Этим фактом можно даже обосновать всю нашу теорию, т. е. вывести из него теорему п. 17.6. Другими словами, полная определенность в общем для произвольной игры Г может быть выведена из таковой для симметричных игр. Доказательство этого представляет самостоятельный интерес, однако мы не будем его здесь рассматривать, поскольку рассуждения в п. 17.6 являются более прямыми.
Возможность защитить себя от потерь (в симметричной игре) имеется
-> ->
только благодаря применению смешанных стратегий £, ц (см. конец п. 17.7). В случае, когда игроки ограничиваются выбором чистых стратегий %t и т2 существует опасность раскрытия стратегии противником и связанных с этим потерь. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно вспомнить игру «камень, мешок и ножницы» (см. пп. 14.7 и 17.1.1). Мы еще раз встретимся с этим в п. 19.2.1 в связи с покером и необходимостью «блефа».
Глава IV
ИГРЫ ДВУХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ.
ПРИМЕРЫ
§ 18. НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ИГРЫ
18.1. Простейшие игры
18.1.1. Наше общее обсуждение игры двух лиц с нулевой суммой закончено. Теперь мы перейдем к рассмотрению характерных примеров таких игр. Эти примеры лучше, чем какие бы то ни было общие абстрактные рассуждения, выявят истинную значимость различных компонент этой теории. Они покажут, в частности, как с точки зрения здравого смысла можно интерпретировать некоторые формальные шаги, предписываемые нашей теорией. Окажется, что можно строго формализовать основные аспекты таких «практических» и «психологических» явлений, которые будут упомянуты в пп. 19.2, 19.10 и 19.16 *).
18.1.2. Числа р4, р2 - т.е. количество возможностей, имеющихся у двух игроков в игре в нормальной форме,- дают естественную первую
оценку степени сложности игры Г. Тот случай, Таблица 7 когда одно из этих чисел (или оба) равно 1, можно не рассматривать. Это условие означало бы, что у рассматриваемого игрока вообще нет выбора, благодаря которому он мог бы влиять на ход игры 2). Поэтому простейшими играми того класса, который представляет для нас интерес, являются игры, для которых
(18:1) Pi = P2 = 2.
В п. 14.7 мы видели, что игра в «орлянку» является игрой такого типа; ее матричная схема приведена в табл. 2 в 13.4.1. Другой пример такой игры дан там же в табл. 4.
Рассмотрим теперь игру наиболее общего вида, удовлетворяющую условию (18:1), т. е. игру, представленную в табл. 7. Это приложимо, например, к игре в «орлянку», если различным способам совпадения сторон монет не обязательно соответствует один и тот же выигрыш (или вообще выигрыш), а также различным способам несовпадения - один и тот же проигрыш (или вообще проигрыш) 3). Мы намерены применительно к этому случаю обсудить результаты из п. 17.8, а именно значение игры Г и множества оптимальных стратегий А и В. Эти понятия были введены при доказательстве основных результатов в п. 17.8 (доказательстве, основ-ванном на теореме из п. 17.6); но теперь мы хотим вычислить их снова
2) Мы это подчеркиваем из-за широко распространенного мнения, что такие вещи по самому существу непригодны для строгого (математического) изучения.
2) Таким образом, игра была бы, по существу, игрой одного лица, но, конечно, уже не игрой с нулевой суммой.
3) Сравнение табл. 2 и табл. 7 показывает, что в игре в «орлянку» Ж (1, 1) = = $С (2, 2) = 1 (выигрыш при совпадении); Ж (1, 2) = Ж (2, 1) = -1 (проигрыш в противном случае).
| | |
| | сйГЦ, 2) |
| Ж (2,1) | сйГ (2, 2) |
в явном виде для этого частного случая и тем самым еще дальше проникнуть в их назначение и возможности.
18.1.3. Для представленной в табл. 7 игры можно принять несколько тривиальных соглашений, которые существенно упрощают ее анализ.
Во-первых, совершенно безразлично, какой из двух выборов игрока 1 мы обозначим через т4 = 1, а какой через т4 = 2; мы можем их переставить, т. е. поменять местами две строки матрицы.
Во-вторых, также безразлично, какой из двух выборов игрока 2 мы обозначим через т2=1, а какой через т2 = 2; мы можем переставить и их, т. е. поменять местами два столбца матрицы.
Наконец, безразлично также, какого из двух игроков мы будем называть 1, а какого 2; мы можем переставить их, т. е. заменить Ж (%и т2) на - Ж (т1? т2) (см. пп. 14.6 и 17.11). Это равносильно тому, что меняются ролями строки и столбцы матрицы и, кроме того, изменяется знак каждого ее элемента. t
Итак, мы имеем здесь 2x2x2 = 8 возможных вариантов, каждый из которых описывает, по существу, одну и ту же игру.
18.2. Подробное количественное рассмотрение этих игр
18.2.1. Теперь мы переходим непосредственно к обсуждению. Оно будет состоять в рассмотрении нескольких альтернативных возможностей, «случаев», которые будут далее перечислены.
Эти случаи отличаются друг от друга различными возможностями, соответствующими положению максимума или минимума по обоим аргументам функции S?(ti, т2); на первый взгляд такое разграничение могло бы показаться произвольным, но тот факт, что оно приводит к полному перечислению всех возможностей, оправдывает его.
Рассмотрим поэтому max Ж (ть т2) и min Ж (ть т2). Следует считать,
Tl, Т2 Tl, Т2
что каждое из этих значений достигается хотя бы в одной точке, причем можно допустить, что они достигаются и более чем в одной точке х); но для нас это не изменяет положения дел. Начинаем теперь с определения различных случаев.
18.2.2. Случай (А): клетки таблицы можно выбрать так, чтобы max и min лежали в разных строках и в разных столбцах.
Tl, Х9,
Изменяя нумерацию т4 =1,2 точно так же, как и т2 =1,2, мы можем первую из указанных клеток ( шах ) сделать клеткой (1, 1). Тогда
ti, т2
второй клеткой ( min ) должна быть клетка (2, 2). Следовательно, имеем
ti, т2
[>Ж{1, 2)>1 (18:2) {iljih2
Поэтому (1, 2) является седловой точкой2).
Таким образом, в этом случае игра вполне определена и
(18:3) v = v = S8e(l, 2).
х) В игре в «орлянку» (см. сноску 3 на стр. 192) шах равен 1 и достигается на (1, 1)
1, т2
и (2, 2), в то время как min равен -1 и достигается на (1, 2) и (2, 1). ti, т2
2) Вспомните п. 13.4.2. Заметим, что мы должны выбрать (1, 2), а не (2, 1). 13 Д?к. Но йман, О. Моргенштерн