назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [ 59 ] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


59

перманентно оптимальные стратегии. Это игры с полной информацией, которые исследовались нами в § 15 и, в частности, в пп. 15.3.2, 15.6 и 15.7. Действительно, небольшое видоизменение доказательства полной определенности в частном достаточно для доказательства и того утверждения. Мы получим при этом перманентно оптимальные чистые стратегии. Однако не будем здесь вдаваться в подробности.

Поскольку игры с полной информацией всегда вполне определены в частном (см. сказанное выше), можно ожидать наличия более тесной связи между вполне определенными в частном играми и играми, в которых существуют перманентно оптимальные стратегии (для обоих игроков). Мы не будем дальше обсуждать эти вопросы, а отметим только некоторые существенные моменты.

(17:G:a) Можно показать, что если существуют перманентно оптимальные стратегии для обоих игроков, то игра вполне определена в частном.

(17:G:b) Можно показать, что обратное к (17:G:a) не имеет места.

(17:G:c) Некоторые утончения понятия полной определенности в частном могут указать на более тесные связи с существованием перманентно оптимальных стратегий.

17.11. Перемена ролей игроков. Симметрия

17.11.1. Рассмотрим значение симметрии или, в более общем случае, эффект, получаемый от перемены ролей игроков. Это будет естественным продолжением анализа п. 14.6.

Как там было отмечено, эта перемена ролей игроков ведет к замене функции Ж (хи т/2) на - Ж (т2, т4). Формула (17:2) из п. 17.4.1 и п. 17.6

показывают, что это в свою очередь влечет замену К (£, т]) на -К (т), £). В терминах п. 16.4.2 матрица (Ж (т4, т2) см. п. 14.1.3) заменяется на отрицательно транспонированную к ней.

Таким образом, продолжается полная аналогия с рассуждениями § 14; мы снова получаем те же формальные результаты, заменяя ть т2,

(ti, т2) соответственно на £, т), К (£, г\) (см. пп. 17.4 и 17.8, где это впервые было проделано).

В п. 14.6 мы увидели, что замена Ж (ть т/2) на - Ж (ть т2) влечет замену у4и v2 на-v2h-у4. Дословное повторение этих рассуждений показы-

-> -» -> ->

вает, что в нашем случае замена К (£, т]) на -К (т), £) влечет за собой замену у[ и v2 на-у2и-v. Подведем итоги: перемена игроков местами влечет за собой замену vb v2, v, v2 на -v2, -v4, -v2, -v.

Результат п. 14.6, установленный для случая полной определенности (в частном), заключался в том, что равенство v = v4 = v2 превращалось в -v = -Vi = -v2.

Теперь мы знаем, что полная определенность в общем имеет место всегда, так что v = v[ = v2. Следовательно, это равенство переходит в -v =

= - v; = - v2.

Словесно содержание этого результата ясно. Поскольку нам удалось определить удовлетворительное понятие значения партии для Г (для игрока 1) v, то весьма естественно, что эта величина изменяет знак при перемене ролей игроков.



17.1 1.2. Мы можем также строго установить, когда игра Г является симметричной. Это будет в том случае, когда игроки 1 и 2 играют одну и ту же роль, т. е. когда игра Г совпадает с игрой, которая получается из нее в результате перемены ролей игроков 1 и 2. В соответствии с тем, что было сказано выше, это означает, что

т2) = - ЗГ(т2, т,)

или, что то же самое,

К(, л)=-К(л,1).

Это свойство матрицы Ж (ть т2) или билинейной формы К (£, т)) было впервые введено в п. 16.4.4 и было названо кососимметричностью.

Замечание 1. Для матрицы Ж (tj, т2) или для соответствующей билинейной формы К (£, г)) симметричность определяется следующим образом:

с#0ч, т2)=Г(т2, т4)

или, что равносильно,

К(, тТ) = К(л, I),

Следует заметить, что симметрия игры Г эквивалентна кососимметричности, а не симметричности матрицы выигрышей или билинейной формы.

Замечание 2. Кососимметричность означает, что отражение матрицы табл. 5 от ее главной диагонали (состоящей из элементов с индексами (1. 1), (2. 2) и т. д.) изменяет ее знак (симметричность в этом смысле означала бы, что такое отражение переводит матрицу в себя). В рассматриваемом случае матричная схема табл. 5 должна быть квадратной, т. е. р4 = р2- Это, однако, выполняется автоматически, так как мы предположили, что роли игроков 1 и 2 в игре Г одинаковы.

