назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [ 62 ] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


62

18.3.2. В случае (В2), т. е. когда игра не вполне определена, найденные нами (единственный) вектор из А и (единственный) вектор г) из В имеют обе ненулевые координаты. Это, так же как и утверждение о единственности, не зависит от соглашений, описанных в п. 18.1.3 *). Таким образом, мы имеем:

(18:В) Если игра не является вполне определенной, то существуют

~> -

только одна оптимальная стратегия £ (т. е. из А) и только одна

-> -

оптимальная стратегия г] (т. е. из В) и обе компоненты этих стратегий положительны.

Иными словами, оба игрока действительно должны использовать смешанные стратегии.

В силу (18:В) ни одна из компонент векторов £ и у] ( из А, г] из В) не равна нулю. Поэтому критерий из п. 17.9 показывает, что утверждение, предшествующее выводу (18:11), - (который являлся тогда достаточным, но не был необходимым) теперь является необходимым (и достаточным). Поэтому условия (18:11) должны быть выполнены, и, следовательно, все полученные из них заключения справедливы. Это относится, в частности, к значениям £4, £2, Ль Л2> полученным после (18:11), и к значению v\ даваемому формулой (18:13).

Таким образом, всякий раз, когда игра не является вполне определенной, применимы все эти формулы.

18.3.3. Сейчас мы сформулируем другой критерий. Будем говорить, что в матрице общего вида &С (т4, т2) (см. табл. 5 на стр. 126) при произвольных Pi и р2 строка (скажем, х[) или столбец (скажем, т2) доминирует соответственно другую строку (скажем, т) или другой столбец (скажем, т2), если это справедливо для всех без исключения соответствующих элементов. Иными словами, если (т, т2) &С {х\, т2) для всех т2 или соответственно если $С (Ti, т2) SK (т17 т2) для всех хх.

Это определение имеет простой смысл. Оно означает, что для игрока 1 выбор х[ не хуже выбора х"х или что для игрока 2 выбор т2 не лучше выбора т2, и в обоих случаях это справедливо независимо от действий противника 2).

Вернемся теперь к нашей задаче (рА - р2 = 2). Вновь рассмотрим случаи (A), (Bi), (В2) из п. 18.2. В первых двух случаях имеется доминирующая строка или столбец 3). В последнем случае нет ни того ни другого 4).

Таким образом, тот факт, что какая-то строка (столбец) доминирует другую, является необходимым и достаточным условием полной определенности игры Г. Подобно нашему первому критерию, этот критерий основан на использовании в п. 18.2 сформулированных в п. 18.1.3 соглашений. И точно так же, как и в п. 18.2, эти соглашения не влияют ни на полную определенность, ни на доминирование строк или столбцов. Следовательно, и этот критерий также всегда справедлив. Переформулируем его.

х) Это также легко проверить.

2) Это, конечно, исключительный случай. Вообще, сравнительное достоинство возможных выборов будет зависеть от действий противника.

3) Случай (А): столбец 1 доминирует столбец 2 в силу (18:2). Случай (ВА): строка 1 доминирует строку 2 в силу (18:7).

4) Случай (В2): как нетрудно проверить, неравенства (18:10) исключают все четыре возможности.



(18:С) Игра Г вполне определена в том и только том случае, когда

некоторая строка (столбец) доминирует другую (другой).

18.3.4. В том, что условие (18:С) достаточно для полной определенности, нет ничего удивительного. Оно означает, что для одного из двух игроков одна из его чистых стратегий во всех случаях не хуже других (ср. выше). Таким образом, он знает, что делать ему, а его противник знает, что его ожидает. Это и соответствует полной определенности.

Проведенное рассуждение основано, конечно, на предположении о рациональном поведении другого игрока. Наше первоначальное обсуждение свободно от такого предположения. Замечания, сделанные в начале и в конце п. 15.8, применимы до некоторой степени и в этой более простой ситуации. Существенно здесь то, что на самом деле результат (18:С) является и необходимым условием. Иными словами, из того, что могло бы обеспечить полную определенность игры, нет ничего более тонкого, чем непосредственное доминирование строк или столбцов.

Следует помнить, что нами рассматривался самый простой случай: Pi = р2 = 2. В п. Г8.5 мы увидим, какие следует добавить условия в тех случаях, когда Pi и р2 увеличиваются.

18.4. Обсуждение некоторых конкретных (обобщения игры в «орлянку»)

18.4.1. Рассмотрим некоторые применения результатов из пп. 18.2 и 18.3.

