назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [ 34 ] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


34

вероятностей и в особенности понятия математического ожидания. Мы осуществили необходимые для этой цели построения в п. 11.2.3 *» 2).

Поэтому мы не будем больше интересоваться теми играми, в которых математическая задача состоит только в оценке роли случая, т. е. в вычислении вероятностей и математических ожиданий. Такие игры время от времени приводят к интересным упражнениям в теории вероятностей 3), но мы надеемся, что читатель согласится с тем, что они не принадлежат к теории игр в собственном смысле слова.

12.4. Ближайшая цель

12.4. Теперь мы приступим к анализу более сложных игр. Общая игра с одним игроком нами уже рассмотрена, и простейшей среди оставшихся является игра двух лиц с нулевой суммой. Поэтому перейдем к ее рассмотрению.

В дальнейшем нам представится выбор: иметь ли дело с общей игрой двух лиц или же с игрой трех лиц с нулевой суммой. Окажется, что наша методика изложения сделает необходимым рассмотрение в первую очередь именно игры трех лиц с нулевой суммой. После этого мы распространим теорию на игры п лиц с нулевой суммой (для всех п = 1, 2, 3, . . .), и только после этого нам будет удобно перейти к исследованию общих игр п лиц.

§ 13. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

13.1. Основные определения

13.1.1. Нашей ближайшей целью является, как это было упомянуто в п. 12.4, исчерпывающее рассмотрение игр двух лиц с нулевой суммой. Для того чтобы проделать это математически строго, необходимо использовать символику исчисления функций (или по крайней мере некоторой его части) более широко, чем мы это делали до сих пор. Нам понадобятся понятия функции, переменной, максимума и минимума, а также использование двух последних как функциональных операций. Все это потребует определенных объяснений и примеров, которые будут здесь приведены.

После того, как это будет сделано, мы докажем некоторые теоремы относительно максимумов, минимумов, а также некоторой их комбинации - седлового значения. Эти теоремы будут играть важную роль в теории игр двух лиц с нулевой суммой.

!) Мы, конечно, ни в коей мере не намерены уменьшать огромную важность этих открытий. Только благодаря их силе мы теперь в состоянии излагать эту сторону вопроса так сжато, как мы это делаем. Нас интересуют те аспекты проблемы, которые не поддаются исследованию при помощи одной лишь теории вероятностей; следовательно, наше внимание должны привлекать именно эти аспекты, а не те, которые уже удовлетворительно исследованы.

2) Относительно важности связи между использованием математического ожидания и понятием численной полезности, см. п. 3.7 и предшествующие ему рассуждения.

3) Некоторые игры, подобные рулетке, имеют еще более специфический характер. Ясно, что в рулетке математическое ожидание игроков отрицательно. Таким образом, мотивы участия в такого рода играх нельзя Понять, если идентифицировать денежные доходы с полезностями.



13.1.2. Функцией ф является зависимость, которая указывает, как некоторые объекты х, у, . . ., называемые аргументами ф, определяют объект и, называемый значением ср. Таким образом, и определяется через ф и через х, у, . . .; эту зависимость мы будем обозначать символическим равенством

u = q>(x,y,...).

В принципе необходимо различать саму функцию ф, которая является абстрактным объектом, выражающим только общую зависимость и = ф (х, у, . . .) от х, у, . . ., и ее значение ф (х, у, . . .) для любых конкретных х, у, . . . Однако при практическом использовании часто удобно писать ф (х, у, . . .), но с неопределенными х, у, . . ., вместо простого ф (см. приводимые ниже примеры (с) - (е); примеры (а), (Ь) записаны даже хуже; см. сноску 1 ниже).

Для того чтобы описать функцию ф, конечно, необходимо наряду с прочими вещами точно определить число переменных х, у, ... Так, существуют функции от одной переменной ф (х), функции от двух переменных ф (х, у) и т. д.

Несколько примеров:

(a) Арифметические операции х + 1 и х2 являются функциями от одной переменной *).

(b) Арифметические операции сложение и умножение х -f- у и ху являются функциями от двух переменных *).

(c) При любом фиксированном k (л) из п. 9.2.4 есть функция от одной переменной (от л). Но она может рассматриваться и как функция от двух переменных (от /сил).

