назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [ 64 ] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


64

том случае, когда *) К (£, т]) rg 0. Легко видеть, что первое справедливо тогда и только тогда, когда

1 = 2 = j» Нз = 0,

а второе -тогда и только тогда, когда

ЧТетбР 43 = 1-2%.

Таким образом, множество -4 оптимальных стратегий состоит ровно

из одного элемента, и этот элемент не является чистой стратегией. В то же

- ->

время множество В оптимальных стратегий г\ содержит бесконечно много

-> ->

стратегий, одна из которых является чистой, именно т] = б3 = {0, 0, 1}.

Рис. 22. Рис. 23.

Множества А и В можно представить графически, используя графическое представление по аналогии с рис. 16 (см. рис. 22, 23).

По поводу (18:С). Приведем пример вполне определенной игры, в которой никакие две строки, а также никакие два столбца не доминируют друг друга. Фактически мы сделаем даже несколько больше.

18.5.4. Предположим пока, что числа р1? р2 произвольны. Сущность доминирования строк и столбцов была рассмотрена в конце п. 18.3. Как было показано, это означает, что у одного из игроков имеется простой и непосредственный повод отказаться от одной из своих возможностей ради другой,- и это сужает возможности в направлении, приводящем в конечном счете к полной определенности.

В частности, если строка т[ доминируется строкой т. е. если (Ti» т2) (1, т2) для всех т2, то игроку 1 можно не рассматривать выбор Tj, поскольку при любых обстоятельствах выбор %[ не хуже выбора т". Если столбец т2 доминирует столбец т2, т. е. если (тА, т2) е/Г (т15 т2) для всех т4, то игроку 2 можно не рассматривать выбор т2, поскольку при любых обстоятельствах выбор т[ для него не хуже выбора т2. (См. приведенное выше, в частности сноску 2 на стр. 197. Это рассмотрение, конечно, является чисто эвристическим, см. замечание на стр. 204.)

Теперь мы можем использовать более общее положение. Если строка %"х (т. е. чистая стратегия игрока 1, соответствующая строке т[) доминируется линейной комбинацией оставшихся строк т[ Ф %\ (т. е. смешан-->

ной стратегией £, в которой компонента £т* ==0), то правдоподобно

х) Читателю предоставляется дать простую словесную интерпретацию этих утверждений.



предположить, что игроку 1 можно не рассматривать выбор %"v поскольку другие %[ при любых обстоятельствах будут не хуже. Математически эта ситуация выражается так:

{3i Ж К, т2) 2 Ж(ти т2)£Х1 Для всех т2,

Ет- = 0.

Для игрока 2 аналогичное положение дел возникает в том случае* когда столбец %\ (т. е. чистая стратегия игрока 2, соответствующая т"2) доминирует линейную комбинацию оставшихся столбцов т2 Ф %\ (т. е. смешанную стратегию г] с компонентой = 0). Математически эта ситуация выражается так:

(18:14:Ь)

Ж (ти т"2) Ж(%и т2)т]Т2 для всех т4,

Т2=1

Л 602, Лт; = 0-

Эти утверждения аналогичны приведенным выше.

Таким образом, игра, в которой имеют место (18:14:а) или (18:14:Ь)Г позволяет для одного из игроков быстро и естественно ограничить возможность выбора.

Замечание. Это, конечно, чисто эвристическая аргументация. Мы в ней и не нуждаемся, поскольку в нашем распоряжении имеется полное рассмотрение, проведенное в пп. 14.5 и 17.8. Однако может возникнуть иллюзия, что это рассуждение может заменить или по крайней мере упростить эти строгие доказательства. Пример, который мы собираемся привести в этом тексте, по-видимому, разбивает такие надежды.

Существует и другой путь, позволяющий получить эти результаты. Если имеет место (18:14:а) или (18:14:Ь), то комбинация этого с результатами из п. 17.8 может быть использована для получения информации о множествах оптимальных стратегий А и В. Здесь мы не собираемся этим заниматься.

18.5.5. Покажем теперь, что возможности применения утверждений (18:14:а) и (18:14:Ь) весьма ограничены. Мы построим вполне определенную игру, для которой не справедливо ни (18.14:а), ни (18:14:Ь).

