назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [ 42 ] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


42

а потому и между оптимальными способами игры в этих играх. Поэтому рассуждения в пп. 14.3.1 и 14.3.3- перестают быть руководящими при рассмотрении игры Г. Рассуждения в пп. 14.5.1 и 14.5.2 также неприменимы, так как они используют существование седловой точки Ж (т4, т2> и справедливость равенства

max min Ж (т1? т2) = min max Ж (т4, т2),

Tl Т2 Т2 Tl

т. е. полную определенность игры Г. Конечно, некоторое доверие внушает неравенство из начала п. 14.4.2. Согласно ему значение v партии в Г (для игрока 1) (если такое понятие вообще может быть образовано в том общем случае, для которого мы пока еще его не имеем г)) находится в пределах

ViSivrg v2,

т. е. при этом для v все еще сохраняется интервал неопределенности длины Д = v2 - Vi > 0, и, кроме того, вся ситуация в концептуальном смысле остается весьма неудовлетворительной.

Можно склоняться к тому, чтобы вообще оставить дальнейшие попытки: так как «раскрытие» своего оппонента в такой игре Г дает преимущество, представляется внушающей доверие мысль о том, что нет возможности обнаружить решение до тех пор, пока не будет сделано некоторое определенное предположение о том, «кто кого раскрывает» и в какой степени 2).

В § 17 мы увидим, что это не так и что, несмотря на Д > 0, решение может быть найдено тем же самым путем, что и раньше. Но мы, не приступая к рассмотрению этой трудности, займемся сначала перечислением некоторых игр Г с Д > 0 и других игр, для которых Д = 0. Первые, которые не являются вполне определенными, будут рассмотрены кратко; их детальное исследование будет проведено в п. 17.1. Вторые, которые являются вполне определенными, будут проанализированы значительно подробнее.

14.7,2. Так как существуют функции Ж (т4, т2) без седловых точек (см. пп. 13.4.1 и 13.4.2, где ф (х, у) есть наша Ж (т4, т2)), существуют и не вполне определенные игры Г. Имеет смысл еще раз рассмотреть прежние примеры, т. е. функции, описываемые матрицами табл. 2 и табл. 3 на стр. 120, в свете имеющихся в виду приложений. Иными словами, опишем в явном виде те игры, к которым они относятся. (В каждом случае мы заменяем ф (ж, у) на Ж (т4, т2); здесь т2 обозначает номер столбца, a %i - номер строки в каждой матрице. См. также табл. 5 на стр. 126.)

Табл. 2 - это игра в орлянку. Пусть для т4 и для т2 1 означает «герб», а 2 означает «решетку». Тогда элемент матрицы равен 1, если т4 и т2 совпадают, т. е. равны друг другу, и - 1 в противном случае. Таким образом, игрок 1 угадывает действия игрока 2. Он выигрывает (единицу) при совпадении и проигрывает (единицу) в противном случае.

Табл. 3 -- это игра «камень, мешок и ножницы». Пусть для т4 и для т2 1 означает «камень», 2 означает «мешок», а 3 - «ножницы». Распределение

х) Однако см. п. 17.8.1.

2) На более ясном языке: А > 0 означает, что в этой игре невозможно одновременно каждому из игроков быть умнее своего оппонента. Следовательно, представляется желательным знать, насколько умен каждый игрок.



1 и -1 в матрице выражает, что «мешок» побеждает «камень», «ножницы» побеждают «мешок», а «камень» побеждает «ножницы» х). Таким образом, игрок 1 выигрывает (единицу), если он побеждает игрока 2, и проигрывает (единицу), если оказывается побежденным. В противном случае (если оба игрока делают одинаковый выбор) игра заканчивается вничью.

14.7.3. Эти два примера в достаточно ясной форме показывают трудности, которые встретились нам в не вполне определенных играх. Благодаря чрезвычайной простоте примеров эти трудности отчетливо выделены здесь. Дело в том, что в играх «орлянка» и «камень, мешок и ножницы» любой способ игры (т. е. любое т4 или любое т2) так же хорош, как и любой другой. Нет существенной выгоды или невыгоды непосредственно в «гербе» или в «решетке». Нет их непосредственно и в «камне», «мешке» или «ножницах». Единственным, что имеет значение, является правильное угадывание действий противника. Но как приступить к описанию этого без дальнейших предположений об «интеллектах» игроков? 2)

Конечно, существуют и более сложные игры, которые не являются вполне определенными и которые важны с различных более тонких специальных точек зрения (см. §§ 18 и 19). Но поскольку речь идет об основной трудности, простые игры «орлянка» и «камень, мешок и ножницы» являются достаточно характерными.