(d) При любом фиксированном к 2а (х> и) из (И:А) в п. 11.1.3 есть функция от двух переменных (от х и D J 2).

(e) При любом фиксированном к (т4, . . ., %п) из п. 11.2.3 является функцией от п переменных (от т1? . . ., хп) *).

13.1.3. Для описания функции ф в равной мере необходимо точно определить, для каких конкретных наборов переменных х, у, ... вообще определено значение ф (х, у, . . .). Эти наборы, т. е. эти комбинации х7 у, . . ., образуют область определения ф.

Примеры (а) - (е) указывают на некоторые из большого числа возможностей для областей определения функций: они могут состоять из арифметических или аналитических объектов, так же как и из любых других. Действительно:

(a) Мы можем считать, что область определения состоит здесь из всех целых чисел или из всех вещественных чисел.

(b) Все пары каждого из двух типов чисел, упоминаемых в примере (а), образуют область определения в этом случае.

(c) Областью определения является множество Q всех объектов л, которые описывают партии игры Г (см. п. 9.1.1 и п. 9.2.4).

(d) Область определения состоит из пар, образованных целым положительным числом х и множеством DK.

(e) Область определения состоит из некоторых систем целых положительных чисел.

Функция ф называется арифметической функцией, если ее переменными являются целые положительные числа; она называется числовой

г) Хотя они записаны и не в канонической форме ср (х), ф (х, у).

2) Мы можем также принимать к в (d) и (е), равно как и А: в (с), за переменную.



функцией, если ее переменными являются вещественные числа; она называется функцией множеств, если ее переменными являются множества (как, например, в (d)).

В данный момент нас в основном интересуют арифметические и числовые функции.

Мы заканчиваем этот пункт замечанием, которое является естественным следствием нашей точки зрения на понятие функции. Оно состоит в том, что число переменных, область определения и зависимость значения функции от значений переменных составляют функцию как таковую, т. е. если две функции ср, я) имеют одни и те же переменные у, ... и одну и ту же область определения и если ф (х, у, . . .) = -ф (х, у, . . .) на всей этой области, то функции ф и я) тождественны во всех отношениях *).

13.2. Операции max и min

13.2.1. Рассмотрим функцию ф, значениями которой являются вещественные числа

ф(£, у, . ..).

Предположим сначала что ф является функцией одной переменной. Если можно выбрать значение х0 переменной х так, что ф (х0) ф (х) для всех других значений х, то мы говорим, что ф имеет максимум ф (х0) и достигает его при х = х0.

Заметим, что этот максимум ф (х0) определяется однозначно, т. е. максимум может достигаться при х = х0 для нескольких различных значений х0, но все они должны давать одно и то же значение ф (х0) а).

Мы будем обозначать это значение через шах ф (х) и называть максимальным значением ф (х).

Если мы заменим знак на знак fg, то получим понятие минимума Ф как значения ф (х0), где х0 - значение переменной, при котором ф достигает минимума. И в этом случае может быть несколько таких х0, но все они должны давать одно и то же значение ф (х0). Это значение обозначим через min ф (х) и назовем минимальным значением ф.

Отметим, что априори нельзя гарантировать существования ни max ф (х), ни min ф (х) 3).

Однако если область определения ф, т. е. область, в которой изменяется переменная х, состоит только из конечного числа элементов, то существование как max ф (х), так и min ф (х) очевидно. Фактически этот случай будет иметь место для большинства функций, которые нам придется рассматривать 4). Для остальных же функций это обстоятельство будет следствием их непрерывности и геометрической замкнутости

г) Понятие функции тесно связано с понятием множества, и все сказанное выше должно рассматриваться параллельно со сказанным в п. 8.2.

2) Доказательство. Рассмотрим два таких х0, скажем хч и х\. Тогда Ф (хо) Ш Ф (xq) и ф (хо) > ф (х0). Следовательно, ф (х0) = ф (arj).

3) Например, если ф (х) = х с областью определения, состоящей из всех вещественных чисел, то ни max ф (х), ни min ф (х) не существуют.

4) Типичные примеры: функции c7Ck (т4, т2, . . ., хп) из п. 11.2.3 (или из (е) в п. 13.1.2), &С (Tlf т2) из п. 14.1.1.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [ 34 ] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]