назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [ 53 ] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


53

обобщение встречается со значительными трудностями в случае не полной определенности. Мы видели, что характеристической чертой этого случая являются потерих) игрока, если его намерения становятся известными противнику. Поэтому в такой игре для игрока является очень важным скрыть от противника свои намерения 2). Случайный выбор нескольких различных стратегий, для которых определенными являются только их вероятности, представляется весьма эффективным для этого путем. При такой игре противник не может узнать, какую стратегию выберет игрок, поскольку последний сам этого не знает 3). Незнание является, конечно, самой лучшей гарантией против прямого или косвенного раскрытия информации.

17.2.2. Может показаться, что в данном случае мы несколько ограничили свободу действий игрока. Может случиться, что он захочет играть одну определенную стратегию, исключив все остальные, или, желая выбирать некоторые стратегии с определенными вероятностями, захочет полностью исключить возможность выбора остальных 4). Мы подчеркиваем, что такие возможности находятся целиком в рамках нашей схемы. Игрок, не желающий играть те или иные стратегии, просто будет выбирать каждую из них с вероятностью нуль. Игрок, желающий играть одну определенную стратегию, исключив все остальные, выберет ее с вероятностью единица, а все остальные - с вероятностью нуль.

Таким образом, если игрок 1 захочет играть то он в качестве

вектора выберет координатный вектор 8Xl (см. п. 16.1.3). Аналогично,

если игрок 2 захочет выбрать стратегию 2J2, то он выберет в качестве г\

вектор 8t2. В свете предыдущих рассмотрений мы будем называть вектор

£ £ Sfa или вектор т £ S$2 статистической или смешанной стратегией

соответственно игроков 1 или 2. Координатные векторы STl или 6Тз отвечают, как мы уже видели, первоначальным стратегиям xt или т?, т. е. SJ1 или E2t2 игроков 1 или 2. Мы будем называть их точными или чистыми стратегиями.

17.3. Оправдание процедуры применительно к отдельной партии

17.3.1. На данном этапе читатель может почувствовать неудобство и усмотреть противоречие между двумя точками зрения, которые мы в наших рассуждениях считали одинаково реалистичными. С одной стороны, мы всегда настаивали на том, что наша теория является статической (см. п. 4.8.2) и что мы исследуем течение одной партии, а не последо-

*) А > 0 из п. 14.7.1.

2) Но это не обязательно единственная цель.

3) Если противник имеет достаточную статистическую информацию о «стиле» игрока или если он обладает достаточным здравым смыслом в рационализации своего поведения, то он сумеет обнаружить вероятности (точнее говоря, частоты) различных стратегий. (Мы не вдаемся сейчас в обсуждение того, как и каким образом это может произойти. См. п. 17.3.1.) Однако сущностью понятий вероятности и случайности является то, что никто ни при каких условиях не может предсказать, что фактически произойдет в каждом отдельном случае. (Исключение составляют вырожденные вероятности, по поводу которых см. дальше.)

4) В этом случае он, очевидно, увеличивает опасность обнаружения своей стратегии противником. Однако может оказаться, что эта стратегия или стратегии имеют сами по себе такие преимущества перед остальными стратегиями, что сведут на нет эту неприятность. Это происходит, например, при использовании «оптимальных» стратегий в случае полной определенности (см. п. 14.5, в частности утверждения (14:С:а), (14:С:Ь), (14:С:с) из п. 14.5.2).



вательности партий (см. п. 17.1). Однако, с другой стороны, мы поставили в центр внимания рассуждения, касающиеся опасности угадывания стратегии игрока его противником (см. пп. 14.4, 14.7.1, и, наконец, последнюю часть п. 17.2). Как же можно иначе обнаружить стратегию игрока, в особенности если он осуществляет случайную смесь различных стратегий, как не путем продолжительного наблюдения! Мы вывели, что эти наблюдения должны распространяться на несколько партий. Для этого необходимо провести их в каждой отдельной партии. Если правила игры таковы, что допускают подобные наблюдения, т. е. если они ведут к повторяющимся партиям, то наблюдения могут дать эффект только постепенно и последовательно в ходе партий. Они не будут доступными в начале. Все будет связано с различными динамическими рассмотрениями, в то время как мы настаиваем на статичности теории! Кроме того, правила игры могут вообще исключать возможность наблюдений *), как это имеет место в «орлянке» или в игре «камень, мешок и ножницы». Эти конфликты и противоречия возникают как в рассуждениях в § 14, где мы не использовали понятия вероятности в связи с выбором стратегий, так и в рассуждениях § 17, где вероятности используются.

Как следует их разрешить?

17.3.2. Наш ответ будет таким.

Начнем с того, что доказательства последних результатов в §§ 14 и 17, т. е. рассуждения из пп.14.5 и 17.2, не содержат этих элементов противоречия. Таким образом, мы можем утверждать, что наши окончательные результаты справедливы, хотя эвристические процедуры, ведущие к ним, можно оспаривать.

