18.2.3. Случай (В): описанный выше выбор невозможен. Возьмем две интересующие нас клетки ( max и min ); тогда они будут
Tl, То Tl, Т2
лежать либо в одной и той же строке, либо в одном и том же столбце. Если имеет место первый случай, то можно поменять ролями игроков 1 и 2; поэтому всегда можно будет считать, что эти две клетки лежат в одном и том же столбце
Переставляя т4 = 1, 2 (если это необходимо, одновременно с т2 = - 1, 2), мы опять можем сделать так, чтобы первой из указанных клеток ( max ) была бы (1, 1). Таким образом, номер интересующего нас столбца
Tl, т2
будет т2 = 1. Тогда второй из указанных клеток ( min ) должна быть (2,1)2).
Tl, т2
Следовательно, мы имеем
(18:4) ЦЖ!).
Фактически случаи Ж (1, 1) = Ж(1, 2) или Ж (2, 2) = Ж (2, 1) исключаются, поскольку иначе для max и min был бы возможен альтернатив-
тъ Т2 Ti, т2
ный выбор (1, 2), (2, 1) или (1, 1), (2, 2) и мы попадали бы в условия случая (А)3).
Таким образом, мы можем усилить (18:4), именно:
[>Ж(1, 2)Л (18:5) *&Ъ[>п\2,2)>}*<2Ч-
Теперь мы должны произвести дальнейшее разделение.
18.2.4. Случай (В4):
(18:6) <ЙГ(1, 2)Ж(2, 2).
Тогда неравенства (18:5) можно усилить:
(18:7) Ж (1, 1) > Ж (1, 2) Ж (2, 2) > Ж (2, 1).-
Поэтому (1, 2) снова оказывается седловой точкой.
Таким образом, и в этом случае игра тоже вполне определена, и опять
(18:8) у = у = й:(1, 2).
18.2.5. Случай (В2):
(18:9) Ж(1, 2)<Ж(2, 2).
г) Эта перестановка игроков изменяет знак каждого элемента матрицы (см. выше), поэтому она меняет местами шах и min. Но тем не менее они окажутся в одном
Tl, Т2 Tl, Т2
и том же столбце.
2) Точнее, это могла бы быть клетка (1, 1). Но тогда для Ж (хи т2) значения max
Tl, т2
и min совпадают, т. е. функция Ж (ti, т2) постоянна. Тогда мы можем использовать ti, т2
(2, 1) также для min.
Tl,T2
3) Как показывает пример игры в «орлянку», случай Ж (1, 1) = Ж (2, 2) и Ж (1, 2) = Ж (2, 1) возможен. См. сноску 3 на стр. 192 и сноску 1 на стр. 195.
Тогда неравенства (18:5) можно усилить:
(18:10) 0Г(1, 1)(2, 2)>ЙГ(1, 2) г5Г(2, I)1).
Эта игра не является вполне определенной 2).
Однако нетрудно найти оптимальные стратегии (т. е. £ из А и г) из Б),
как удовлетворяющие характеристическому условию (17:D) из п. 17.9.
-> ~>
Мы в состоянии сделать даже большее: можно выбрать т) и так. чтобы
соответственно сумма 2 (ть т2) 2 сохраняла свое значение для всех
Т2=1
ti, а сумма 2 (Ti» т2) - Для всех т2. Для этого необходимо, чтобы
T1=j
Г l)T]i + (l, 2)ть = аГ(2, 1) 4i + (2, 2)%,
(1Ь:11) 1 SST(lf ЩН-£Г(2, 1) Ea = SSr (1, 2)61 + ST(2> 2) ga-
(18:12) (
Это означает, что
£i:g2=(Sr(2, 2) -ST (2f 1)):(ЙГ(1, 2)),
= (Й8Г (2, 2) -$Г(1, 2)):(5Г(1, 1) -5Г(2, 1)).
