и в обозначении через Г-х игры, которая совпадает с Г во всех деталях, за исключением того, что в Г- отсутствует ход <М\ и вместо выбора Oi правилами новой игры предписывается значение а4 = а4.
Замечание. Пусть, например, Г - игра в шахматы, a at - некоторый начальный ход - выбор при oMY «белых», т. е. игрока 1. Тогда Г- снова оказывается
игрой в шахматы, но начинающейся ходом, который является вторым в обычных шахматах - ходом «черных» (т. е. игрока 2), и позицией, образовавшейся в результате «открывающего хода». Этот предписанный «открывающий ход» может быть, а может и не быть общепринятым (типа е2 - е4).
То же происходит и в некоторых разновидностях бриджа, когда «посредник» сдает игрокам определенные - известные и заранее выбранные - карты. (Так делается, например, в «двойном бридже».)
В первом примере предписанный ход оМ в первоначальной игре является личным (ход «белых», игрока 1); во втором примере он в первоначальной игре является случайным («сдача»). г-
Применяемые иногда в некоторых играх «форы» могут сводиться к одной или нескольким таким операциям.
Игра Г- содержит одним ходом меньше, чем Г. Ее ходами будут q/H<l, ... ., qMvx). Наш «индуктивный» метод будет успешным, если мы сможем вывести существенные свойства игры Г из свойств игр Г,
Oi = 1, . . at.
15.1.3. Тем не менее следует отметить, что возможность составления игр Г- зависит от ограничений, наложенных на игру Г. Действительно, каждый игрок, делающий личный ход в игре Г- , должен быть полностью информирован о правилах этой игры. Теперь эта информация состоит уже из информации о правилах первоначальной игры Г с добавлением предписанного выбора на <Мь т. е. а4. Следовательно, игра Г- может быть получена из игры Г без изменения правил, касающихся состояния информации в Г, только в том случае, когда выбор при <М± по правилам первоначальной игры Г известен каждому игроку при совершении им личных ходов оМг, . . ., g#v? т. е. ход <М± должен предварять все личные ходы с#2> • • •» g#v- Таким образом:
(15:А) Игру Г- можно построить, не изменяя существенно для этой цели структуру игры Г, если Г обладает следующим свойством: (15:А:а) <М\ предваряет все личные ходы ©#2> • • •> <v 2)-
15.2. Точное условие (основание индукции)
15.2.1. Переведем теперь сказанное в пп. 15.1.2, 15.1.3 на язык разбиений и множеств из §§ 9 и 10 (см. также начало п. 15.1.2). В связи с этим мы будем пользоваться обозначениями из п. 10.1.
Ai состоит из единственного множества Q (см. (10:l:f) в п. 10.1.1) и является подразбиением 98 ((10:1:а) из п. 10.1.1); следовательно, 98\ также состоит из одного множества Q (остальные множества оказываются
*) В действительности надо пользоваться индексами 1, . . ., v - 1 и писать оМ\г) . . ., oMi для того, чтобы отметить зависимость от а4. Однако мы предпочитаем более простые обозначения оМ2, . . eMv.
2) Это терминология из п. 6.3, т. е. мы используем частную форму зависимости в смысле п. 7.2.1. Используя общее описание из п. 7.2.1, можно сформулировать (15:А:а) следующим образом: для любого личного хода оМ% (к = 2, . . ., v) множество Фх содержит функцию а4.
пустыми) *» 2). Иначе говоря,
Г Q ровно для одного к, скажем для к = ки В\ (к) - j 0 дЛЯ всех кфк
Это число kt = 0, 1, . . ., п определяет природу g#4; оно является параметром ki из п. 6.2.1. Если ki = 1, . . ., п, т. е. если ход личный, то At также будет подразбиением S4 (kt). (См. (10:l:d) из п. 10.1.1. Это определялось только для Bi (к, но Bt (&4) = Q). Следовательно, 35 i (kt) также состоит из единственного множества Q 3). Значит, при к Ф kt 35t (к), являющееся разбиением в Bt (к) = 0 (см. (10:А:а) из п. 10.1.1), должно быть пустым.
Таким образом, мы получаем ровно одно множество At из At, которое совпадает с Q, и для &4 = 1, . . ., п ровно одно Dt во всех 35t (к), также совпадающее с Q, в то время как при &4 = 0 ни в одном из 351 (к) не содержится множеств Dt.
Ход oMt состоит в выборе некоторого С4 из 4 (&4); этот выбор случаен, если kt = 0, и производится игроком &4, если ki = 1, . . ., п. Ci автоматически оказывается подмножеством единственного множества А± (= Q) в первом случае и подмножеством единственного Di (== О) во втором. Число таких С4 равно а4 (см. п. 9.1.5, сноску 1 на стр. 96); поскольку же рассматриваемые At или Di фиксированы, а4 является вполне определенной константой, cxi - число альтернатив при ходе <з#4, где а4 определялось в пп. 6.2.1 и 15.1.2.
Эти Ci отвечают а4 = 1, . . ., а4 из п. 15.1.2, и мы будем обозначать их соответственно через Ci (1), . . ., С4 (а4) 4). Теперь утверждение (10:l:h) в п. 10.1.1 показывает, как мы это уже заметили, что Jb2 также является множеством из Ci (1), . . ., С4 (а4), т. е. равно 4.
