Так как мы рассматриваем игру с нулевой суммой, согласно п. 11.4 мы имеем
STi т2) + Й8Г2 (tlf т2) = 0. Мы предпочитаем выразить это следующим образом:
й8Г± (tlf т2) = Ж (т4, т2), Ж2 (т41 т2) = - SST (т4, та).
Попытаемся теперь понять, как очевидные желания игроков 1 и 2 определяют их действия, т. е. выборы т4 и т2.
Разумеется, необходимо снова напомнить, что т4 и т2 означают, в конечном счете, не выборы (ходы) игроков, а их стратегии, т. е. их полные «теории», или «планы» относительно игры.
Мы пока оставим это в стороне. Впоследствии мы вернемся к такому пониманию т4 и т2 и проанализируем течение партии.
14.1.2. Желания обоих игроков достаточно просты. Первый стремится сделать Ж (т4, х2) = Ж (т4, т2) максимальным, а второй стремится сделать максимальным Ж2 (i» 2) = - Ж (хи т2), т.е. первый желает максимизировать, а второй желает минимизировать Ж (т4, т2).
Итак, интересы двух игроков сосредоточены на одном и том же объекте: на единственной функции Ж (т4, т2). Но их цели, как этого и следует ожидать в игре двух лиц с нулевой суммой, прямо противоположны: первый хочет максимизировать, второй хочет минимизировать. Специфической трудностью во всем этом является то, что ни один из игроков не контролирует полностью объекта своих стремлений, значение Ж (т4, т2), т. е. обе переменные т4 и т2. Первый хочет максимизировать, но он контролирует только т4) второй хочет минимизировать, но он контролирует только т2. Что же на самом деле произойдет?
Трудность заключается в том, что никакой конкретный выбор, скажем т4, не может сам по себе сделать Ж (т4, т2) большим или меньшим. Вообще влияние т4 на (т4, т2) является неопределенным; оно становится определенным только в соединении с выбором другой переменной, в данном случае т2. (Ср. соответствующую трудность в экономике, рассмотренную в п. 2.2.3.)
Заметим, что с точки зрения игрока 1, который выбирает переменную, скажем, т4, другая переменная, конечно, не может рассматриваться как случайное событие. Другая переменная, в данном случае т2, зависит от воли другого игрока, который должен рассматриваться в свете той же «рациональности», как и сам первый. (См. также конец п. 2.2.3 и п. 2.2.4.)
14.1.3. На этой стадии удобно использовать графическое представление, введенное в п. 13.3.3. Представим Ж (т4, т2) в виде прямоугольной матрицы: образуем прямоугольник из р4 строк и р2 столбцов, используя числа т4 = 1, . . ., pi для нумерации первых и числа т2 = 1, . . ., р2 для нумерации вторых, и в клетку с номерами т4 и т2 впишем элемент матрицы Ж (т4, т2). (См. табл. 1 в п. 13.3.3. Участвующие там ср, ж, г/, t, s соответствуют нашим Ж, т4, т2, р4, р2 (табл. 5).)
Следует отдать себе отчет в том, что на функцию Ж (т4, т2) не накладывается никаких ограничений, т. е. мы свободны выбрать ее по своему желанию х). Действительно, любая данная функция Ж (т4, т2) определяет
*) Область определения, конечно, предписывается: она состоит из всех пар т4, То, где т4 = 1, . . ., р4, т2 = 1, . . ., Рг- Это конечное множество, так что все max и min существуют, см. конец п. 13.2.1.
| | | | | | |
| <ЙГ(1, 1) | суТ(1, 2) | | | | Ж(1, Р2) |
| суГ(2, 1) | <уГ(2, 2) | | сЖ (2, т2) | | Ж (2, р2) |
| | | | | | |
| | суГ (rlf 2) | | fl(Ti,T2) | | (УТ (ti, Р2) |
| | | | | | |
| <(Pi, 1) | (Р±, 2) | | суТ (Рь т2) | ... . | Ж (Р4, Р2) |
игру двух лиц с нулевой суммой в смысле (11:D) п. 11.2.3 путем простого определения
т2) = вГ(т4 т2), ЙГ2(т4, т2)~-(ть т2)
(см. п. 14.1.1). Желания игроков 1 и 2, как это описано в конце предыдущего пункта, можно представить себе следующим образом. Оба игрока заинтересованы только в значениях элемента матрицы &С (т4, т2). Игрок 1 старается максимизировать его, но он контролирует только строку, т. е. число т4. Игрок 2 старается минимизировать его, но он контролирует только столбец, т. е. число т2.
