назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [ 48 ] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


48

Тем не менее предыдущие рассуждения могут оказаться значимыми для некоторого существенного аспекта вопроса. Мы увидим, как влияет изменение условий в более общем случае (без ограничения играми двух лиц с нулевой суммой, о котором говорилось в конце п. 15.8.1).

§ 16. ЛИНЕЙНОСТЬ И ВЫПУКЛОСТЬ

16.1. Геометрические основания

16.1.1. Задача, с которой нам сейчас придется иметь дело, заключается в нахождении решений для всех игр двух лиц с нулевой суммой; нри этом мы встречаемся с трудностями, вытекающими из неполной определенности игры. Мы добьемся успеха, пользуясь теми же идеями, которым мы следовали в случае определенности: окажется, что эти идеи можно обобщить настолько, что будут охвачены все игры двух лиц с нулевой суммой. Для того чтобы это сделать, мы должны будем воспользоваться некоторыми возможностями теории вероятностей (см. пп. 17.1, 17.2). Кроме того, окажется необходимым также применение несколько необычного математического аппарата. Наш анализ в § 13 составляет одну его часть; для оставшегося удобнее всего будет возвращение к математико-геометрической теории линейности и выпуклости. Две теоремы о выпуклых телах будут иметь особенное значение 1).

По этим причинам мы перейдем к изучению - в той степени, в какой они нам понадобятся, - понятий линейности и выпуклости.

16.1.2. Подробный анализ понятия тг-мерного линейного (евклидова) пространства для нас не является необходимым. Достаточно будет сказать, что это пространство описывается п числовыми координатами. В соответствии с этим определим для каждого тг=1, 2, . . ., п-мерное линейное пространство Ln как множество тг-наборов вещественных чисел. Эти тг-наборы можно рассматривать также как функции xt переменной i с областью определения (1, . . ., п) в смысле пп. 13.1.2, 13.1.3 2). Мы, как это принято делать, будем называть i индексом, а не переменной; однако это не влияет на существо дела. В частности, мы имеем

хп} = {у1, уп}

в том и только в том случае, когда xt = yt для всех i = 1, . . ., п (см. конец п. 13.1.3). Ln можно рассматривать также как простейшее возможное пространство числовых функций, заданных на фиксированном конечном множестве (1, . . ., п) 3).

Эти 7г-наборы чисел, или функции из Ln, мы будем называть точками или векторами пространства Ьп и записывать как

(16:1) х = {хи . .., хп).

Значения xt для фиксированного i - 1, . . ., п (значения функции хг)

называются компонентами вектора х.

х) См. Т. Bonessen, W. Fenchel, Theorie der konvexen Korper, in «Ergeb-nissen der Mathematik und ihrer Grenzgebiete», vol. III/l, Berlin, 1934; дальнейшие исследования в H. W е у 1, Elementare Theorie der konvexen Polyeder, Commentarii Mathematici Helvetici, vol. VII, 1935, pp. 290-306 (русск. пер. в сб. «Матричные игры», физматгиз, 1961, стр. 254-273).

2) тг-наборы {х±1 . . ., хп} являются не просто множествами в смысле п. 8.2.1. Нумерация х посредством индекса i = 1, . . ., п является столь же существенной, как и объединение их значений. См. сходную ситуацию в сноске 1 на стр. 95.

3) Многое в современном анализе подтверждает эту точку зрения.



ИГРЫ ДВУХ ЛИЦС НУДЕВ0Й1СУММ0Й. ТЕОРИЯ

[гл. ш

16.1.3. Отметим, хотя это для дальнейшего несущественно, что Ln является не абстрактным евклидовым пространством, а таким, в котором уже выбрана определенная система отсчета (система координат) *). \Н у левой вектор, или начало координат в Ln, имеет вид

0 = {0, .... 0}

п-координатными векторами пространства! Ln являются векторы б = {0, ..., 1, ..., 0} - {61;, ..., 8nj}9 / = • • •, и,

Г 1 для £ = /2»3),

lj ~~ \ 0 для i Ф U

После этого вступления мы можем описать основные свойства векторов из Ln и основные операции над ними.

