назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [ 49 ] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


49

х1, . . ., хр. Это - выпуклое множество, натянутое на точки я1, . . ., хр. Полезно проиллюстрировать этот факт для случая плоскости. См. рис. 12,, где р = 6. Легко проверить, что это множество состоит из всех точек; (векторов) вида

(16:2:d) 2 Ьх\ *i0, tp0,

где 2 0 = 1-

Доказательство. Точки (16:2:d) образуют множество, содер-

-У -У

жащее все ж1, . . ., хр. Действительно, чтобы получить представление для ->

х\ достаточно положить tj = 1, а все остальные tt = 0.

Точки (16:2:d) образуют выпуклое множество: если х = 2 fyk* -> р

и р = 2*/я*» т°

-> п

ta + (l -*) z/ = 2 »

где Uj = ttj + (l - t)sj.

-У -У

Любое выпуклое множество D, содержащее я1, ..., хр, содержит*

также и все точки (16:2:d). Докажем это индукцией по р.

Доказательство. Для р = 1 это

->

очевидно, поскольку тогда = 1, и х1 будет единственной точкой, принадлежащей множеству (16:2:d).

Предположим, что утверждение верно для р-1. Докажем, что оно верно и

для /?. Если 2 h = 0, то £i = ... =

= tp ! = 0 и точка* из (16:2:d) совпадает

с яр и, следовательно, принадлежит D*

р-1 р- 1

Если 2 0>0, то полагаем £= 2

j=l ;=1

р р-1

так что l - t= 2-* 2 = Р Следовательно, 0<fgl. Положим Sj =

- tjlt для 7 = 1, /?- 1, 2 5y=l. Тогда из нашего предположения:

для /> -1 имеем, что 2 sjx° принадлежит D. Множество D выпукло, по-этому

* 2 *У+(1-о*р

также принадлежит D. Однако этот вектор равен

р-1 р ->.

2 ~f" р 2=5 2 »

j=l 3=1

который, таким образом, также принадлежит D.



Доказательство завершено.

Сами числа tu . . ., tp из (16:2:d) можно рассматривать и как компо-

->

ненты вектора t = {tu . . ., tp} в Lp. Поэтому множество возможных значений вектора, которое определяется условиями

2 = 1,

удобно как-то именовать. Мы будем обозначать его через Sp. Обозначим, далее, множество векторов t9 удовлетворяющих только первой группе1

Рис. 13.

Рис. 14.

tp 0, через Рр. Оба множе-

предыдущих условий, т. е. О, ства Sp и Рр являются выпуклыми.

Изобразим графически случаи р = 2 (плоскость) и р = 3 (пространство). Р2 есть положительный квадрант - множество точек между положительными полуосями xt и х2 (рис. 13). Р3 есть положительный октант - пространство, заключенное между положительными полуосями xi, х2 и х3, т. е. между плоскими квадрантами, ограниченными парами х1у х2; х х3; х2, х3 (рис. 14). S2 есть прямолинейный отрезок, пересекающий Р2 (рис. 13). S3 - плоский треугольник, аналогичным образом пересекающий Р3 (рис. 14). Полезно изобразить отдельно множества S2, S3 без Р2, Р3 (и тем более без L2, L3), в которые они естественно погружаются (рис. 15 и 16). На рисунках отмечены расстояния, пропорциональные xiy х2 и соответственно Xi, х2, х3.

(Подчеркнем еще раз: расстояния, отмеченные на рис. 15 и 16

как хи х2, х3, не являются самими координатами х±, х2, х3. Последние лежат в L2 или в L3 вне S2 или S3 и поэтому не могут быть изображены на S2 или на S3. Однако, как можно легко показать, они пропорциональны этим координатам.)

Рис. 16.



16.2.3. Другим важным понятием является понятие длины вектора. Длиной вектора х = {х . • .,. х} называется

Расстоянием между двумя точками (векторами) называется длина вэктора разности

1*-» = У 2 (г-г/г)2 -7 г=1

Таким образом, длина вектора х есть его расстояние от начала коорди-нат 0 *).

16.3. Теорема об опорной гиперплоскости

16.3. Установим теперь одно важное общее свойство выпуклых множеств.

-> -> -».

{16:В) Пусть дано р векторов х\ . . ., хр. Тогда вектор у либо принадлежит выпуклому множеству С, натянутому на векторы

х1, . . ., хр (см. (16:А:с) в п. 16.2.1), либо существует такая, ->

содержащая г/, гиперплоскость (см. (16:2:а) в п. 16.2.1), что множество Ссодержится в одном из полупространств, порождаемых этой гиперплоскостью (скажем, (16:2:Ь) в п. 16.211; см. (16:А:Ь) там же).

Это утверждение справедливо и втом случае, когда выпуклое множе-

-V ->

ство, натянутое на ж1, . . ., #р, заменено любым выпуклым множеством.

Рис 17. Рис. 18.

В такой форме это утверждение является основным рабочим аппаратом современной теории выпуклых множеств.

Картина в случае п = 2 (т/е. для плоскости) оказывается следующей. На рис. 17 изображено выпуклое множество С с рис. 12 (которое натянуто на конечное число точек), тогда как на рис. 18 изображено выпуклое множество С общего вида 2).

г) Евклидов и пифагоров смысл этих понятий очевиден.

2) Для читателя, знакомого с топологией, мы добавим следующее. Для того чтобы оставаться строгим, это предложение должно быть уточнено - утверждение верно для замкнутых выпуклых множеств. Это гарантирует существование минимума, которым мы пользуемся при доказательстве. Об этом см. также замечание на страницах 397, 398.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [ 49 ] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]