назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [ 44 ] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


44

15.3. Точное условие (индуктивный переход)

15.3.1. Как было указано в конце п. 15.1.2, мы стремимся вывести свойства игры Г из свойств игр Г- , а4 = 1, . . ., а4: в случае успеха это и будет типичным индуктивным переходом.

К настоящему моменту тем не менее единственный класс игр, свойства (математические) [которого нам известны, состоит из игр двух лиц с нулевой суммой: для них мы имеем величины v4 и v2 (см. п. 15.1.1). Предположим поэтому, что Г - игра двух лиц с нулевой суммой.

Покажем теперь, что величины v4 и v2, определенные для игры Г, могут быть выражены с помощью соответствующих величин для Г,

o~i == 1, . . ., (Xi (см. п. 15.1.2). Это обстоятельство пробуждает желание проводить «индукцию» и дальше, т. е. строить таким же способом игры

Га Ъ Га Ъ о * Га а а Существенно ЗДвСЬ ТО, ЧТО ЧИСЛО

шагов в этих играх последовательно убывает от v (для Г), v - 1 (для Г), принимая значения v - 2, v - 3, . . ., до 0 (для игры Г-х -g ~v); здесь Г~1 -2 -v - «пустая» игра (похожая на игру, упомянутую в замечании на странице 102). Она не содержит ходов: игрок к получает фиксированный выигрыш

"д(alf ..., av).

Это - терминология из пп. 15.1.2. 15.1.3, т. е. из §§ 6 и 7. В терминах пп. 15.2.1 и 15.2.2, т. е. из §§ 9, 10, мы сказали бы, что Q (для Г) последовательно ограничивается С4 (а4) из Jh2 (для Г-), далее С2 (ои а2) из Лг (для Г-1Г(Т2), C3(oi, a2, a3) из (для Г-ь-з) и т. д. и, наконец,

Сх (Oi, a2, . . ., av) из v+i (Для -2 -). Но это последнее множество состоит из единственного элемента ((10:l:g) из п. 10.1.1), скажем л. Следовательно, исход игры Г- ~2 ~v оказывается фиксированным. Игрок к получает фиксированный выигрыш k (я).

Следовательно, природа игры Г- ~2 ~v очевидна: понятно, что является ее значением для каждого игрока. Поэтому процесс, ведущий от Г- к Г, если его удастся построить, может быть использован для работы и в обратном направлении: от Г-х - к - ,

к Г-ь - 2 и т. д., и т. д., к Г-ь-2, к Г- и, наконец, к Г.

Однако все это возможно только в том случае, когда мы в состоянии построить все игры последовательности Г- -2, Г-у ~2 -g , ... . . ., Г- -v, т. е. если для всех этих игр выполняются последние условия из п. 15.1.3 или из п. 15.2.2. Это требование можно снова сформулировать для произвольной общей игры п лиц Г, и мы опять возвращаемся к таким Г.

15.3.2. Нужное требование (в терминах пп. 15.1.2, 15.1.3, т. е. из §§ 6 и 7) состоит в том, что ход g#! должен предварять все ходы оМ2, . . . . . ., gMv, ход оМ2 должен предварять все оМг, . . ., ©#v и т. д., и т. д., т. е. предварение должно совпадать с предшествованием.

г) Oi = 1, . . :, a4; а2 = 1, . . ., а2, где а2 = а2 (а4); а3 = 1, . . ., а3, где а3 = = а3 (а4, а2), и т. д.



То же самое можно, конечно, сформулировать и в терминах пп. 15.2.1 и 15.2.2. Именно все 3)к(к), к 2, должны быть подразбиениями А2, все 3)у (к), к 3, должны быть подразбиениями А3 и т. д., и т. д., т. е. все 3) (к) должны быть подразбиениями Ах при % X 1).

Поскольку АК всегда является подразбиением Ах (см. п. 10.4.1), достаточно потребовать, чтобы все 3) (к) были подразбиениями А у Однако А у является подразбиением 3)К(к) в i?x (к) (см. (10:l:d) в п. 10.1.1); следовательно, наше требование равносильно тому, что 3)% (к) является частью Ау лежащей в ВК (к) 2). Согласно (10:В) из п. 10.4.1 это как раз означает то, что в игре Г предварение совпадает с предшествованием.

В результате всех этих рассуждений мы установили следующее:

(15:В) Для того чтобы можно было достроить полную последовательность игр

состоящих соответственно из

v, v -1, V -2, ..., 0

ходов, необходимо и достаточно, чтобы в игре Г предварение и предшествование совпадали, т. е. чтобы имела место полная информация. (См. п. 6.4.1 и конец п. 14.8.)