16.2. Операции над векторами

16.2.1 Основными операциями над векторами являются операции

->

умножения на скаляр, т. е. умножение вектора х на число t, и векторное сложение, т. е. сложение двух векторов. Обе эти операции определяются с помощью соответствующих операций над координатами векторов. Более точно:

Умножение на скаляр: t- {хи . . ., хп} = {txly . . txn}. Векторное сложение:

{хи хп} + {уи yn} = {xi + yt, х* + Уп}-

Алгебра этих операций настолько проста и очевидна, что мы не будем на ней останавливаться. Отметим только, что указанные операции позво-

ляют выразить каждый вектор х = {хи . . . , хп) через его компоненты и координатные векторы в виде

х= 26>4). i=l

Перечислим некоторые важные подмножества пространства Ьп-(16:А:а) Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

(16:2:а) 2 <Ч i = b

(аи ..., ап, Ъ - постоянные). Случай #!=... =ап = 0 мы исключаем из рассмотрения,. так как в этом случае вообще не будет

х) Во всяком случае, это является ортодоксальной геометрической точкой зрения.

2) Таким образом, все координаты нулевого вектора равны нулю, в то время как /-я координата /-го координатного вектора равна 1, а остальные - нулю.

3) -«символ Кронекера и Вейерштрасса», удобный для использования во-многих случаях.

~>

4) xj суть числа, и, следовательно, они в произведении xj6j играют роль скаляр-

ных множителей. 2 означает векторное сложение.



никакого уравнения. Все точки (векторы), удовлетворяющие этому уравнению, образуют гиперплоскость1).

<16:А:Ь) Пусть задана гиперплоскость

<16:2:а) 2ад = Ь;

4 г=1

она определяет две части пространства Ьп:

<16:2:Ь) 2aiSf>6

<16:2:с) , Щагхй<Ъ.

Это - два полупространства, порождаемые гиперплоскостью. Заметим, что если заменить а4, . . ., ап, Ь на -а4, . . ., -ал, -Ь, то гиперплоскость (16:2:а) останется неизменной, однако полупространства (16:2:Ь), и (16:2:с) поменяются местами. Следовательно, можно считать, что полупространство задается неравенством (16:2:Ь). 1

-> ->

{16:А:с) Пусть даны две точки (вектора) хяуп число £0, для которого

-> ->

1 - 0; тогда центром тяжести точек х, у с весами £, 1 - f

мы будем, в соответствии с механическими представлениями,

->

называть точку te + (1 - t) у. Равенства

->

х = {хи у = {уи г/я},

+(1 -0у={1 + (1-01. + - у*}

делают это определение понятным.

Подмножество С пространства Ln, содержащее все центры тяжести

своих точек (т. е. содержащее вместе с каждой парой своих точек х, у

->

все точки вида Нх + (1 - t) у, 0 й t 1), называется выпуклым.

{Читатель видит, что в случае п = 2, 3, т. е. в случае обычных плоскости и пространства, это является принятым понятием выпуклости. Действительно, множество всех точек -> ->

вида tx + (1 - t) у, 0 i§ t 1, представляет

собой прямолинейный отрезок, соединяющий Рис

->->->-> точки х, у,сегмент [х, у]. Таким образом, выпуклым называется множество, содержащее вместе с любыми своими точками и соединяющий их сегмент. Рис. 11 поясняет это условие при п = 2, т. е. в случае плоскости.

16.2.2. Очевидно, что пересечение любого числа выпуклых множеств снова выпукло. Следовательно, для любого числа точек (векторов)

я1, . . ., хр существует наименьшее выпуклое множество, которое их всех содержит: пересечение всех выпуклых множеств, содержащих

х) Для п = 3 в обычном трехмерном пространстве это просто двумерные плоскости. В общем случае это их (п - 1)-мерные аналоги; отсюда и название.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [ 48 ] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]