Эти отношения должны удовлетворять еще и требованиям
Этим требованием удовлетворить можно, поскольку приведенные отношения (т. е. правые части в (18:12)) положительны в силу (18:10). Мы имеем
с/П2, 2)- | -с%*(2, 1) | |
еЖ(1, 1) + <(2, 2)-. ((1, 1)- | -сЖ(1, 2)--суГ (1, 2) | -g(2, 1) |
ойГ (1, 1) + сйГ (2, 2)- | -с/Г (1, 2)- | -ой: (2, 1) |
оЖ(2, 2)- | -сЖ(1, 2) | |
е?П1, 1)+Ж(2, 2)- Ж(1, 1)- | -Ж(1, 2)--(2, 1) | -Ж (2, 1) |
сЖ(1, 1) + <з(2, 2)- | -сйГ(1» 2)- | -оЖ(2, 1) |
Можно показать даже, что эти векторы £, т] единственны, т. е. множества А, В не имеют других элементов.
Доказательство. Если бы вектор £ или г] отличался от найденного нами, то в силу характеристического условия (17:D) из п. 17.9
вектор г] или соответственно вектор должен был бы иметь одну равную
нулю компоненту. Но тогда г) или I должны были бы отличаться от
*) Этот случай фактически соответствует игре в «орлянку». См. сноски 3 на стр. 192 и 3 на стр. 194.
2) Ясно, что vA = max min Ж (т4, т2) = Ж (1, 2), v2 = min max Ж (ть т2) =
Ti Т2 Т2 Ti
= Ж (2, 2), и поэтому Vi < v2.
приведенных выше, поскольку у них обе компоненты положительны. Таким
-> ->
образом, отличаться от приведенных значений должны одновременно и £ и Г), но тогда оба они должны иметь по одной равной нулю компоненте. Для
обоих другая компонента будет тогда равна 1, т. е. оба являются коорди-
> ->
натными векторами г). Следовательно, седловая точка функции К (£, т]), которую они представляют, совпадала бы с седловой точкой функции Ж (%и т2); ср. (17:Е) из п. 17.9. Таким образом, игра была бы вполне определенной, но мы знаем, что в данном случае это не так. Это завершает доказательство.
Теперь видно, что все четыре выражения в (18:11) равны одному и тому же значению, именно:
Ж{\, 1)оЖ(2, 2) -Ж (1, 2)(2, 1)
Ж{1, 1)4-(2, 2)-оЖ(1, 2) - ойГ (2, 1)
а в силу (17:5:а), (17:5:Ь) из п. 17.5.2 этим значением является v\ Таким образом, мы имеем
(18-13) v = 1)с2 2)-сйГ(1, 2)аЖ(2, 1)
Ж(1, \)+Ж{2, 2) -суГ(1, 2) -аЖ(2, 1)
18.3. Качественное описание
18.3.1. Полученные в п. 18.2 формальные результаты можно резюмировать различными способами, которые сделают их более ясными. Начнем прежде всего со следующего критерия.
Клетки (1, 1), (2, 2) образуют одну диагональ матрицы в табл. 7. Клетки (1, 2), (2, 1) образуют другую диагональ.
Будем говорить, что два множества чисел Е и F отделены, если либо каждый элемент множества Е больше любого элемента из F, либо каждый элемент из Е меньше любого элемента из F.
Рассмотрим теперь случаи (А), (В4), (В2) из п. 18.2. В первых двух случаях игра вполне определена, а элементы, расположенные на одной диагонали матрицы, не отделяются от элементов, расположенных на другой диагонали 2). В последнем случае игра не является вполне определенной и элементы, образующие одну диагональ матрицы, отделяются от элементов, образующих другую диагональ 3).
Таким образом, отделимость диагоналей необходима и достаточна для того, чтобы игра не была вполне определенной. Этот критерий основан на результатах, полученных в п. 18.2 благодаря соглашению в п. 18.1.3 Но описанные в п. 18.1.3 три соглашения не затрагивали ни полной определенности игры, ни отделимости диагоналей 4). Следовательно, наш первый критерий всегда справедлив. Переформулируем его:
(18:А) Игра не является вполне определенной в том и только том
случае, когда элементы одной диагонали матрицы отделяются от элементов другой диагонали.
г) (1, 0} или {0, 1}.
2) Случай (А): Ж (1, 1) Ш Ж (1, 2) > Ж (2, 2) в силу (18:2). Случай (В*): Ж (1, 1) > Ж (1, 2) Ш Ж (2, 2) в силу (18:7).
3) Случай (В2): Ж (1, 1) Ш Ж (2, 2) > Ж (1, 2) > Ж (2, 1) в силу (18:10).
4) Первое очевидно, поскольку эти соглашения касаются только обозначений, что для игры несущественно. Второе легко проверить.