(а) Игра в «орлянку» в ее обычной форме с матрицей 5Г (табл. 7) задается так, как это указано в табл. 2 (стр. 120). Нам известно, что значение этой игры

v = 0

и (единственные) оптимальные стратегии

(См. п. 17.1. Это получается сразу же из формул п. 18.2.)

18.4.2.(Ь) Игра в «орлянку», где выбор «решетки» дает двойной выигрыш. Таким образом, матрица табл. 7 отличается от матрицы табл. 2 тем, что у нее элемент (1, 1) в два раза больше (см. табл. 8).

Диагонали здесь отделены (1 и 2 больше, чем - 1); следовательно, оптимальные стратегии единственны и они будут смешанными (см. (18:А), (18:В)). Используя соответствующие формулы из случая (В2) в п. 18.2.5, мы получаем значение

Таблица 8

V =5

и оптимальные стратегии

={4-4} 4 = {ipt}-

Заметим, что выигрыш при угадывании «решетки» увеличил значение игры для игрока 1, который пытается угадать. Кроме того, это обстоятельство заставляет его выбирать «решетку» менее часто, поскольку выигрыш делает этот выбор правдоподобным и, следовательно, опасным. Прямая угроза большой потери из-за выбора «решетки» влияет на игрока 2 анало-



гичным образом. Это рассуждение весьма правдоподобно, но недостаточно строго. Однако наши формулы, из которых этот результат был получен, достаточно строги.

18.4.3.(с) Игра в «орлянку», в которой совпадение «решеток» дает двойной выигрыш, а несовпадение при выборе «решетки» игроком 1 влечет тройной штраф. Таким образом, матрица табл. 7 модифицируется так, как показано в табл. 9.

Диагонали отделены (1 и 2 больше, чем -1, -3); следовательно, оптимальные стратегии \ единственны и оказываются смешанными (ср. с полученными выше результатами). В этом случае использованные ранее формулы приводят к значению

Таблица 9

и к оптимальным стратегиям

={тт} 11=1 {т у}

примеров это-

Мы предоставляем читателю дать качествен ную интерпретацию этого результата в том же смысле, что и выше. Конструирование дальнейших го типа можно теперь осуществить без труда.

18.4.4.(d) В п. 18.1.2 мы видели, что рассмотренные нами различные варианты игры в «орлянку» являются простейшими примерами игр двух лиц с нулевой суммой. В силу этого обстоятельства они приобрели общую значимость, которая затем подтвердилась результатами в пп. 18.2 и 18.3: действительно, мы там обнаружили, что этот класс игр выявил уже на простейших формулах условия, при которых чередуются случаи полной и неполной определенности. В качестве дальнейшего дополнения в этом же духе мы укажем, что взаимосвязь этих игр с игрой в «орлянку» подчеркивает только один частный аспект. Другие игры, встречающиеся в совершенно ином оформлении, могут в действительности также принадлежать этому классу. Рассмотрим один пример такой игры.

Игра, которую мы сейчас рассмотрим, является эпизодом из приключений Шерлока Холмса 2).

Шерлок Холмс намерен отправиться из Лондона в Дувр и далее на континент, чтобы спастись от профессора Мориарти, который его преследует. Сев в поезд, он после отхода поезда заметил на платформе профессора Мориарти. Шерлок Холмс допускает - и предполагается, что в этом он совершенно прав,- что его противник, который увидел его, может взять специальный поезд и догнать его. Перед Шерлоком Холмсом альтернатива: или продолжать поездку в Дувр, или покинуть поезд в Кентербери,

*) Ко н а ы Дойль, Приключения Шерлока Холмса, Собр. соч., т. 2., изд-во «Правда», М., 1966, стр. 231-233.

2) Интересующая нас ситуация должна быть снова оценена, конечно, как пример одной из многих возможных в практической жизни конфликтных ситуаций. Она изложена, например, О. Моргенштерном в «Wirtschaftsprognosen», Vienna, 1928, стр. 98.

Автор, однако, не разделяет несколько пессимистическую точку зрения, высказанную там или в «Vollkommene Voraussicht und wirtschaftliches Gleichgewicht», Zeitschrift fur Nationalokonomie, 6 (1934).

Поэтому наше решение отвечает также на сомнения, высказанные К. Менгером в статье «Neuere Fortschritte in den exacten Wissenchiften. Einige neuere Fortschritte in der exacten Behandlung sozialwissenschaftlicher Problem», Vienna, 1936, стр. 117, 131.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [ 62 ] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]