назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [ 65 ] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


65

1/ах г). Заменим теперь Л у на два личных хода о/Ну, Л у соответственно игроков 1 и 2. Пусть каждый из них имеет ак альтернатив; соответствующие выборы обозначим через сг% = 1, . . ах и 0i = 1, . . а у. Последовательность этих ходов безразлична, но мы потребуем, чтобы они производились без всякой информации относительно результатов каких бы то ни было ходов (в том числе и относительно другого хода Лу, Л"у). Зададим функцию б (о, а") с помощью матричной схемы (см. табл. 14; б (а, о ") - элемент матрицы 2)). Влияние Лу, Лу, т. е. влияние соответствующих личных выборов оу, оу, на исход игры точно такое же, как ж Лу с соответствующим (случайным) выбором о у = б (оу, ак). Обозначим эту новую игру через Г*. Мы утверждаем, что стратегические возможности игры совпадают со стратегическими возможностями игры Г.

Таблица 14

«х-1

«х

ах -1

«х-1

ак - 2

ах- 1

18.6.3. Действительно, пусть игрок 1 в игре Г* использует данную смешанную стратегию из игры Г с последующим уточнением относительна хода Лк 3), для того чтобы выбрать все ок = 1, . . ах с одними и теми же вероятностями 1/ах. Тогда эта игра Г* - с этой стратегией игрока 1 - будет, с точки зрения игрока 2, совпадать с игрой Г. Это объясняется

2) Это не приводит к потере общности. Для того чтобы убедиться в этом, предположим, что интересующие нас вероятности суть произвольные рациональные дроби, например rxjt, . . ra /t (числа ги . . ., га и t - целые). (Это действительно ограничение, но несущественное, поскольку любые вероятности можно с любой точностью аппроксимировать рациональными дробями.)

Теперь модифицируем случайный ходстак, что он будет иметь тч + r2 + . . . • • • + ra - t альтернатив (вместо ах), обозначаемых через о у - 1, . . ., t (вместо ок =

= 1, . . ., ах), таким образом, каждое из первых гх значений Оу влияет на игру точно так же, как иах = 1, каждое из следующих г2 значений Gy - как ак = 2 и т. д. Поэтому все Оу = 1, . . ., t с равными вероятностями i/t оказывают точно такой же эффект, как и ок = 1, . . ., ак с исходными вероятностями rxlt, .

2) Арифметически

\ в-о" + 1 + Оу дляа<а". Следовательно, 6 (о, а") всегда будет одним из чисел 1, . . ., ак.

3) сМу - его личный ход, поэтому его стратегия в Г* должна иметь в виду этот ход. Это было не нужно в условиях игры Г, поскольку тшоМу был случайным ходом..



тем, что любой выбор игрока 2 при oJliK (т. е. любое о"к = 1, . . ., ах) даст тот же самый результат, что и исходный случайный ход о/Их. Взглянув на табл. 14, мы увидим, что столбец о" = ок этой матрицы содержит каждое из чисел о = б (о, о") = 1, . . ., ах ровно один раз, т. е. что функция б (а, о") принимает значения 1, . . ., а% (стратегии игрока 1) с равными вероятностями 1/а„ точно так же, как это сделал бы ход<г#х. Таким образом, с точки зрения игрока 1, игра Г* не хуже игры Г. Те же самые доводы, если при этом поменять ролями игроков 1 и 2, т. е. если поменять ролями строки и столбцы в матрице на табл. 14, показывают, что, с точки зрения игрока 2, игра Г* также не хуже игры Г.

Поскольку точки зрения двух игроков противоположны, это означает, что игры Г и Г* эквивалентны1).

18.7. Интерпретация этого результата

18.7.1. Последовательное применение ко всем случайным ходам игры Г операций, описанных в пп. 18.6.2, 18.6.3, позволит избавиться от них; тем самым заключительное утверждение из п. 18.6.1 доказано. Для того чтобы лучше понять сущность этого результата, приведем несколько практических примеров, иллюстрирующих это преобразование.

(A) Рассмотрим следующую совсем элементарную «игру случая». Два игрока при помощи случайного устройства с распределением 50% на 50% решают, кто платит другому одну единицу. Применение схемы из пп. 18.6.2 и 18.6.3 преобразует эту игру, состоящую ровно из одного случайного хода, в игру с двумя личными ходами. Взглянув на матрицу табл. 14 при ак = 2, мы придем к выводу, что она совпадает с матрицей табл. 2, если значения б (а, а"), равные 1, 2, заменить на фактические выигрыши. Вспоминая пп. 14.7.2, 14.7.3, мы видим (ход рассуждений достаточно прозрачен), что наша игра является игрой в «орлянку».

Таким образом, игра в «орлянку» является естественной схемой получения вероятностей 1/2, 1/2 в случае личных ходов и неполной информации. (Вспомним п. 17.1!)

