(14:D:a) А есть множество тех т1? для которых minG%b(t1, т2) дости-гает своего максимального значения, т. е. для которых minS?,(t1, т2) = max min Ж (т4, t2) = v.
Т2 %1 %2
(14:D:b) В есть множество тех т2, для которых шдхЖ {хи т2) достигает своего минимального значения, т. е. для которых тахе(т1? т2) =minmax(2%T (t4, t2) = v.
Теперь легко доказывается утверждение (14:C:d). Пусть игрок 1 выбирает т4 из А. Тогда, независимо от действий игрока 2 (т. е. для каждого т2), мы имеем Ж (ть т2) min Ж (т4, т2) = v,
т. е. выигрыш игрока 1 v.
Пусть игрок 2 выбирает т2 из В. Тогда, независимо от действий игрока 1 (т. е. для каждого т, мы имеем Ж (т4, t2)5gmaxe%r (т4, т2) =
= v, т. е. выигрыш игрока Ivh, таким образом, выигрыш игрока 2
-v.
Это завершает доказательство.
Теперь перейдем к утверждению, эквивалентному (14:А:е) и (14:В:е). Действительно, (14:C:d) эквивалентно можно сформулировать так:
(14:С:е) Игрок 2, играя соответствующим образом, может добиться того, что выигрыш игрока 1 будет g v, т. е. может воспрепятствовать ему выиграть > v независимо от его действий.
Игрок 1, играя соответствующим образом, может добиться того, что выигрыш игрока 2 будет g -v, т. е. воспрепятствовать ему выиграть > -v независимо от его действий. (14:C:d) и (14:С:е) вполне устанавливают нашу интерпретацию v, как значения партии для Г для игрока 1 и -v для игрока 2.
14.5.2. Рассмотрим теперь эквиваленты утверждений (14:А:а),
(14:А:Ь), (14:В:а), (14:В:Ь).
Благодаря (14:C:d) в п. 14.5.1 разумно определять оптимальный способ игры игрока 1 в игре Г как способ, гарантирующий ему выигрыш, больший или равный значению партии для 1, независимо от действия 2, т.е. выбор т4, для которого Ж (т4, t2)v при всех т2. Эквивалентно это можно записать как min Ж (т4, т2)) v.
Далее, всегда верно
min Ж (т4, т2) max min Ж (т4, т2) = v.
2 Tl Т2
Следовательно, высказанное выше условие для т4 превращается в min Ж (ti, т2) = v, т. е. (благодаря (14:D:a) в п. 14.5.1) т4 принадле-
жит А.
С другой стороны, ввиду (14:C:d) в п. 14.5.1 разумно определять оптимальный способ игры для игрока 2 в игре Г как способ, гарантирующий ему выигрыш, больший или равный значению партии для 2, независимо от действий 1, т. е. выбор т2, для которого - Ж (т4, т2) - v при всех т4. Это значит, что Ж (т4, т2) rg v для всех т4. В эквивалентной форме это можно записать как max Ж (т4, t2)rgv.
Далее, всегда верно
max Ж (хх, т2)г> min max Ж (т4, т2) = v.
Следовательно, высказанное выше условие для т2 превращается в в max Ж (Ti, т2) = v, т. е. (благодаря (14:D:b) в п. 14.5.1) т2 принад-
лежит В.
Таким образом, мы имеем:
(14:С:а) Оптимальным способом игры (стратегией)1 для игрока 1 в игре Г является выбор любого т4, принадлежащего А, где А - множество из (14:D:a) в п. 14.5.1.
{14:С:Ь) Оптимальным способом игры (стратегией) для игрока 2 в игре Г является выбор любого т2, принадлежащего В, где В - множество из (14:D:b) в п. 14.5.1 *).
Наконец, наше определение оптимального способа игры, как указывалось в начале этого пункта, немедленно дает утверждение, эквивалентное (14:А:с) рли (14:В:с).
(14:С:с) Если оба игрока играют в игре Г оптимально, т. е. если т4 принадлежит А, а т2 принадлежит 5, то значение Ж (т1? т2) будет равно значению партии (для игрока 1), т. е. v. Заметим, что (13:D*) в п. 13:5.2 и замечания, изложенные перед утверждениями (14:D:a) и (14:D:b) в п. 14.5.1 относительно множеств А, В, вместе взятые, дают нам следующее.1
(14:C:f) Оба игрока 1 и 2 играют в игре Г оптимально, т. е. т4 принадлежит 4, а т2 принадлежит В тогда и только тогда, когда хи т2 является седловой точкой 8С (х\, т2).
