Сопоставляя написанные формулы с определением v и v2 из п. 17.4, мы получаем
(17:5:а) vmaxmin 2 (Ti» т2) lxv
(17:5:b) vminmax 2 (Ti» 2) Цт2-
~y Tl T2= 1
Эти формулы допускают простую словесную интерпретацию. При вычислении мы заботимся только о защите игрока 1 от раскрытия противником его стратегии, что выражается в использовании (вместо Tt); игрок 2 может при этом действовать по-старому и использовать т2 (вместо г]). При вычислении v2 роли игроков меняются. Это понятно и с точки зрения здравого смысла: vi относится к игре ГА (см. пп. 17.4 и 14.2); там игрок 2 выбирает после игрока 1 и полностью информирован о выборе 1; следовательно, он не нуждается в защите от раскрытия его собственной стратегии игроком 1. Для числа v2, относящегося к Г2, роли игроков меняются.
Значение не увеличится, если в приведенной выше формуле ограничить переменную в операции max. Ограничим значение вектора
векторами 6Ti (т2 = 1, . . Pi) (см. п. 16.1.3 и конец п. 17.2). Поскольку
2 (Tlf т2)б , = 35Г(т;, т2),
Ti=l
наше выражение заменяется на
max min Ж (т, т2) = vle т т2
Таким образом, мы показали, что
vi v
Аналогично (см. замечание в начале доказательства последней леммы), ограничивая г] векторами т=8 2, мы получаем
v2=:v2.
Вместе с vfgVg (см. п. 17.4) это дает нам
(17:3) vi v;v2v2,
что и требовалось.
17.6. Доказательство основной теоремы
17.6. Мы установили, что полная определённость в частном смысле (vi = v2) влечет полную определенность в общем смысле (v = v2). То, что полная определенность в общем может иметь место и тогда, когда полная определенность в частном не имеет места, т. е. что = v2 и в то же
время v4 Ф v2, видно из примеров «орлянки» и игры «камень, мешок и ножницы» 1). Поэтому мы можем утверждать, что переход от полной определенности в частном смысле к полной определенности в общем смысле действительно является шагом вперед. Однако на данный момент мы не знаем, относится ли это ко всем играм; может оказаться, что существуют такие игры Г двух лиц с нулевой суммой, которые не вполне определены даже в общем: мы еще не исключили возможности неравенства
v;<v;.
Если эта возможность реализуется, то все сказанное в п. 14.7.1 будет снова применимо и даже более широко: раскрытие стратегии противника будет составлять определенное преимущество
A = v2-v;>0,
и трудно себе представить, как может быть построена теория такой игры без дополнительной гипотезы о том, «кто чью стратегию раскроет».
Решающим фактором поэтому является возможность доказательства ого, что это никогда не произойдет. Для всех игр Г
т. е.
(17:6) max min К (g, г)) = min max К (g, г]),
£ Tl Tl l)
или, что то же самое (снова подставляя £, г), К вместо х, у, ф
в (13:В) из п. 13.4.3), седловая точка функции К (£, г\) существует. Это - общая теорема, которая имеет место для всех функций
К (, л) вида
3l 32
(17:2) К (£, т) = 2 2 Ж (т4, т2) £Tlr]t2.
Ti=l Т2=1
Выбор коэффициентов Ж (xi9 т2) здесь абсолютно неограничен; они образуют, как это было описано в п. 14.1.3, некоторую совершенно произ-
-у ->
вольную матрицу. Переменные \ и г) представляют собой фактически последовательности вещественных чисел . . ., £рх и r\i, . . ., т)р2, областями изменения которых являются множества и £р2 (см. сноску 1
на стр. 174). Функции К (£, т)) вида (17:2) называются билинейными формами.
3 амечание. Эта теорема впервые была сформулирована и доказана в статье одного] из авторов теории игр: J. von Neumann, Zur Theorie de Gesellschaftsspiele, Math. Annalen, 100 (1928), 295-320. Несколько более общая форма этой минимаксной проблемы возникает в математической экономике в связи с уравнениями производства: J. von Neumann, Tiber ein okonomisches Gleichungssystem und eine Ver-allgemeinerung des Browerschen Fixpunktsatzes, Ergebnisse eines Math. Kolloquinms, 8*(1937), 73-83. Следует заметить, что две совершенно различные задачи, изучаемые совершенно различными методами, приводят к одной и той же математической задаче необычного, «минимаксного» вида. По-видимому, здесь имеют место и более глубокие формальные связи, как и в других направлениях, о которых упоминается во второй статье. Это обстоятельство должно быть разъяснено.
J) В обеих играх vi = - l,v2 = 1 (см. пп. 14.7.2 и 14.7.3), а рассуждения в п. 17.1 можно рассматривать как доказательство того, что vi = v2 = 0.
Доказательство нашей теоремы, приведенное в первой статье, довольно запутанным, образом использует аппарат топологии и теории функций. Доказательство во второй статье полностью топологическое и связано с теоремой, являющейся важным методом этой дисциплины, так называемой «теоремой о неподвижной точке» Л. Е. И. Бра-уера. Этот аспект был в дальнейшем прояснен, а доказательство упрощено С. К а к у-т а н и: A Generalization of Brouwer s Fixed Point Theorem Duke Math. Journal, 8 (1941), 457-459. Все эти доказательства определенно не являются элементарными. Первое элементарное доказательство было дано Ж. Биллем вместе с Е. Боре-л е м и его сотрудниками: Traite du Calcul des Probabilites et de ses Applications, IV, 2, Application aux Jeux de Hasard, Paris, 1938; J. V i 11 e, Sur la Theorie Generale des Jeux au Intervient IHabilete des Joueurs, 105-ИЗ. Доказательство, которое мы здесь приводим, является дальнейшей элементаризацией доказательства Ж. Билля и представляется особенно простым. Основным здесь является, конечно, связь с теорией выпуклых множеств, изложенной в § 16, и в особенности с результатами из п. 16.4.3.
Доказательство получается просто при помощи результатов п. 16.4.3. Приведем его.
Применим (16:19:а) и (16:19:Ь) из п. 16.4.3, заменяя i, у, п, т и
-У -У -У -У
a(i, 7) на ti, т2, Pi, р2 и Ж (хи т2), а векторы w и я -на £ и ц.
Если выполняемся (16:19:Ь), то существует такой вектор i, что 3i
2 fa, T2)Stl0 ДЛЯ T2=lf р2,
т. е.
min 2 3F(Ti, т2)?Т10.
Т2 Ti=l
Следовательно, формула (17:5:а) из п. 17.5.2 дает нам
Если выполняется (16:19:а), то существует вектор г)£#р2» для которого
2 Ж fa, т2) Т)Т20 для Ti = l, р1?
т2=1
т. е.
max 2 (Ti» т2) Цх2 = 0. Следовательно, формула (17:5:Ь) из ц. 17.5.2 дает
Мы видим теперь, что имеет место либо 0» либо v2 0, т. е.
(17:7) Невозможно < 0 < v2.
Возьмем теперь произвольное число w и заменим функцию Ж (хи т2) на Ж (хи т2) - w г).
> > 3l 32 ->
При этом К (£, т)) заменяется на К (£, n)-w 2 2 1xx2- Так как I и п
ti=l т2=1
3i З2
принадлежат соответственно и 5р2, должно быть 2 £ti = 2 Лтг = 1*
П=1 Т2=1
г) Это значит, что игра Г заменяется новой игрой, правила которой в точности совпадают с правилами игры Г, за исключением того, что в конце партии игрок 1 получает меньше, а игрок 2 больше на фиксированную величину w.