Для этого вернемся к рассмотрению класса игр с матрицей, изображенной в табл. 11 (pt = = р2 = 3). Положим 0 < а < 1, Р = 0, у = -а (см. табл. 13). Читатель может сам определить, какая комбинация выбора «безымянный» соответствует выигрышу или штрафу в указанном выше смысле.

Обсудим эту игру. Элемент (3, 3) является, очевидно, седловой точкой; поэтому игра вполне определенная и

v = v = 0.

Таблица 13

\Т2 Tl \

*- 1

Нетрудно показать теперь (привлекая метод, использованный в п. 18.5.3), что как множество А всех оптимальных стратегий так и множество В всех оптимальных стратегий г) содержат ровно по одному элементу: чистую стратегию б3 = {0, 0, 1}.



С другой стороны, у читателя не вызовет затруднения проверка того, что здесь не имеют места ни (18:14:а) ни (18:14:Ь), т. е. что в матрице на табл. 13 ни одна из строк не доминируется линейной комбинацией двух других и ни один столбец не доминирует линейную комбинацию двух других.

18.6. Случай и неполная информация

18.6.1. Рассмотренные в предыдущих пунктах примеры прояснили тот факт, что роль случая - более точно, вероятности - в игре не всегда очевидна, поскольку она не вытекает непосредственно из правил игры. Правила игр с матрицами табл. 7 и табл. 11 никак не предусматривают случай: все без исключения ходы делаются игроками *). Тем не менее мы обнаружили, что большинство из этих игр не является вполне определенным, т. е. оптимальные стратегии в них являются смешанными стратегиями, включающими явное использование вероятностей.

С другой стороны, анализ игр с полной информацией показал, что эти игры всегда вполне определены, т. е. что игроки в них имеют оптимальные стратегии, которые являются чистыми стратегиями, и совсем не включают вероятность (см. § 15).

Таким образом, с точки зрения поведения игроков, т. е. с точки зрения используемых ими стратегий, существенно, является ли игра вполне определенной или нет, но несущественно, содержит ли она какие-либо случайные ходы.

Результаты § 15, относящиеся к играм, в которых имеется полная информация, показывают, что существует тесная связь между полной определенностью и правилами, которые регулируют информацию игроков. Для того чтобы сделать это совершенно ясным и, в частности, показать, что наличие случайных ходов несущественно, мы установим сейчас следующее. В каждой игре двух лиц с нулевой суммой любой случайный ход можно так заменить комбинацией личных ходов, что стратегические возможности игры не изменятся. Это будет необходимо допустить для правил, включающих неполную информацию игроков, но это является именно тем, что мы хотим сейчас показать: неполная информация включает (среди другого) все возможные последствия явных случайных ходов 2).

18.6.2. Итак, рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой Г и в ней случайный ход оМ%3). Перенумеруем, как обычно, все альтернативы а у = 1, . . ., ах и примем, что их вероятности рк{\ . . ., рхак) равны

*) Приведение всех игр к нормальной форме показывает даже большее. Каждая игра эквивалентна игре без случайных ходов, поскольку нормальная форма имеет дело только с личными ходами.

2) Прямой путь устранения случайных ходов состоит, конечно, во введении (чистых) стратегий и выбора посредника, как это описано в п. 11.1. Действительно, в п. 11.2.3 на последнем шаге приведения игры к нормальной форме мы исключили оставшиеся случайные ходы путем явного введения ожидаемых значений.

Сейчас, однако, мы предлагаем исключить случайные ходы, не разрушая столь радикально структуру игры. Мы заменим каждый случайный ход личными ходами (именно двумя ходами, как это будет показано) таким образом, что их роли при определении стратегий игроков будут всегда дифференцированы и индивидуальны. По-видимому, это детальное рассмотрение сделает более ясной структуру исследуемых вопросов, чем упомянутая выше краткая процедура.

3) Для нас сейчас безразлично, зависят или нет характеристики ©#х от предыдущего развития партии.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [ 64 ] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]