14.6. Перемена ролей игроков. Симметрия
14.6. Утверждения (14:С:а)-(14:C:f) в пп. 14.5.1 и 14.5.2 разрешают все трудности в той мере, в какой речь идет о вполне определенных играх двух лиц. В связи с этим заметим, что в пп. 14.3.1 и 14.3.3 для игр Г4 и Г2 мы вывели (14:A:d), (14:А:е), (14:B:d), (14:В:е) из (14:А:а), (14:А:Ь), (14:В:а), (14:В:Ь), в то время как в пп. 14.5.1 и 14.5.2 для самой игры Г мы получили (14:С:а), (14:С:Ь) из (14:C:d), (14:С:е). Это является преимуществом, так как аргументы в пп. 14.3.1 и 14.3.3 в пользу (14:А:а), (14:А:Ь) (14:В:а), (14:В:Ь) носили гораздо более эвристический характер, чем аргументы в пп. 14.5.1 и 14.5.2 в пользу (14:C:d), (14:С:е).
Использование функции Ж (ть т2) == Ж± (хи т2) подразумевало определенную асимметрию расположения игроков; игроку 1 тем самым придавалась особая роль. Однако интуитивно должно быть ясно, что равнозначные результаты могут быть получены, если мы отведем эту особую роль игроку 2. Так как перемена ролей игроков 1 и 2 будет иметь определенное значение в дальнейшем, мы приведем сжатое математическое обсуждение этого вопроса.
Перемена ролей игроков 1 и 2 в игре Г, которая теперь не предполагается вполне определенной, приводит к замене функций Ж\ (т1? т2) и
г) Так как эта игра есть Г, каждый игрок должен сделать свой выбор (х± или т2), не зная о выборе другого игрока (т2 или т. Сопоставьте это с (14:А:Ь) в п. 14.3.1 для Г4 и с (14:В:Ь) в п. 14.3.3 для Г2.
52 (ti, т2) на функции Ж2 (т2, ti) и Ж± (т2, ti) 2). Поэтому такая перемена означает изменение функции Ж (т4, т2) на - Ж (т2, т4).
Далее, изменение знака влечет за собой переход операций max и min друг в друга. Следовательно, величины
max min Ж (т4, т2) = vlf min max Ж (т4, т2) = v2,
определенные в л. 14.4.1, превращаются теперь в следующие: max min [ - Ж (т2, т4)] = - min max Ж (т2, т4) =
tl Т2 Ti т2
= - min max Ж (т/4 т2)2) = -- v2r
т2 ti
min max [ - Ж (т2, т4)] = - max min 3f (т2, т4) =
t2 ti t2 ti
= - max min Ж (т41 т2) 3) = - v4.
ti t2
Таким образом, v4, v2 превращаются в -v2f -v44). Следовательно, величина
A = v2 - v4 = ( - v4) - ( - v2)
остается неизменной5). Если Г вполне определена, то это также остается верным, так как в этом случае Д = 0 и равенство v = v4 = v2 превращается в -V = -v4 = -v2.
Теперь легко проверить, что все утверждения (14:С:а) - (14:G:f) в пп. 14.5.1 и 14.5.2 остаются теми же самыми, когда произведена перемена ролей игроков 1 и 2.
14.7. Игры, не являющиеся вполне определенными
14.7.1. Все предыдущее относится только к вполне определенным играм и ни к каким другим. Игра Г , которая не является вполне определенной, характеризуется тем, что А > 0, т. е. в такой игре получает преимущество тот, кто «раскроет» своего противника. Отсюда вытекает существенное различие между результатами, т. е. значениями в Г4 и в Г2,
*) Это уже не та операция перемены ролей игроков, которая использовалась в п. 14.3.4. Там нас интересовало только распределение и состояние информации в каждом ходе, а игроки 1 и 2 рассматривались со своими функциями Ж (т4, т2) и Ж2 (т4, т2) (см. сноску на стр. 130). В этом смысле игра Г была симметричной, т. е. неизменной при этом преобразовании.
В данном случае мы полностью меняем роли игроков 1 и 2 и даже их функции е%?4 (т4, Тг) и Жъ (т4, Тг)-
2) Мы должны были поменять местами переменные т4 и т2, так как т4 соответствует выбору игрока 1, а т2 - выбору игрока 2. Следовательно, теперь т2 имеет область изменения 1, . . ., ($4. Итак, опять для Жъ (г2> г4) справедливо, как это раньше было для Жъ (ti, т2), что переменная перед запятой имеет область изменения 1, . . ., р4, а переменная после запятой - область изменения 1, . . ., р2.
3) Это просто изменение записи: переменные т4, т2 заменены на т2, т4.
4) Это, как и следовало ожидать, находится в соответствии со сноской 2 на стр. 131.
б) Это, как и следовало ожидать, находится в соответствии со сноской 3 на стр. 132.