назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [ 45 ] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


45

*) Эта аргументация носит чисто эвристический характер, поскольку принципы, на которых строится решение в пп. 14.3.1, 14.3.3, не совпадают с теми, которыми мы пользовались в случае полной определенности в пп. 14.5.1, 14.5.2; тем не менее они являются основой для дальнейшего. Верно также, что аргументацию можно сделать вполне удовлетворительной при помощи некоторого чисто словесного, «нематематического» разъяснения. Однако мы предпочитаем исследовать вопрос математически по тем же причинам, что и в аналогичном случае в п. 14.3.2.

встречаются порознь в различных о4-членах:

а4 = 1, . . .; ai = ai. Следовательно, при нахождении min можно минимизировать

т1/2» • • •>ха1/2

облагаемые независимо друг от друга, а при нахождении max

можно эти о4-слагаемые независимо максимизировать. В соответствии с этим наше выражение принимает вид

2 p4(a4)maxmina (та/ь та/2)

°1=1 VlTV2

Таким образом, мы показали, что

(15:2) v4= 2 PiOva./i-

o1=i

Переставляя max и min, мы, применяя буквально ту же аргументацию, получаем

(15:3) v2 = 2 Pi (ai) V<V2

15.4.3. При исследовании случая &4 = 1 мы будем пользоваться результатом п. 13.5.3. Несмотря на исключительно формальный характер этого результата, представляется полезным показать читателю, что это просто формальное утверждение интуитивно правдоподобного факта, касающегося игр. Это прояснит также, почему этот результат должен сыграть определенную роль в данной конкретной ситуации.

Интерпретация результата п. 13.5.3 основана на рассмотрениях пп. 14.2-14.5 и особенно из пп. 14.5.1, 14.5.2; поэтому ее не удалось изложить в п. 13.5.3.

Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой Г в нормальной форме (см. п. 14.1.1) и минорантную и мажорантную игры Г4 и Г2 (см. п. 14.2).

Если мы решим трактовать нормальную форму игры Г так, как если бы она была позиционной, а затем с помощью правил, изложенных в пп. 11.2.2 и 11.2.3, вводить стратегии и т. д. с целью получить новую игру в нормальной форме, то, как это отмечалось в п. 11.3 и, в частности, в сноске 3 на стр. 109, ничего не произойдет. Иначе обстоит, однако, дело с мажорантной и минорантной играми Г4 и Г2. Они, как об этом упоминалось в сносках 1 и 2 на странице 127, не заданы в нормальной форме. Следовательно, представляется естественным и необходимым привести их к нормальной форме по правилам пп. 11.2.2, 11.2.3.

Поскольку полные решения игр Г4 и Г2 были найдены в пп. 14.3.1Г 14.3.3, следует ожидать, что эти игры окажутся вполне определенными *).



Достаточно ограничиться рассмотрением игры Г4 (см. начало п. 14.3.4), к чему мы и перейдем.

Для игры Ti будем пользоваться обозначениями %v %2, Ж (т, т2) и v, v2, а соответствующие понятия для игры Г будем обозначать через т4, т2, Ж (т4, т2), Vi, v2.

Стратегия игрока 1 в игре Г4 состоит в выборе (фиксированного) значения Ti (=1, . . ., Pi), в то время как стратегия игрока 2вГА состоит в выборе значения т2 (= 1, . . р2) в зависимости от выбора ть Ti (=1, . . ., Pi) *). Таким образом, т2 является функцией от т4: т2 = = J2 (Ti).

Таким образом, %[ есть т1§ тогда как т2 соответствует функциям J2, а Ж (%[, т2) превращается в Ж (т1? J2 (т4)). Поэтому

y[ = max m i n Ж (т,, J2 (т4)),

v min max Ж (tlf J2(t4)). Ji *i

Следовательно, утверждение о полной определенности игры Г1? т. е. о равенстве v = v2, полностью совпадает с равенством (13:Е) из п. 13.5.3; для этого достаточно заменить х, и, / (#), if) (#, / (ж))] соответственно на т4, т2, J2 (т4), Ж (Ti, J2 (тО).