(B) Модифицируем пример (А) так, чтобы допустить возможность «ничьей». Два игрока с помощью случайного устройства, дающего исходы

с вероятностями 33 %, 33 у %, 33 %, решают, кто будет платить другому

одну единицу или же никто никому совсем ничего не заплатит. Снова применяем схему из пп. 18.6.2, 18.6.3. Теперь матрица табл. 14 с ах = 3 совпадает с матрицей табл. 3 после замены в ней значений 1, 2, 3, принимаемых функцией б (а, а"), на фактические выигрыши 0, 1, -1. Воспользовавшись пп. 14.7.2, 14.7.3, мы видим, что это есть игра «камень, мешок и ножницы».

Таким образом, игра «камень, мешок и ножницы» является естественной схемой получения вероятностей 1/3, 1/3, 1/3 в случае личных ходов и неполной информации. (Вспомним п. 17.4!)

18.7.2. (С) Функцию б (о, о") в табл. 14 можно заменить другой функцией, и даже области ок = 1, . . ., ах и ок = 1, . . ., ах можно заменить на другие области ок = 1, . . ., ак и ох - 1, . . ., ах, лишь бы было

г) Мы предоставляем читателю привести эти рассуждения в соответствие с точными формализованными рассуждениями в § 11 и пп. 17.2, 17.8. Это не представляет затруднений, но несколько длинно. Мы надеемся, что проведенные выше неформальные аргументы подчеркивают существенные особенности рассматриваемого явления более простым и ясным путем.



выполнено следующее условие. Каждый столбец матрицы табл. 14 содержит каждое число 1, . . ., ах одно и то же число раз *), и каждая строка содержит каждое из чисел 1, . . ., ах одно и то же число раз 2). Действительно, в рассуждениях в п. 18.6.2 использовались только эти два свойства функции б (ах, Ох) (и ак, cQ.

Нетрудно видеть, что предосторожность, заключающаяся в «подсня-тии» колоды карт перед сдачей, попадает в эту категорию. Когда одна из 52 карт должна быть выбрана случайным образом с вероятностью 1/52, это обычно обеспечивается тасованием колоды. В этом и заключается случайность хода, но если игрок, тасующий колоду, шулер, то он может «передернуть», что и будет его «личным» ходом. Для защиты от этого другому игроку разрешается указать в перетасованной колоде место, с которого рассматриваемая колода должна быть «подснята». Эта комбинация двух ходов - даже если они личные - эквивалентна случайному ходу, который имелся в виду первоначально. Отсутствие информации, конечно, является необходимым условием эффективности этой схемы.

Здесь ах = 52, ак = 52! равно числу возможных расположений карт в колоде, = 52 - количество способов «подснятия». Мы предоставляем читателю возможность самостоятельно восстановить детали и выбрать в этой ситуации б (ох, ок) 3).

§ 19. ПОКЕР И БЛЕФ

19.1. Описание покера

19.1.1. Неоднократно подчеркивалось, что случай р4 = р2 = 2, рассмотренный в п. 18.3 и более детально в п. 18.4, охватывает лишь самые простые игры двух лиц с нулевой суммой. Затем в п. 18.5 мы привели несколько более сложных примеров, возникающих при рассмотрении общего случая игры двух лиц с нулевой суммой, но для лучшего понимания наших общих результатов целесообразно, по-видимому, обсудить детально еще одну частную игру более сложного типа. Это тем более желательно, что для игр с р± = р2 = 2 выборы т1? т2, называемые (чистыми) стратегиями, едва ли заслуживают это имя: естественнее было бы называть их «ходами». Действительно, в этих чрезвычайно простых играх вряд ли могло бы проявиться какое-либо различие между позиционной и нормальной формами, и поэтому тождественность ходов и стратегий (характеризующих игру в нормальной форме), в этих играх не пропадает. Мы будем теперь рассматривать игру в позиционной форме, в которой игрок имеет несколько ходов, так что переход к нормальной форме и к стратегиям станет уже достаточно содержательной операцией.

19.1.2. Игра, которую мы собираемся рассмотреть, - это покер.

Замечание. Рассмотрение в общем виде вопросов, связанных с покером, и математическое обсуждение вариантов осуществлено Дж. фон Нейманом в 1926-28 гг., л о до сих пор не опубликовано. Этот круг вопросов освещен в последующих пунктах (см. общее упоминание в «Zur Theorie der Gesellschaftsspiele», Math. Ann., 100 (1928)). Это относится, в частности, к симметричному варианту в пп. 19.4-19.10, к вариантам -1-

*) Именно осх/сСи раз; поэтому должно делиться на ах.

2) Именно ах/а раз; поэтому ах должно делиться на ак.

3) Мы предполагаем, что тасование используется для последующего выбора только одной карты. Если сдается более одной карты, то «подснятие» не будет абсолютно надежным средством. Шулер может подтасовать колоду таким образом, что одно «подснятие» не расстроит его планы и информация о такой колоде даст шулеру незаконное преимущество.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [ 65 ] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]