назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [ 61 ] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


61

18.2.3. Случай (В): описанный выше выбор невозможен. Возьмем две интересующие нас клетки ( max и min ); тогда они будут

Tl, То Tl, Т2

лежать либо в одной и той же строке, либо в одном и том же столбце. Если имеет место первый случай, то можно поменять ролями игроков 1 и 2; поэтому всегда можно будет считать, что эти две клетки лежат в одном и том же столбце

Переставляя т4 = 1, 2 (если это необходимо, одновременно с т2 = - 1, 2), мы опять можем сделать так, чтобы первой из указанных клеток ( max ) была бы (1, 1). Таким образом, номер интересующего нас столбца

Tl, т2

будет т2 = 1. Тогда второй из указанных клеток ( min ) должна быть (2,1)2).

Tl, т2

Следовательно, мы имеем

(18:4) ЦЖ!).

Фактически случаи Ж (1, 1) = Ж(1, 2) или Ж (2, 2) = Ж (2, 1) исключаются, поскольку иначе для max и min был бы возможен альтернатив-

тъ Т2 Ti, т2

ный выбор (1, 2), (2, 1) или (1, 1), (2, 2) и мы попадали бы в условия случая (А)3).

Таким образом, мы можем усилить (18:4), именно:

[>Ж(1, 2)Л (18:5) *&Ъ[>п\2,2)>}*<2Ч-

Теперь мы должны произвести дальнейшее разделение.

18.2.4. Случай (В4):

(18:6) <ЙГ(1, 2)Ж(2, 2).

Тогда неравенства (18:5) можно усилить:

(18:7) Ж (1, 1) > Ж (1, 2) Ж (2, 2) > Ж (2, 1).-

Поэтому (1, 2) снова оказывается седловой точкой.

Таким образом, и в этом случае игра тоже вполне определена, и опять

(18:8) у = у = й:(1, 2).

18.2.5. Случай (В2):

(18:9) Ж(1, 2)<Ж(2, 2).

г) Эта перестановка игроков изменяет знак каждого элемента матрицы (см. выше), поэтому она меняет местами шах и min. Но тем не менее они окажутся в одном

Tl, Т2 Tl, Т2

и том же столбце.

2) Точнее, это могла бы быть клетка (1, 1). Но тогда для Ж (хи т2) значения max

Tl, т2

и min совпадают, т. е. функция Ж (ti, т2) постоянна. Тогда мы можем использовать ti, т2

(2, 1) также для min.

Tl,T2

3) Как показывает пример игры в «орлянку», случай Ж (1, 1) = Ж (2, 2) и Ж (1, 2) = Ж (2, 1) возможен. См. сноску 3 на стр. 192 и сноску 1 на стр. 195.



Тогда неравенства (18:5) можно усилить:

(18:10) 0Г(1, 1)(2, 2)>ЙГ(1, 2) г5Г(2, I)1).

Эта игра не является вполне определенной 2).

Однако нетрудно найти оптимальные стратегии (т. е. £ из А и г) из Б),

как удовлетворяющие характеристическому условию (17:D) из п. 17.9.

-> ~>

Мы в состоянии сделать даже большее: можно выбрать т) и так. чтобы

соответственно сумма 2 (ть т2) 2 сохраняла свое значение для всех

Т2=1

ti, а сумма 2 (Ti» т2) - Для всех т2. Для этого необходимо, чтобы

T1=j

Г l)T]i + (l, 2)ть = аГ(2, 1) 4i + (2, 2)%,

(1Ь:11) 1 SST(lf ЩН-£Г(2, 1) Ea = SSr (1, 2)61 + ST(2> 2) ga-

(18:12) (

Это означает, что

£i:g2=(Sr(2, 2) -ST (2f 1)):(ЙГ(1, 2)),

= (Й8Г (2, 2) -$Г(1, 2)):(5Г(1, 1) -5Г(2, 1)).