Эквивалентность результата п. 13.5.3 и полной определенности игры Г4 делает понятным значимость его для дальнейших рассмотрений. Г4 является очень простым примером игры с полной информацией,- эти игры становятся теперь конечной целью наших исследований (см. конец п. 15.3.2). Первый ход в игре Г4 - точно такого же типа, как и тот, который нам теперь нужно рассмотреть: он личный и принадлежит игроку 1, т. е. ki = 1 2).

15.5. Точное исследование индуктивного перехода (продолжение)

15.5.1. Рассмотрим теперь случай, когда /Ь± = 1, т.е. когда М± есть личный ход игрока 1.

Стратегия 2J1 игрока 1 в Г состоит, очевидно, из указания фиксированного значения aj (= 1, . . ., a4), а также фиксированной стратегии

So/i1 2)> т« е- 2Tl соответствует парам aj, xQyV

Стратегия 2 J2 игрока 2 в Г состоит в выборе стратегии 2/22 игрока 2 в Гао при всех значениях переменной о\ = 1, . . ., а4. Тем самым тао/2 оказывается функцией от aj: Tao/i = J2 (aj), т. e. 2J2 соответствует функциям J2, и, очевидно,

gr(tl, т2) = ЗГ0о(тао/2, J.«)). Поэтому наша формула для v4 дает.

max minoo, J2 (aj)) - max max min 3£оо (тоо/г J2(oJ)). а?,таоу1 СГг tao71 0J 2

x) Это интуитивно очевидно. Переформулировав определение п. 14.2 на языке разбиений и множеств и используя определения из п. 11.1.1 и (11 :А) из п. 11.1.3, читатель может провести формальный вывод. .

Существенно то, что в Г4 личный ход игрока 1 предшествует ходу игрока 2.

2) См. сноску 1 на стр. 145 и предыдущую сноску.



Из равенства (13:G) в п. 13.5.3 мы получаем заменой х, и, / (#) и *ф (#, у) соответственно на aj, rao/2, J2(aJ) и &Рао(т:аоп, j)1)

тахттЗГао(т « J2 (aj)) =max minT 0/1, to).

Далее имеем

Vi = maxmaxminSSrao(Tao/lf *<#/2) =

= maxmaxminSFao (та?/1§ Tmaxv,.

<*? V/1V/2 <*l

Формула для v2 дает нам2)

v2 = min max Жао (xaofi, J2 (oj)) = J* A Ta?/i = min max max ЗГо {a\/vCf% (<??))•

Теперь

min max max о (т f/1, J2 (aj)) = 2 a? *aS/1

= maxminmax,ao (y., J2(aJ)) = maxminmaxo (тао т£о/2)

следует из (13:E) и (13:G) из п. 13.5.3; достаточно только заменить и, f(x), $(х, и) на oj, тао/2, J2(orJ), тахЗГо (тао/4, гао/2)3). Следовательно,

v2 == max min max Жсо (xao/v тао/2) = max vao/2.

Резюмируя (и заменяя aj на aA), мы получаем (15:4) Vi = maxvai/i,

(15:5) v2 = maxvai/2.

15.5.2. Рассмотрим, наконец, случай к\ = 2, при котором ход Jlf принадлежит игроку 2.

Перемена ролями игроков 1 и 2 сводит этот случай к предыдущему.

*) В этом случае т 0 следует понимать как константу. Этот шаг, очевидно, три-

Gi/1

виален - см. приведенную выше аргументацию.

°) В отличие от п. 15.4.2, здесь наблюдается существенное различие в толковании смысла Vi и v2.

3) т о исключается операцией максимизации max. Этот шаг не тривиален. Он

ai/1 V/i

использует (13:Е) из п. 13.5.3 и является существенным результатом этого пункта, как отмечается в п. 15.4.3.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [ 45 ] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]