До сих пор наш анализ был совершенно общим; он был справедлив для oMi (а при некотором обобщении - и для оМ2) в условиях любой игры Г. Читатель может перевести эти свойства на повседневную терминологию в смысле пп. 8.4.2 и 10.4.2.
Перейдем теперь к Г- Этот переход, как было описано в п. 15.1.2, осуществляется предписанием выбора при ходе оМ т. е. принятием <т4 = 01- В то же самое время ходы в игре Г- ограничиваются множеством ©#2> • • •» <v. Это означает, что элемент я, представляющий партию в игре, не может более принимать произвольные значения из Q, а ограничен в пределах С4 (а4). Разбиения, перечисленные в п. 9.2Л, ограничиваются теми, ,для которых х = 2, . . ., v 5) (и х = v -f- 1 для АК).
15.2.2. Перейдем теперь к ограничениям, эквивалентным тем, которые описывались в п. 15.1.3.
Возможность осуществления изменений, сформулированных в конце п. 15.2.1, зависит от некоторых ограничений, налагаемых на Г.
г) Si представляет собой исключение из (8:В:а) в,п. 8.3.1; см. замечание по поводу этого (8:В:а) в сноске 1 на стр. 89, а также сноску 1 на стр. 95.
2) Доказательство. Q принадлежит А и которое является подразбиением 3S\\ следовательно, Q оказывается подмножеством некоторого элемента из «$4. Этот элемент должен быть равен Q. Все остальные элементы .53 4 поэтому с Q не пересекаются (см. п. 8.3.1), т. е. пусты.
3) Как А и так и 35 (&4), в отличие от (см. выше), должны удовлетворять обоим условиям (8:В:а) и (8:В:Ь) из п. 8.3.1, следовательно, они не содержат других элементов, кроме Q.
4) Они представляют собой альтернативы А\ (1), . . ., А± (а4) из пп. 6.2, 9.1.4 и 9.1.5.
5) Мы не будем менять нумерацию на х = 1, v - 1 (см. сноску 1 на странице 140).
Как было показано, мы стремимся ограничить партию, т. е. л, в рамках С4 (oi). Поэтому все множества, фигурирующие в описании Г и являющиеся подмножествами Q, должны быть заменены подмножествами Ci (oi), а разбиения - разбиениями в С4 (о4) (или в подмножествах Ci (о4)). Как это должно быть сделано?
Разбиения, с помощью которых описывается игра Г (см. п. 9.2.1), распадаются на два класса: те, которые представляет объективные факты - Ау, 98 у = (By (0), . . ., В% (п)) и %у (к), к = 0, 1, . . ., п, - и те, которые представляют только состояние информации игрока г) - ЗЗу (к), к = 1, . . ., п. Мы предполагаем, конечно, что х 2 (см. конец п. 15.2.1).
В первом классе разбиений достаточно лишь заменить каждый элемент на его пересечение с С4 (о4). Таким образом, 98 К видоизменяется заменой его элементов By (0), . . ., By (п) соответственно на
Ci(Oi)[]By(0), С4(54)П£иИ.
В Л у и этого делать не надо. Оно является подразбиением А2 (поскольку х 2, см. п. 10.4.1), т. е. системы попарно непересекающихся множеств (С4(1), . . ., Cf (а4)) (см. п. 5.2.1); следовательно, достаточно оставить только элементы из Л у, являющиеся подмножествами С4 (о4), т. е. часть Л у, содержащуюся в С4 (о4). К %у (к) следует подходить так же, как и к 98 у, однако мы предпочитаем отложить это рассмотрение.
Во втором классе разбиений, т. е. для ЗЗу (к), ничего подобного делать нельзя. Замена элементов из ЗЗу (к) их пересечениями с С4 (о4) приводит к изменению состояния информации игрока 2), и, таким образом, недопустима. Единственно возможной процедурой является процедура, выполнимая в случае Ау, замена 33у (к) той его частью, которая лежит в С4 (о4). Однако это применимо только лишь в том случае, когда ЗЗу (к) (как ранее А у) является подразбиением А2 (при х 2).
Теперь *ёу (к) само позаботится о себе: оно является подразбиением ЗЗу (к) (см. (10:1:с) в п. 10:1:1); следовательно, таковым оказывается и Az (согласно сделанному выше предположению); поэтому мы можем заменить его на ту его часть, которая содержится в С4 (о4).
Итак, мы видим, что необходимым ограничением, налагаемым на Г, является то, 4TQ каждое ЗЗу (к) (при к± 2) должно быть подразбиением А2. Вспомним теперь интерпретацию п. 8.4.2 и утверждения (10:A:d*) и (10:A:g*) в п. 10.1.2. Эти ограничения имеют тот смысл, что каждый игрок при совершении им личного хода в оМ2, • . полностью инфор-
мирован о состоянии дел после хода с#4 (до совершения хода оМ2), что выражается через А2 (см. также рассмотрение, предшествующее (10:В) в п. 10.4.2). Сказанное означает, что ход ©#4 должен предварять все ходы
Таким образом, мы вновь получили условие (15:А:а) из п. 15.1.3. Мы предоставляем читателю простую проверку того, что игра удовлетворяет требованиям п. 10.1.1.
х) представляет собой состояние информации посредника, но оно есть объективный факт: события, произошедшие до этого момента, определяют течение партии в точности до этого момента (см. П.9.1.2).
2) Именно, ему сообщается дополнительная информация.