назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [ 67 ] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


67

также ограничения на максимальные размеры ставок и повышений. Обычно накладывают также ограничения, исключающие слишком мелкие повышения; мы будем последовательно указывать, что послужило поводом для введения этих ограничений (см. конец п. 19.13). Ограничения на размер ставок и повышений мы выразим в простейшей из возможных форм. Мы будем предполагать, что заранее даны такие два числа а и &, для которых

а>6>0,

и что для каждой ставки имеется только Две возможности: ставка может быть либо «высокой», и в этом случае она равна а, либо «низкой», и в этом

случае она равна &. Меняя отношение ~, которое, очевидно, является здесь единственным существенным соотношением, мы можем сделать игру азартной, если отношение у существенно больше единицы, или относительно спокойной, если отношение ~ лишь немного больше

единицы.

Ограниченность числа ставок и повышений будет использована сейчас для упрощения всей схемы. В реальном покере один из игроков начинает с начальной ставки; затем игроки чередуют свои ходы.

Преимущества или недостатки того обстоятельства, что инициатива находится у одного из игроков, который зато должен начинать первым, сами по себе представляют интересную задачу. В пп. 19.14, 19.15 мы обсудим одну (несимметричную) разновидность покера, в которой это обстоятельство учитывается. Сначала, однако, нам не хотелось бы слишком усложнять исследуемый вопрос. Иными словами, на некоторое время нам хотелось бы избежать рассмотрения всех отклонений от симметричности, для того чтобы выявить наиболее характерные особенности покера в их наиболее чистом и простом виде. Поэтому мы будем предполагать, что начальные ставки делают оба игрока одновременно и ни один не знает о выборе другого. Только после того, как оба игрока назначат начальные ставки, они узнают, чья ставка выше или ниже.

19.3.2. Дальнейшее упрощение состоит в том, что игроки могут либо пасовать, либо раскрыться, т. е. исключается повышение. В самом деле, повышение является лишь более сложным и интенсивным выражением тенденции, содержащейся уже в высокой начальной ставке. Поскольку мы хотим по возможности упростить исследование, мы будем избегать рассмотрения нескольких путей проявления одной и той же тенденции. (См., однако, (С) в пп. 19.11, 19.14 и 19.15.)

В соответствии со сказанным сформулируем следующие условия. Рассмотрим момент, когда оба игрока информированы о сделанных ставках. Если при этом обе ставки оказываются либо высокими, либо низкими, то расклады сравниваются и игрок с более сильным раскладом получает от партнера соответственно а или Ь. Если расклады игроков равны, то расплата не производится. Если же одна из ставок оказывается высокой, а другая низкой, то игрок с низкой ставкой может либо пасовать, либо раскрыться. Пасование означает, что он платит своему партнеру сумму в размере низкой ставки (без какого бы то ни было сравнения раскладов). «Раскрытие» означает, что он изменяет свою низкую ставку на высокую, и эта ситуация рассматривается как такая, в которой оба игрока с самого начала назначили высокие ставки.



19.4. Точная формулировка правил

19.4. Теперь мы можем подвести итоги предыдущего описания нашего упрощенного покера, точно сформулировав принятые правила.

Сначала каждый игрок в результате случайного хода получает свой расклад, являющийся числом s = 1, ...,£; каждое из этих чисел имеет одну и ту же вероятность 1/S. Расклады игроков 1 и 2 мы обозначим соответственно через si9 s2.

Затем каждый игрок выбирает при своем личном ходе либо а, либо Ъ (высокую или низкую ставку). Каждый игрок производит выбор (ставку), ознакомившись со своим раскладом и не зная ничего ни о раскладе, ни о выборе (ставке) своего противника.

Наконец, каждому игроку становится известным выбор другого, но не его расклад. (Каждому игроку по-прежнему известны свои расклад и выбор). Если оказывается, что одна ставка высокая, а другая низкая, то игрок с низкой ставкой может либо раскрыться, либо пасовать.

