назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [ 60 ] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


60

Этим фактом можно даже обосновать всю нашу теорию, т. е. вывести из него теорему п. 17.6. Другими словами, полная определенность в общем для произвольной игры Г может быть выведена из таковой для симметричных игр. Доказательство этого представляет самостоятельный интерес, однако мы не будем его здесь рассматривать, поскольку рассуждения в п. 17.6 являются более прямыми.

Возможность защитить себя от потерь (в симметричной игре) имеется

-> ->

только благодаря применению смешанных стратегий £, ц (см. конец п. 17.7). В случае, когда игроки ограничиваются выбором чистых стратегий %t и т2 существует опасность раскрытия стратегии противником и связанных с этим потерь. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно вспомнить игру «камень, мешок и ножницы» (см. пп. 14.7 и 17.1.1). Мы еще раз встретимся с этим в п. 19.2.1 в связи с покером и необходимостью «блефа».



Глава IV

ИГРЫ ДВУХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ.

ПРИМЕРЫ

§ 18. НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ИГРЫ

18.1. Простейшие игры

18.1.1. Наше общее обсуждение игры двух лиц с нулевой суммой закончено. Теперь мы перейдем к рассмотрению характерных примеров таких игр. Эти примеры лучше, чем какие бы то ни было общие абстрактные рассуждения, выявят истинную значимость различных компонент этой теории. Они покажут, в частности, как с точки зрения здравого смысла можно интерпретировать некоторые формальные шаги, предписываемые нашей теорией. Окажется, что можно строго формализовать основные аспекты таких «практических» и «психологических» явлений, которые будут упомянуты в пп. 19.2, 19.10 и 19.16 *).

18.1.2. Числа р4, р2 - т.е. количество возможностей, имеющихся у двух игроков в игре в нормальной форме,- дают естественную первую

оценку степени сложности игры Г. Тот случай, Таблица 7 когда одно из этих чисел (или оба) равно 1, можно не рассматривать. Это условие означало бы, что у рассматриваемого игрока вообще нет выбора, благодаря которому он мог бы влиять на ход игры 2). Поэтому простейшими играми того класса, который представляет для нас интерес, являются игры, для которых

(18:1) Pi = P2 = 2.

В п. 14.7 мы видели, что игра в «орлянку» является игрой такого типа; ее матричная схема приведена в табл. 2 в 13.4.1. Другой пример такой игры дан там же в табл. 4.

Рассмотрим теперь игру наиболее общего вида, удовлетворяющую условию (18:1), т. е. игру, представленную в табл. 7. Это приложимо, например, к игре в «орлянку», если различным способам совпадения сторон монет не обязательно соответствует один и тот же выигрыш (или вообще выигрыш), а также различным способам несовпадения - один и тот же проигрыш (или вообще проигрыш) 3). Мы намерены применительно к этому случаю обсудить результаты из п. 17.8, а именно значение игры Г и множества оптимальных стратегий А и В. Эти понятия были введены при доказательстве основных результатов в п. 17.8 (доказательстве, основ-ванном на теореме из п. 17.6); но теперь мы хотим вычислить их снова

2) Мы это подчеркиваем из-за широко распространенного мнения, что такие вещи по самому существу непригодны для строгого (математического) изучения.

2) Таким образом, игра была бы, по существу, игрой одного лица, но, конечно, уже не игрой с нулевой суммой.

3) Сравнение табл. 2 и табл. 7 показывает, что в игре в «орлянку» Ж (1, 1) = = $С (2, 2) = 1 (выигрыш при совпадении); Ж (1, 2) = Ж (2, 1) = -1 (проигрыш в противном случае).

сйГЦ, 2)

Ж (2,1)

сйГ (2, 2)



в явном виде для этого частного случая и тем самым еще дальше проникнуть в их назначение и возможности.

18.1.3. Для представленной в табл. 7 игры можно принять несколько тривиальных соглашений, которые существенно упрощают ее анализ.

Во-первых, совершенно безразлично, какой из двух выборов игрока 1 мы обозначим через т4 = 1, а какой через т4 = 2; мы можем их переставить, т. е. поменять местами две строки матрицы.

Во-вторых, также безразлично, какой из двух выборов игрока 2 мы обозначим через т2=1, а какой через т2 = 2; мы можем переставить и их, т. е. поменять местами два столбца матрицы.

Наконец, безразлично также, какого из двух игроков мы будем называть 1, а какого 2; мы можем переставить их, т. е. заменить Ж (%и т2) на - Ж (т1? т2) (см. пп. 14.6 и 17.11). Это равносильно тому, что меняются ролями строки и столбцы матрицы и, кроме того, изменяется знак каждого ее элемента. t

Итак, мы имеем здесь 2x2x2 = 8 возможных вариантов, каждый из которых описывает, по существу, одну и ту же игру.

18.2. Подробное количественное рассмотрение этих игр

18.2.1. Теперь мы переходим непосредственно к обсуждению. Оно будет состоять в рассмотрении нескольких альтернативных возможностей, «случаев», которые будут далее перечислены.

Эти случаи отличаются друг от друга различными возможностями, соответствующими положению максимума или минимума по обоим аргументам функции S?(ti, т2); на первый взгляд такое разграничение могло бы показаться произвольным, но тот факт, что оно приводит к полному перечислению всех возможностей, оправдывает его.

Рассмотрим поэтому max Ж (ть т2) и min Ж (ть т2). Следует считать,

Tl, Т2 Tl, Т2

что каждое из этих значений достигается хотя бы в одной точке, причем можно допустить, что они достигаются и более чем в одной точке х); но для нас это не изменяет положения дел. Начинаем теперь с определения различных случаев.

18.2.2. Случай (А): клетки таблицы можно выбрать так, чтобы max и min лежали в разных строках и в разных столбцах.

Tl, Х9,

Изменяя нумерацию т4 =1,2 точно так же, как и т2 =1,2, мы можем первую из указанных клеток ( шах ) сделать клеткой (1, 1). Тогда

ti, т2

второй клеткой ( min ) должна быть клетка (2, 2). Следовательно, имеем

ti, т2

[>Ж{1, 2)>1 (18:2) {iljih2

Поэтому (1, 2) является седловой точкой2).

Таким образом, в этом случае игра вполне определена и

(18:3) v = v = S8e(l, 2).

х) В игре в «орлянку» (см. сноску 3 на стр. 192) шах равен 1 и достигается на (1, 1)

1, т2

и (2, 2), в то время как min равен -1 и достигается на (1, 2) и (2, 1). ti, т2

2) Вспомните п. 13.4.2. Заметим, что мы должны выбрать (1, 2), а не (2, 1). 13 Д?к. Но йман, О. Моргенштерн

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [ 60 ] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]