Поэтому весьма знаменательно, что характеризация значения партии (Vi для Г*1, v2 для Г2), введенная в конце п. 14.3.1 и п. 14.3.3, т. е. (14:А:с), (14:A:d), (14:А:е), (14:В:с), (14:B:d), (14:В:е) (за исключением формул в конце (14:А:с) и (14:В:с)), полностью симметрична относительно игроков 1 и 2. В соответствии с тем, что говорилось выше, это совпадает с утверждением о том, что эти характеризации установлены одним и тем же способом для 1\ и для Г2 х). Все это, конечно, является в равной мере очевидным при непосредственной проверке соответствующих мест.
Итак, нам удалось определить значения партии одинаковым способом для игр Ti и Г2 и симметрично для игроков 1 и 2: в (14:А:с), (14:A:d), (14:А:е), (14:В:с), (14:B:d) и (14:В:е) в п. 14.3.1 и в п. 14.3.3. Это было сделано, несмотря на существенное различие индивидуальных ролей каждого игрока в обеих играх. Все это внушает надежду, что определение значения партии может быть использовано в той же форме и с таким же успехом и для других игр, в частности для игры Г, которая занимает промежуточное положение между Г4 и Г2. Эта надежда касается, конечно, только самого понятия значения, но не тех рассуждений, которые приводят к нему. Они специфичны в ГА ив Г2, фактически различны для Г4 и для Г2 и вообще непригодны для самой игры Г. Иными словами, в дальнейшем мы ожидаем большего от (14:A:d), (14:А:е), (14:B:d) и (14:В:е), чем от (14:А:а), (14:А:Ь) и (14:В:а), (14:В:Ь).
Ясно, что это - только эвристические соображения. До сих пор мы даже не пытались доказать, что численное значение партии для Г может быть определено этим путем. Теперь мы приступим к детальному рассмотрению, которое восполнит этот пробел. Мы увидим, что сначала некоторые определенные и серьезные трудности ограничат на первый взгляд применимость этой методики, но в дальнейшем будет возможно устранить их введением нового аппарата. (См. соответственно п. 14.7.1 и пп. 17.1-17.3.)
14.4. Выводы
14.4.1. Мы видели, что вполне правдоподобной интерпретацией значения партии являются величины
V£ = max min &£ (т4, т2), v2 =- min max $C (xu т2)
соответственно для игр Г4 и Г2 относительно игрока 1 2).
Так как игра Г4 менее благоприятна для игрока 1, чем игра Г2 (в 1\ он должен сделать ход до хода своего противника, которому будет известен его ход, в то время как в игре Г2 наблюдается обратная ситуация), разумным является вывод о том, что значение для Г4 меньше или равно (т. е. наверняка не больше), чем значение для Г2. Каждый может судить о строгости этого «доказательства». Этот вопрос решить трудно, но, во всяком случае, тщательный анализ словесных аргументов показывает, что они по существу воспроизводят математическое доказательство того же
*) Этот вопрос заслуживает внимательного рассмотрения. Естественно, что эти две характеризации должны получаться друг из друга путем изменения ролей игроков 1 и 2. Но в этом случае утверждения совпадают непосредственно, когда никакого изменения игроков не делается. Это следует из их индивидуальной симметрии.
2) Следовательно, для игрока 2 значениями являются - y± и -v2.
самого утверждения, которое мы уже получили. Действительно, то, что мы утверждаем:
Vi v2,
совпадает с (13:А*) в п. 13.4.3 (где ф, хя у соответствуют нашим 5i\ ти т2).
Вместо того, чтобы рассматривать v4 и v2 в качестве значений для двух игр Г4 и Г2, отличных от Г, мы можем связать их с самой игрой Г при соответствующих предположениях относительно «интеллекта» игроков 1 и 2.
Действительно, правила игры Г предписывают, чтобы каждый игрок делал свой выбор (свой собственный ход) при полном неведении о выборе своего противника. Тем не менее возможно, что один из игроков, скажем 2, «раскрывает» своего противника, т. е. что он как-то получил информацию о его стратегии х).
Мы не будем касаться вопроса об источнике этой информации; им может быть (но не обязательно будет) опыт, накопленный в предыдущих партиях. Во всяком случае, мы предполагаем, что игрок 2 такой инфор-цией обладает. Возможно, конечно, что в этой ситуации игрок 1 изменит свою стратегию, но мы опять предположим, что по каким-то причинам он не делает этого2). При этих предположениях мы можем говорить, что игрок 2 «раскрыл» своего противника.