Это и есть партия. По окончании партии выплаты производятся следующим образом. Если ставки обоих игроков высокие или ставка одного высокая, а ставка другого низкая, но сопровождается раскрытием, то

при Si = s2 игрок 2 выплачивает игроку 1 соответственно сумму 0. < -а

Если ставки обоих игроков «низкие», то при = s2 игрок 2 выплачивает

игроку 1 соответственно сумму 0. Если ставка одного игрока высокая,

а ставка другого низкая и сопровождается пасованием, причем с высшей

ставкой оказывается игрок , то игрок 2 выплачивает игроку 1 сумму •

Замечание. Ради формальной корректности это построение следовало бы еще привести в соответствие с моделями из §§ 6 и 7 в гл. II. Таким образом, упомянутые выше первые случайные ходы (имеющие дело с раскладами) следовало бы назвать ходами 1 и 2, последующие два хода (ставки) - ходами 3 и 4 и последний личный ход (пасование или раскрытие) - ходом 5.

В случае хода 5 как игрок, личным ходомкоторого он является, так и количество возможностей зависят от предыдущего хода игры, как это описано в пп. 7.1.2 и 9.1.5. (Если ставки обоих игроков одновременно высокие или низкие, то количество возможностей равно 1 и не имеет значения, какому игроку мы припишем этот пустой личный ход. Если же ставка одного игрока высокая, а другого низкая, то личный ход делает назначивший низкую ставку.)

Последовательное использование упомянутых обозначений заставило бы писать aii °*2 Для Si, 52; сг3, сг4 для высокой или низкой ставки, сг5 для пасования или раскрытия.

Мы предоставляем читателю сгладить все эти различия. ,

19.5. Описание стратегий

19.5.1. Всякая (чистая) стратегия в этой игре состоит, очевидно, в следующем. * Для каждого расклада 5 = 1, . . ., S указывается, какая будет назначена ставка, высокая или низкая, и в последнем случае делается дополнительное заявление относительно последующего течения игры: если с этой низкой ставкой сочетается высокая ставка противника, то игрок может раскрыться или пасовать. Проще всего записать это с помощью числового индекса is = 1, 2, 3; is = 1 соответствует высокой ставке; is = 2 соответствует низкой ставке с последующим раскрытием (если таковое происходит); is = 3 соответствует низкой ставке с последующим



пасованием (если таковое происходит). Таким образом, стратегия заключается в задании для каждого $ = 1, . . ., S значения индекса is, т. е. в задании последовательности г4, . . is.

Сказанное относится к обоим игрокам 1 и 2. Поэтому описанную выше стратегию мы будем обозначать соответственно через

Si (Ч,----, is) или 22 (/i, . .., /s).

Таким образом, у каждого игрока имеется одно и то же число стратегий: столько, сколько существует последовательностей iu . . ., is, т. е. 3s. Используя старые обозначения из п. 11.2.2, имеем

Pi = Ps = P = 3S.

Если бы мы хотели придерживаться введенных выше прежних строгих обозначений, то нам следовало бы перенумеровать теперь эти последовательности iu . . ., is при помощи ti = 1, . . ., 3 и затем (чистые) стратегии игроков 1 и 2 обозначить соответственно через SJ2. Но мы предпочитаем применять наши новые обозначения.

Теперь мы должны записать выигрыш, получаемый игроком 1, если игроки используют стратегии 24 (ц, . . ., is) и 22(7i, . . 7s)- Этим выигрышем является элемент матрицы SK . . ., is\ji, • • •» 7s) 1)-

Таблица 17. Jjf«(f, /)

Таблица 15. (i, /)

Таблица 16. J£0 (*, 7)

i \.

Если игроки фактически получили расклады $4 и s2, то выигрыш, получаемый игроком 1, можно записать (используя сформулированные выше правила) следующим образом. Этот выигрыш равен J£Sign(si-s2) js2)-> где sign (Si - s2) - знак 2) числа sx - s2, и три функции

#+(*,/), X0(i, J), «,/ = 1,2,3,

можно задать с помощью матриц3), приведенных в табл. 15 -17.

*) Индексом строки является вся последовательность £1? . . ., £g, а индексом столбца - вся последовательность /4, . . ., /д. В наших старых обозначениях мы имели бы стратегии EJ2 и элемент матрицы Ж (т4, т2).

2) Этот знак есть 0 соответственно для 54 = s2. Эта функция арифметически

показывает, какая ставка старше.

3) Читателю полезно сравнить эти матрицы с нашим словесным описанием правил и проверить их,соответствие.

Другим обстоятельством, на которое следует обратить внимание, является симметричность игры, соответствующая тождествам

%+ (*, /) = (/• i), %ъ (*, 7) s - Jif о (/, *)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [ 67 ] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]