Если Г - игра двух лиц с нулевой суммой, то сказанное позволяет проанализировать игру Г путем движения в обратном направлении вдоль последовательности (15.1): от тривиальной игры ~2 -v к Г, пользуясь на каждом шаге способом, ведущим от Г- к Г, так, как это будет показано в п. 15.6.2.

15.4. Точное исследование индуктивного перехода

15.4.1. Перейдем теперь к выводу индуктивного перехода от Га1 3) к Г. Игра Г должна лишь удовлетворять последним условиям из п. 15.1.3 или п. 15.2.2, но она должна быть при этом игрой двух лиц с нулевой суммой.

Следовательно, мы можем построить все Г, а4 = 1, . . ., а4, и они также будут играми двух лиц с нулевой суммой. Обозначим стратегии обоих игроков в Г соответственно через SJ, . . ., 2fi и 2*, . . ., 22, а «математическое ожидание» выигрыша каждого из игроков в партии при использовании ими стратегий 2J1, 22 - через

йГ± (Tlt TaJssSJTfa, т2)3 fiF8(Ti, т2)-- (т4, та) (см. пп. 11.2.3 и 14.1.1). Обозначим соответствующие величины в игре Га1 через 21, . . ., и 2£l/2, • • .» и при использовании страте-

гий 21/!, 2;/2 положим .

SToj/i (/1, т<у2/2) = $%ai (tci/i, tci 2),

5/2 (г/1, /2) = - (Jj (т/i, Tol/2).

*) Мы уже установили это для Я = 2, 3, . . .; для Я = 1 это выполняется автоматически: каждое разбиение является подразбиением А и поскольку состоит из единственного множества (см. (10-1 -j) в п. 10.1.1).

2) По поводу обоснования, если таковое потребуется, см. сноску 3 на стр. 89.

3) Начиная с этого места, будем писать aif а2, . . *v вместо <г4, а2, • • •» o"v, так как ни к каким недоразумениям это не приведет,



max min (xlf T2)f

= min max Ж (ть т2),

*2 ti

= max min

*ax/l /2

cr4/2)i

va4/2

= min max Ж01 (та1/ь %1/2%4/1

/2).

Наша задача состоит в выражении vi и v2 через vai/i и v0l/2.

Индекс fci из пп. 15.1.2, 15.2.1, который определяет характер хода <Мь будет играть существенную роль. Поскольку п == 2, &i может принимать только значения 0, 1 и 2. Мы рассмотрим каждый из этих трех случаев отдельно.

15.4.2. Рассмотрим сначала случай kt = 0, т. е. оМ± является случайным ходом. Вероятности альтернатив а4=1, . . >, а4 равны Pi (1), . . ., Pi (ai) (pi ((Ti) равно Pi (Ci) из (10:A:h) в п. 10.1.1 при с{ = = a (at) в п. 15.2.1).

Стратегия игрока 1 состоит, очевидно, в выборе стратегии 2jT1

игрока 1 в игре Га1 для каждого из значений случайной величины а4 = = 1, . . ., di1); таким образом, 2J1 соответствует совокупности

Sl/l1, . . ., ai/l1 ДЛЯ всевозможнЫХ Комбинаций Ti/i, . . ., Taj/i.

Аналогично стратегия игрока 2 в Г состоит в выборе стратегии 2а*/2 игрока 2 в Га1 для каждого из значений (случайной величины a4 = 1, ... « . ., сц; таким образом, 2J2 соответствует совокупности 21/22, . . ., 2Ta.i/2

ai/ z

для всевозможных комбинации Ti/2, . . ., Tai/2.

«Математические ожидания» выигрыша в играх Г и Га1 связываются очевидной формулой

Ж(ти Т2)= 2 Pl(Gi)&£Gi(l<5JU Ta /2).

Следовательно, выражение для v4 принимает вид

v4 = max min Ж (ть т2) = ti т2

= max min 2 л (а4) ЙГа (тад/1, та/2).

П/1, . . .,Tai/1 т1/2, . .., ха/2 о4=1

Соответствующе индексу а4 в стоящей справа сумме 2 слагаемое

Pi fal) (Tat/i, tai/2)

содержит только две переменные: tai/lf t<ji/2. Таким образом, пары

Т1/Ь т1/2; та4/1» Tai/2

г) Интуитивно это очевидно. Читатель может показать это и формально, применяя определения п. 11.1.1 и (11 :А) из п. 11.1.3 к ситуации, описанной в п. 15.2.1.

10 Дж. Нейман, О. Моргенштерн

Составим выражения для vlf v2 из п. 14.4.1 в игре Г и в игре Г0а, обозначая их в последнем случае через va /1, va /2. Такимобразом,

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [ 44 ] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]