14.8. Программа детального анализа полной определенности

14.8. Хотя вполне определенные игры Г, для которых наше решение строго обосновано, являются, таким образом, только частным случаем, нельзя недооценивать размеров области, которую они охватывают. Тот факт, что мы используем нормальную форму для игры Г, может привести нас к такому недооцениванию. При использовании нормальной формы многие вещи кажутся элементарнее, чем они есть на самом деле. Надо помнить, что %i и т2 представляют собой стратегии в позиционной форме игры, которая может иметь, как указывалось в п. 14.1.1, очень сложную структуру.

Следовательно, для того чтобы понять роль полной определенности, необходимо исследовать ее в связи с позиционной формой игры. Это поднимает вопросы, касающиеся детальной природы ходов (является ход случайным или выполняется игроком), состояния информации игроков и т. д. Тем самым, как упоминалось в п. 12.1.1, мы подходим к структурному анализу, основанному на позиционной форме.

Нас особенно будут интересовать те игры, в которых каждый игрок, делая свой ход, полностью информирован об исходах выборов во всех предшествующих ходах. Эти игры уже упоминались в п. 6.4.1, и там утверждалось, что их общее рассмотрение носит специфический характер. Теперь мы установим точный смысл этого, доказав, что все такие игры являются вполне определенными. Это окажется справедливым не только в том случае, когда все ходы являются ходами игроков, но и при наличии случайных ходов.

х) «Камень уносится в мешке, ножницы режут мешок, камень точит ножницы».

2) Как уже упоминалось прежде, мы покажем в п. 17.1, что это может быть сделано.



§ 15. ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ 15.1. Постановка задачи. Индукция

15.1.1. Продолжим изучение игр двух лиц с нулевой суммой с целью нахождения среди них возможно более широкого класса вполне определенных игр, т. е. таких игр, для которых величины

v4 = max min Ж (т4, т2), v2 = min max Ж (т4, т2)

Т2 Ti

из п. 14.4.1, оказавшиеся столь важными для оценки игры, удовлетворяют соотношению

У4 = V2 = V.

Мы покажем, что, когда игра Г является игрой с полной информацией, т. е. когда предварение эквивалентно предшествованию (см. п. 6.4.1 и окончание п. 14.8), она вполне определена. Мы обсудим также концептуальную значимость этого результата (п. 15.8). Фактически мы получим это утверждение как частный случай более общего правила, касающегося Vi и v2 (см. п. 15.5.3).

Мы начнем наши рассмотрения даже с более общего случая - общей игры п лиц Г. Эта большая общность окажется полезной в дальнейшем.

15.1.2. Пусть Г - общая игра п лиц, заданная в позиционной форме. Мы рассмотрим некоторые аспекты этой игры, используя сначала до-теоретико-множественную терминологию из §§ 6 и 7 (в п. 15.1), а затем переведем все на язык теории разбиений и множеств из §§ 9 и 10 (в п. 15.2 и далее). Возможно, читатель получит полное представление о вопросе уже с помощью одного только первого рассмотрения; дальнейшее со своим достаточно формальным аппаратом имеет целью показать только, что фактически мы действуем на основании аксиом п. 10.1.1.

Определим последовательность ходов в Г: оМ <Мг, . . ., qMv. Зафиксируем наше внимание на первом ходе и на ситуации, которая складывается в момент этого хода. Поскольку этому ходу ничто не предшествует, то его ничто и не предваряет; иначе говоря, характеристики этого хода ни от чего не зависят; они являются константами. Это относится прежде всего к тому, является ли ход <М\ случайным или личным; в последнем случае - какому из игроков принадлежит ход оМ т. е. к значениям к± = 0, 1, . . ., п в смысле п. 6.2.1. Это относится также к числу альтернатив а4 в ходе оМ\, а для случайного хода (когда ki = 0) - и к значениям вероятностей Pi(l), . . ., Pi(ai). Результатом выбора в ходе оМ -случайном или личном - является число а4 = 1, . . ., а4.

Для математического анализа игры Г сам собой напрашивается метод, в достаточной мере отвечающий духу «полной индукции», широко используемой во всех областях математики. Успешное применение этого метода позволяет заменить анализ игры Г анализом игр, содержащих на один ход меньше, чем Г *). Этот метод состоит в выборе некоторого а4 = 1, ..<х4

*) То есть вместо v мы получаем v - 1. Повторное применение «индуктивного перехода» (если вообще такое применение возможно) сведет игру Г к игре с 0 ходами, т. е. к игре с фиксированным, определенным исходом. А это и означает, очевидно, полное решение Г (см. (15:С:а) в 15.6.1).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [ 42 ] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]