В этом случае условия в Г становятся точно такими же, как и в Г4, и, следовательно, все рассуждения п. 14.3.1 применимы дословно. Аналогично можно представить себе противоположную возможность, что игрок 1 «раскрыл» своего противника. Тогда условия в Г становятся точно такими же, как в игре Г2, и, следовательно, все рассуждения п. 14.3.3 применимы дословно.
В свете изложенного выше мы можем сказать следующее. Значение партии игры Г является определенной величиной, если делается одно из следующих двух крайних предположений: или что игрок 2 «раскрывает» своего противника, или что игрок 1 «раскрывает» своего противника. В первом случае значение партии есть v4 для 1 и -v4 для 2, во втором случае значение партии есть v2 для 1 и -v2 для 2.
14.4.2. Эти рассуждения показывают, что если значение партии самой игры Г (без каких-либо дальнейших ограничений или модификаций) вообще может быть определено, то оно должно лежать между значениями Vi и v2. (Мы имеем в виду значение для игрока 1.) То есть если мы обозначим через v значение партии для игры Г (для игрока 1), то должно быть
Vi v v2.
Длина этого интервала, в котором может находиться v, есть
A = v2 - ViO.
В то же время А выражает преимущество, которого добивается (в игре Г) игрок, «раскрыв» своего противника вместо того, чтобы быть «раскрытым» самому 3).
х) В игре Г, которая является игрой в нормальной форме, стратегия есть просто фактический выбор при единственном индивидуальном ходе игрока. Вспомнив, как эта нормальная форма получается из первоначальной позиционной формы игры, мы убедимся, что этот выбор в точности соответствует стратегии в первоначальной игре.
2) По поводу интерпретации всех этих предположений см. п. 17.3.1.
3) Отметим, что это выражение для преимущества в игре Г применимо к обоим игрокам. Преимущество для игрока 1 равно v2 - v4, для игрока 2 оно равно (•-Vi) - (-v2), и оба выражения равны друг другу, т. е. равны А.
Далее, игра может быть такой, что неважно, какой игрок «раскрыл» своего оппонента, т. е. что получаемое преимущество при этом равно нулю. В соответствии со сказанным выше, это может быть в том и только в том случае, когда
Д = 0
или, что то же самое, когда
Vi = v2.
Или, если мы заменим v4 и v2 выражениями, которые их определяют, max min Ж (ть т2) = min max Ж (т4, т2).
Если игра Г обладает этими свойствами, то будем называть ее вполне определенной.
Последняя форма этого условия требует сравнения с (13:3) в п. 13.3.1 и с рассуждениями в пп. 13.4.1-13.5.2 (снова ф, хж у там соответствуют нашим Ж, тит/г). Действительно, утверждение (13:В*) в п. 13.4.3 говорит, что игра Г вполне определена тогда и только тогда, когда существует седловая точка функции Ж (г4, т2).
14.5. Анализ полной определенности
14.5.1. Предположим, что игра Г вполне определена, т. е. что существует седловая точка функции Ж (г4, т2).
В этом случае анализ в п. 14.4.2 вселяет надежду, что станет возможным интерпретировать величину
v = vt = v2
как значение партии для Г (для игрока 1). Вспоминая определения у4и v2 и определение седловой точки в п. 13.4.3 и используя (13:С*) в п. 13.5.2, мы видим, что последнее равенство может быть записано как
v = max min Ж (т4, т2) = min max Ж (т4, т2) = SaTl/t23f (тА, т2).
Ti Т2 Т2 х1
Повторяя шаг за шагом то, что делалось в конце п. 14.3.1 и в конце п. 14.3.3, нетрудно установить, что v можно интерпретировать как значение партии для Г (для игрока 1).
В частности, (14:А:с), (14:A:d), (14:А:е), (14:В:с), (14:B:d), (14:В:е) из п. 14.3.1 и п. 14.3.3, где они применялись к Г4 и Г2 соответственно, теперь могут быть получены для Г. Начнем с того, что воспроизведем утверждение, эквивалентное (14:A:d) и (14:B:d) г):
(14:C:d) Игрок 1 может, играя надлежащим образом, обеспечить себе выигрыш £2: v независимо от того, что делает игрок 2.
Игрок 2 может, играя надлежащим образом, обеспечить себе выигрыш -v независимо от того, что делает игрок 1.
Для того чтобы доказать это, мы снова образуем множество А из (14:А:а) в п. 14.3.1 и множество В из (14:В:а) в п. 14.3.3. Они являются фактически множествами Аф, В® из п. 13.5.1 (ф соответствует нашей Ж). Мы повторяем:
х) Здесь (а) - (f) появляются в необычном порядке, так как нумерация основывается на пп. 14.3.1 и 14.3.3, а рассуждения в этих пунктах шли по несколько иному пути.