В этом случае v4 и v2 должны совпадать с-v2 и-v4, следовательно, v4 = - v2, а так как v4 v2, должно быть v4 0. Однако v должно совпадать с - v, поэтому мы можем даже утверждать, что

v-O1).

Мы видим, таким образом, что значение каждой партии симметричной игры равно нулю.

Следует заметить, что значение v каждой партии игры Г может быть нулем и без того, чтобы игра Г была симметричной. Игра, для которой v = 0, называется безобидной.

Это обстоятельство иллюстрируют примеры пп. 17.7.2, 14.7.3. Игра «камень, мешок и ножницы» симметрична (и, следовательно, безобидна); игра в «орлянку» безобидна, не будучи симметричной.

Зам ечание 3. Роли игроков в игре в «орлянку» различны. Игрок 1 стремится угадать, а 2 стремится избежать угадывания. Чувствуется, конечно, что такое различие несущественно и что безобидность игры вызвана незначительностью этой асимметрии. Эти рассуждения можно уточнить; однако, в данном случае мы этого делать не намерены. Более удачный пример безобидной игры без симметрии можно было бы дать в виде резко несимметричной игры, в которой успех и неуспех каждого из игроков подобраны столь разумно, что в результате получается безобидная игра, т. е. значение ее v = 0.

Не во всех отношениях удачным примером такой игры может служить игра в кости. В этой игре игрок 1, называемый «игроком», бросает две кости, на каждой

г) Это, конечно, следует из того, что v[ = v2. Без этого равенства, т.е. без общей теоремы (16:F) из п. 16.4.3, мы могли бы относительно и v2 утверждать только то, что мы получили ранее для vf и v2, а именно что v{ = -v2, а так как v2, имеем у[ 0.



из которых обозначены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Таким образом, результатом каждого бросания может оказаться любое из чисел 2, . . ., 12. Эти числа имеют вероятности, приведенные в табл. 6.

Таблица 6

Сумма

Случаи появления из 36

Вероятность

Если «игрок» выбрасывает 7 или 11, то он выигрывает. Если он выбрасывает 2, 3 или 12, то он проигрывает. Если он выбрасывает что-либо другое (4, 5, 6 или 8, 9, 10), то игра повторяется до тех пор, пока он не выбрасывает того же числа, что на первом шаге (в этом случае он выигрывает), или пока не выбрасывает 7 (в этом случае он проигрывает). Игрок 2 («банк») на игру не влияет.

Несмотря на существенные различия правил, определяющих поведение игроков 1 и 2 («игрока» и «банка»), их шансы примерно равны. Простые вычисления, приводить которые мы здесь не будем, показывают, что «игрок» имеет 244 шанса из 495 против 251 шанса, которые имеет «банк». Поэтому значение партии для единичной ставки равно

244-251 7

495 =-495=-1>414 /о-

Таким образом, получается достаточно хорошее приближение к безобидности.

В симметричной игре множества А и Б из (17:В:а), (17:В:Ь) в п. 17.8, очевидно, совпадают; так как А = В9 то в (17:D) из п. 17.9 мы можем положить I = г\. Переформулируем результат для этого случая.

-у •-

(17:Н) В симметричной игре £ £ А в том и только в том случае, когда

для всех т2 --= 1, . . ., 32, Для которых 2 т2) £ti не дости-

Ti=l

гает своего минимума (по т2), имеет место £Т2 = 0. Используя терминологию заключительного замечания из п. 17.9,

мы можем сказать, что g оптимальна против самой себя.

17.11.3. Результаты пп. 17.11.1 и 17.11.2 о том, что для любой симметричной игры v =0, можно объединить с (17:C:d) в п.17.8. Тогда мы получим следующее.

(17:1) В симметричной игре каждый из игроков, играя надлежащим

образом, может избежать потерь х) независимо от действий противника.

Математически это можно сформулировать следующим образом. Если матрица &С (т1? т2) кососимметрична, то существует такой вектор

->

I 6 Spi, что

S (ть Ъ)1тг=%0 Для та = 1, ...,р2*

Это неравенство можно также получить и непосредственно, потому что оно совпадает с последним результатом (16: G) п. 16.4.4. Для того чтобы это показать, достаточно ввести там новые обозначения: заменить имеющие-

-> -У

ся там г, /, а (г, ;) на наши т1т т2, Ж (ть т2) и w на £.

х) То есть обеспечить себе выигрыш 0.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [ 59 ] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]