеф оказывается защитной мерой в том смысле, как это обсуждалось во второй половине п. 17.10.2.

19.10.4. В-третьих, рассмотрим, наконец, отмеченные выше наступательные шаги, т. е. отклонения от оптимальной стратегии, с помощью которых игрок может извлечь пользу из отклонений противника от корректного блефа.

Поменяем игроков ролями. Пусть игрок 1 блефует некорректно, т. е. использует вероятности р), отличающиеся от указанных на рис. 24. Поскольку рассматривается некорректный блеф, мы пока предположим, что

pi = 0 для всех з,

„2 А Г ДЛЯ ВСеХ Z > Т- •

Pi = o J а

Теперь нас интересуют только последствия неравенств

(19:23) р* % для некоторого z = z0 < -у-*).

Левая часть равенства (19:15) из п. 19.8 "остается пока в силе как выражение для 1 - Yf - Рассмотрим теперь некоторое z <я0. Тогда знак в (19:23) не влияет на

jpfidz4, о

но он увеличивает (уменьшает)

j Pi dzi;

следовательно, он уменьшает (соответственно увеличивает) левую часть равенства (19:15), т. е. у\ - у\. Поскольку разность у* - у\ осталась бы равной 0, если бы не изменение (19:23) (см. рис. 25), теперь эта разность 0. Поэтому у\ yl. Рассмотрим, далее, некоторое z из интервала

z0<z - .

Знак в (19:23) увеличивает (уменьшает) \ pfidz4 и не влияет на 1 pf1;

2) На самом деле нам это необходимо более чем для одного z (см. замечание на стр. 223). Простейшее допущение состоит в том, что эти неравенства выполняются в небольшой окрестности интересующей нас точки z0.

Не представляло бы труда рассмотреть все это строго в смысле замечания на стр. 223 и сноски 4 на стр. 221. Мы отказываемся здесь от этого по изложенным там причинам.



) Мы не собираемся рассматривать что-либо отличное от игры двух лиц}

следовательно, он увеличивает (соответственно уменьшает) левую часть равенства (19:15), т. е. yz - у{. Поскольку разность у* - у\ осталась бы равной нулю, если бы не изменение (19:23) (см. рис. 25), теперь эта разность 0. Таким образом, у* у\. Подведем итоги:

(19:Е) Изменение знака в (19:23) приводит к неравенствам

у\ у\ для z < z0,

Vlyf Для 20<<rg.

Следовательно, партнер может выиграть, т. е. уменьшить К в (19:22), за счет использования величин о, которые отличаются от найденных pf.

Для z < z0 следует увеличить J за счет \, т. е. уменыпая-;(увеличнвая) о\ от значения p=p: до крайнего значения. А для z0 < z rg--следует увеличить \ за счет * ,т. е. увеличивая (уменьшая) of от вначе-

Оз °1

ния pf, q- до крайнего значения Q. Иными словами:

(19 :F) Если партнер блефует слишком часто (редко) при некотором

раскладе z0, то его можно наказать следующим отклонением от оптимальной стратегии: блефовать реже (чаще) при раскладах более слабых, чем zQ, и чаще (реже) при раскладах более сильных, чем z0.

Таким образом, следует копировать ошибки партнера при раскладах более сильных, чем z0, и поступать противоположным образом при более слабых раскладах.

Мы привели точное описание того, как откорректировать олефование, для того, чтобы защититься от слишком часто или слишком редко блефующего партнера, и описание непосредственных выводов. Эти соображения можно было бы получить и иначе, но мы не собираемся этим заниматься.

19.11. Более общие формы покера

19.11. Несмотря на то, что проведенное только что обсуждение пролило в достаточной мере свет на структуру стратегий и возможности покера, однако оно вообще оказалось возможным только благодаря существенному упрощению правил этой игры. Эти упрощения были введены и сформулированы в пп. 19.1, 19.3 и 19.7. Для правильного понимания этой игры нам следует теперь затратить усилия, чтобы от этих упрощений избавиться.

Сказанное отнюдь не означает, что все исключенные нами причудливые усложнения этой игры (см. п. 19.1) должны быть обязательно восстановлены *), но было бы весьма полезно вновь рассмотреть некоторые простые и важные особенности этой игры, которые до сих пор опускались. В частности, имеется в виду следующее:

(A) Расклады должны быть дибйретными, а не непрерывными (см. п. 19.7).

(B) Следует допустить ставки более чем двух уровней (см. п. 19.3).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [ 72 ] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]