Эти отношения должны удовлетворять еще и требованиям

Этим требованием удовлетворить можно, поскольку приведенные отношения (т. е. правые части в (18:12)) положительны в силу (18:10). Мы имеем

с/П2, 2)-

-с%*(2, 1)

еЖ(1, 1) + <(2, 2)-. ((1, 1)-

-сЖ(1, 2)--суГ (1, 2)

-g(2, 1)

ойГ (1, 1) + сйГ (2, 2)-

-с/Г (1, 2)-

-ой: (2, 1)

оЖ(2, 2)-

-сЖ(1, 2)

е?П1, 1)+Ж(2, 2)-

Ж(1, 1)-

-Ж(1, 2)--(2, 1)

-Ж (2, 1)

сЖ(1, 1) + <з(2, 2)-

-сйГ(1» 2)-

-оЖ(2, 1)

Можно показать даже, что эти векторы £, т] единственны, т. е. множества А, В не имеют других элементов.

Доказательство. Если бы вектор £ или г] отличался от найденного нами, то в силу характеристического условия (17:D) из п. 17.9

вектор г] или соответственно вектор должен был бы иметь одну равную

нулю компоненту. Но тогда г) или I должны были бы отличаться от

*) Этот случай фактически соответствует игре в «орлянку». См. сноски 3 на стр. 192 и 3 на стр. 194.

2) Ясно, что vA = max min Ж (т4, т2) = Ж (1, 2), v2 = min max Ж (ть т2) =

Ti Т2 Т2 Ti

= Ж (2, 2), и поэтому Vi < v2.



приведенных выше, поскольку у них обе компоненты положительны. Таким

-> ->

образом, отличаться от приведенных значений должны одновременно и £ и Г), но тогда оба они должны иметь по одной равной нулю компоненте. Для

обоих другая компонента будет тогда равна 1, т. е. оба являются коорди-

> ->

натными векторами г). Следовательно, седловая точка функции К (£, т]), которую они представляют, совпадала бы с седловой точкой функции Ж (%и т2); ср. (17:Е) из п. 17.9. Таким образом, игра была бы вполне определенной, но мы знаем, что в данном случае это не так. Это завершает доказательство.

Теперь видно, что все четыре выражения в (18:11) равны одному и тому же значению, именно:

Ж{\, 1)оЖ(2, 2) -Ж (1, 2)(2, 1)

Ж{1, 1)4-(2, 2)-оЖ(1, 2) - ойГ (2, 1)

а в силу (17:5:а), (17:5:Ь) из п. 17.5.2 этим значением является v\ Таким образом, мы имеем

(18-13) v = 1)с2 2)-сйГ(1, 2)аЖ(2, 1)

Ж(1, \)+Ж{2, 2) -суГ(1, 2) -аЖ(2, 1)

18.3. Качественное описание

18.3.1. Полученные в п. 18.2 формальные результаты можно резюмировать различными способами, которые сделают их более ясными. Начнем прежде всего со следующего критерия.

Клетки (1, 1), (2, 2) образуют одну диагональ матрицы в табл. 7. Клетки (1, 2), (2, 1) образуют другую диагональ.

Будем говорить, что два множества чисел Е и F отделены, если либо каждый элемент множества Е больше любого элемента из F, либо каждый элемент из Е меньше любого элемента из F.

Рассмотрим теперь случаи (А), (В4), (В2) из п. 18.2. В первых двух случаях игра вполне определена, а элементы, расположенные на одной диагонали матрицы, не отделяются от элементов, расположенных на другой диагонали 2). В последнем случае игра не является вполне определенной и элементы, образующие одну диагональ матрицы, отделяются от элементов, образующих другую диагональ 3).

Таким образом, отделимость диагоналей необходима и достаточна для того, чтобы игра не была вполне определенной. Этот критерий основан на результатах, полученных в п. 18.2 благодаря соглашению в п. 18.1.3 Но описанные в п. 18.1.3 три соглашения не затрагивали ни полной определенности игры, ни отделимости диагоналей 4). Следовательно, наш первый критерий всегда справедлив. Переформулируем его:

(18:А) Игра не является вполне определенной в том и только том

случае, когда элементы одной диагонали матрицы отделяются от элементов другой диагонали.

г) (1, 0} или {0, 1}.

2) Случай (А): Ж (1, 1) Ш Ж (1, 2) > Ж (2, 2) в силу (18:2). Случай (В*): Ж (1, 1) > Ж (1, 2) Ш Ж (2, 2) в силу (18:7).

3) Случай (В2): Ж (1, 1) Ш Ж (2, 2) > Ж (1, 2) > Ж (2, 1) в силу (18:10).

4) Первое очевидно, поскольку эти соглашения касаются только обозначений, что для игры несущественно. Второе легко проверить.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [ 61 ] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]