Но даже эти процедуры можно обосновать. Мы не идем здесь на уступки. Наша точка зрения статическая, и мы анализируем одну-един-ственную партию. Мы пытаемся создать удовлетворительную теорию - на данном этапе - для игры двух лиц с нулевой суммой. Следовательно, мы занимаемся не дедуктивной аргументацией на прочной основе какой-либо существующей теории, которая уже выдержала все разумные испытания, а занимаемся поисками такой теории 2). В этих целях вполне законным для нас является использование аппарата обычной логики и, в частности, косвенного доказательства. Такой аппарат состоит из предположения о наличии некоторой удовлетворительной теории некоторого нужного типа 3) и попыток обрисовать следствия из воображаемой логической ситуации и затем из заключений о том, какой же должна быть наша гипотетическая теория. Если применение этого процесса окажется успешным, то он может настолько сузить возможности для такой гипотетической теории, что останется только одна возможность; это и означает, что теория определена и открыта именно этим способом4). Конечно,

х) То есть «постепенных» и «последовательных» наблюдений за поведением противника в течение одной партии.

2) Мы пользуемся, конечно, эмпирическим методом: мы пытаемся понять, формализовать и обобщить те черты простейших игр, которые нам представляются типичными. Это - стандартный метод любой науки, опирающейся на опыт.

3) Это полное представление о том факте, что мы (пока) не обладаем такой теорией и что мы не можем представить себе (пока), какой бы она была, если бы мы ее имели.

Все это не хуже, чем любое другое косвенное доказательство в любой области науки (в качестве примера можно указать на доказательства от противного в математике и в физике). \

4) Имеется несколько важных примеров таких построений в физике. Последовательные приближения к специальной и общей теории относительности или к волновой механике могут рассматриваться как таковые. См. A. DA b г о, The Deciline of Mechanism in Modern Physics, New York, 1939.



может быть и так, что приложение этого метода оказывается более, чем «успешным» и сужает число возможностей до нуля; это доказывает, что непротиворечивая теория желаемого вида немыслима *).

17.3.3. Предположим, что существует теория игр двух лиц с нулевой суммой, которая указывает игроку, как ему действовать, и она является абсолютно убедительной. Если бы игроки знали такую теорию, то каждый из них предположил бы, что его стратегия раскрыта его противником. Противник знает теорию и также то, что для игрока было бы неразумным не следовать ей 2). Таким образом, предположение о существовании удовлетворительной теории узаконивает наше исследование ситуации, в которой стратегия игрока «раскрывается» его противником. Удовлетворительная теория 3) может быть построена только в том случае, если удастся гармонизировать две крайности Г4 и Г2, когда «раскрыты» стратегии игрока 1 и когда «раскрыты» стратегии игрока 2.

Для первоначальной трактовки предмета - без использования понятия вероятности (т. е. с одними чистыми стратегиями) - границы, до которых можно распространить теорию, были определены в п. 14.5.

Мы видели, что случай полной определенности является именно тем случаем, при котором на этой основе существует удовлетворительная теория. Постараемся теперь продвинуться дальше, используя вероятности (т. е. смешанные стратегии). Мы снова пустим в ход способ анализа раскрытия стратегии другого игрока, которым мы воспользовались в п. 14.5, когда никаких вероятностей не было.

Окажется, что теперь гипотетическая теория может быть определена полностью и во всех случаях (а не только в случае полной определенности см. пп. 17.5.1 и 17.6).

После того как теория найдена, ее нужно независимо обосновать путем прямой аргументации 4). Это было сделано в случае полной определенности в п. 14.5, а для нашей общей теории мы сделаем это в п. 17.8.

17.4. Минорантная и мажорантная игры (для смешанных стратегий)

17.4.1. Воплощение нашей идеи состоит в том, что игрок 1 выбирает произвольный элемент £ £ S$v а игрок 2 выбирает произвольный элемент Г) g 5Р2.

х) Такое случается также в физике. Анализ «величин, которые не могут наблюдаться одновременно», Н. Бора - Гейзенберга в квантовой механике допускает такую интерпретацию. См. N.Bohr, Atomic and the Description of Nature, Cambridge, 1934 and P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, London, 1931, Chap. 1.

2) Почвхму неразумно не следовать теории - нас в данный момент не касается; мы предположили, что теория абсолютно убедительна.

То, что это не невозможно, будет видно из окончательного результата. Мы построим удовлетворительную теорию несмотря на то, что при ее использовании стратегия игрока оказывается обнаруженной противником. Теория предписывает ему такое поведение, при котором он от этого ничего не теряет. (См. теорему в п. 17.6 и обсуждение полного решения в п. 17.8.)

3) То есть теория, использующая только сделанные предположения. Конечно, мы не претендуем на способность делать «абсолютные» утверждения. Если наши настоящие требования окажутся невыполнимыми, то мы будем искать другие основания теории. Фактически мы уже сделали это однажды, при переходе от § 14 (где говорилось о чистых стратегиях) к § 17 (где говорилось о смешанных стратегиях).

4) Косвенная аргументация, как было обрисовано выше, дает только необходимые условия. Следовательно, они могут установить противоречивость доказательства приведением к абсурду или же сузить число возможностей до единицы; в последнем случае необходимо еще показать, что оставшаяся возможность удовлетворительна.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [ 53 ] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]