Мы должны теперь попытаться найти удовлетворительную интерпретацию для выхода из этого своеобразного перетягивания каната
14.2. Минорантная и мажорантная игры
14.2. Вместо того чтобы пытаться непосредственно приступать к разрешению самой игры Г, к чему мы еще не подготовлены, рассмотрим две другие игры, которые тесно связаны с игрой Г и которые поддаются непосредственному обсуждению.
Ясно, что трудность при анализе игры Г заключается в том, что игрок 1, выбирая ть не знает, с каким выбором т2 игрока 2 он столкнется, и наоборот. Поэтому сравним игру Г с другими играми, для которых эта трудность не возникает.
Определим первую игру Г4, которая совпадает с игрой Г во всех деталях, за исключением того, что в игрок 1 делает свой выбор Tt
х) Конечно, дело в том, что это не просто перетягивание. Два игрока имеют противоположные цели, но средства, при помощи которых они продвигаются к ним, не противоположны друг другу. Напротив, эти «средства», т. е. выборы ти т2, очевидно, независимы. Это противоречие характеризует проблему в целом.
до того, как игрок 2 сделает свой выбор т2, а затем игрок 2 делает свой выбор, зная, какое значение придал игрок 1 переменной т4 (т. е. ход пер вого игрока предшествует ходу второго)*). Очевидно, в этой игре Г4 игрок 1 находится в невыгодном положении по сравнению с его положением в исходной игре Г. Поэтому мы будем называть 1\ минорантной игрой, соответствующей игре Г.
Аналогично определим вторую игру Г2, которая также совпадает с Г во всех деталях, за исключением того, что теперь игрок 2 делает свой выбор т2 до того, как игрок 1 сделал свой выбор т4, и лишь затем игрок 1 совершает выбор, зная, какое значение придал игрок 2 переменной т2 (т. е. ход второго игрока предшествует ходу первого) 2). Очевидно, в этой игре Г2 игрок 1 находится в выгодном положении по сравнению с его положением в игре Г. Будем поэтому называть Г2 мажорантной игрой,, соответствующей игре Г.
Введением этих двух игр Г4, Г2 достигается следующее. Должно быть очевидно из общих соображений, а мы установим это также и путем строгих рассуждений, что для каждой из игр 1\ и Г2ясен «наилучший способ игры», т. е. ясна теория рационального поведения. С другой стороны, очевидно, что игра Г лежит «между» играми Г4 и Г2. Например, с точки зрения игрока 1, игра Г\ всегда менее, а игра Г2 всегда более выгодна, чем игра Г3). Таким образом, можно ожидать, что Г4 и Г2 описывают нижнюю и верхнюю границы для важнейших характеристик игры Г. Конечно, мы будем рассматривать все это совершенно строгим образом. Априори эти «границы» могут существенно отличаться друг от друга и оставлять значительную неопределенность для соответствующих характеристик игры Г. Действительно, на первый взгляд может показаться, что так обстоит дело для многих игр. Но, действуя этим методом и введя некоторые дополнительные операции, мы добьемся того, что получим в конце концов точную теорию для игры Г, которая полностью ответит на все вопросы.
14.3. Рассмотрение вспомогательных игр
14.3.1. Рассмотрим сначала минорантную игру Г4. После того как игрок 1 выберет т 4, игрок 2 выбирает т2, зная значение т4. Так как второй игрок желает минимизировать Ж (т4, т2), он, несомненно, выберет т2 так, чтобы сделать значение Ж (т4, т2) минимальным при данном т4. Другими словами, -когда игрок 1 выбирает определенное значение т4, он уже может предвидеть, каково будет значение Ж (т4, т2). Это будет min Ж (ti, т2) 4). Это функция только от т4. Поскольку игрок 1 хочет
максимизировать Ж (т4, т2) и так как его выбор т4 ведет к значению min Ж (Ti, т2), которое зависит только от т4 и совеем не зависит от т2\
. он выберет хх так, чтобы максимизировать min Ж (т1} т2). Таким образом,
х) Таким образом, игра Г4, хотя она и чрезвычайно проста, уже не является игрой в нормальной форме.
2) Таким образом, игра Г2, хотя она и чрезвычайно проста, уже не является игрой в нормальной форме.
3) Конечно, чтобы быть точными, мы должны говорить «не более» вместо «менее» и «не менее» вместо «более».
4) Отметим, что т2 не обязано определяться единственным образом: для данного rt функция Ж (т4, т2), как функция т2, может достигать своего минимума при нескольких значениях т2. Однако значение Ж (т4, т2) будет одним и тем же для всех этих т2, а именно единственно определяемым минимальным значением min Ж (т4, т2). (См. п. 13.2.1).