назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [ 33 ] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


33

строгой и окончательной форме была достигнута в результате наших манипуляций, начиная с п. 11.1.1, где был осуществлен переход от первоначальных ходов к стратегиям. Поскольку мы. теперь рассматриваем сами эти стратегии как ходы, в стратегиях более высокого порядка уже* нет нужды.

11.4. Смысл ограничения, касающегося нулевой суммы

11.4. Мы завершим эти рассмотрения, определив в нашей окончательной схеме место игр с нулевой суммой (см. п. 5.2.1).

То, что игра Г является игрой с нулевой суммой, означает в обозначениях п. 10.1.1, что

(11:3) S А(я) = 0

для всех л из й. Если перейти от Ja (я) к §k (т0, т4, ..., тп) в смысле п. 11.2.2, то это выражение перейдет в

(11:4) 2 £а(т0, т4, м.,тп)=0

для всех т0, т4, ..., тл. Если окончательно ввести &Съ (т4, . •., тп) в смысла п. 11.2.3, то мы получим

(11:5) 2 *(Ti, .... т„) = 0

для всех т4, .. ., тд.

Наоборот, ясно, что условие (11:5) делает игру Г, которую мы определили в п. 11.2.3, игрой с нулевой суммой.



Глава III

ИГРЫ ДВУХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ.

ТЕОРИЯ

§ 12. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ОБЗОР 12.1. Общие соображения

12.1.1. В предыдущей главе мы пришли к исчерпывающей формальной характеристике общей игры п лиц (см. п. 10.1). Разработав точное понятие стратегии, мы, как это было показано, получили возможность заменить довольно сложную общую схему игры эквивалентной ей гораздо более простой частной схемой (см. п. 11.2). В дальнейшем мы будем пользоваться иногда одной формой, а иногда - другой, как нам будет удобно. Поэтому желательно дать этим формам конкретные названия. Мы будем их называть соответственно позиционной и нормальной формами игры.

Так как эти две формы эквивалентны, в нашей власти пользоваться в каждом конкретном случае той из них, которая технически более удобна. Мы действительно будем широко пользоваться такой возможностью и поэтому должны еще раз подчеркнуть, что это ничуть не затрагивает строгой обоснованности всех наших рассуждений.

Фактически нормальная форма более удобна для вывода общих теорем, в то время как позиционная форма более предпочтительна при анализе конкретных случаев; иными словами, нормальную форму выгодно использовать для установления свойств, общих всем играм, в то время как позиционная форма выявляет характерные различия игр и важнее структурные свойства, которые определяют эти различия (см. для первой формы § 14, § 17, а для второй, например, § 15).

12.1.2. Поскольку формальное описание всех игр завершено, мы должны перейти к построению содержательной теории. Естественно ожидать, что систематическим методом для этой цели будет переход от простых игр к более сложным. Поэтому желательно упорядочить все игры по степени их сложности.

Мы уже классифицировали игры по числу их участников (при этом игры с п участниками назывались играми п лиц), а также по тому, являлись ли они играми с нулевой суммой или нет. Поэтому мы должны различать игры п лиц с нулевой суммой, с одной стороны, и общие игры п лиц - с другой. Далее будет показано, что общая игра п лиц тесно связана с игрой п + 1 лица с нулевой суммой: фактически теория первых будет получена как частный случай теории последних (см. п. 56.2.2.).

12.2. Игра с одним игроком

12.2.1. Мы начнем с нескольких замечаний, касающихся игры с одним игроком. В нормальной форме эта игра состоит в выборе числа т = 1, . . ., р, после чего первый (и единственный) игрок получает Ж (т) х). Очевидно, что случай игры с нулевой суммой с одним игроком бессодержателен2) и по поводу него сказать нечего. Общий случай

*) См. (ll:D:a), (ll:D:b) в конце п. 11.2.3. Мы опускаем здесь индекс 1. 2) В этом случае &С (х) = 0; см. п. 11.4.



соответствует общей функции Sf(r), и «лучший», или «рациональный», способ действия, т. е. поведения в игре, очевидно, состоит в следующем: первый игрок должен выбрать т= 1, . . 3 так, чтобы максимизировать Ж(%).

Это крайнее упрощение игры с одним игроком, конечно, обусловливается тем, что наша переменная т представляет не выбор (в ходе), а стратегию игрока, т. е. выражает полную его «теоршр» относительно поведения во всех мыслимых ситуациях, которые могут встретиться в развитии игры. Необходимо помнить, что даже игра с одним игроком может иметь очень сложную структуру: она может содержать случайные ходы, так же как и ходы (единственного) игрока, каждый из которых может иметь большое число альтернатив, а объем информации, имеющейся в распоряжении игрока при каждом конкретном ходе, может изменяться любым предписанным способом.

12.2.2. Многочисленные хорошие примеры большого числа сложностей и тонкостей, которые могут возникнуть на этом пути, даются различными играми типа пасьянса или солитера. Однако существует важная возможность, которая, насколько нам известно, не отражается обычными играми с одним игроком. Это касается случая неполной информации, т. е. неэквивалентности предшествования и предварения ходов отдельного игрока (см. п. 6.4). Для того чтобы эквивалентность отсутствовала, необходимо, чтобы у игрока были два собственных хода оМ% и оМ, ни в одном из которых он не был бы информирован "о результатах выбора в другом. Такого состояния отсутствия информации достичь нелегко, но мы обсуждали в п. 6.4.2, как это можно осуществить путем «расщепления» игрока на два или более лица с идентичными интересами и несовершенными средствами общения между ними. Мы видели, в соответствующем месте, что бридж дает нам пример такого явления в игре двух лиц. Нетрудно построить аналогичную игру и для одного лица, но, к сожалению, известные виды «солитеров» таковыми *) не являются.

Тем не менее эта возможность имеет практическое значение для некоторых экономических ситуаций.

12.2.3. Проведенные рассуждения показывают также ограниченность чисто максимизационного подхода, т. е. подхода в духе «Робинзона Крузо». Для того чтобы получить задачу максимизации, необходимо было включить всю схему распределения в число правил игры, которые являются абсолютными, неприкосновенными и не подлежащими критике. Для того чтобы перенести распределение в сферу столкновений и конкуренции, т. е. стратегии игры, необходимо рассмотреть игры п лиц с п 2 и в связи с этим пожертвовать простым максимизационным аспектом проблемы.

12.3. Случай и вероятность

12.3. Прежде чем продвигаться далее, мы хотим упомянуть, что обширная литература по «математическим играм», которые были развиты в основном в XVIII и XIX столетиях, имела дело преимущественно с тем аспектом теории, который является для нас уже пройденным этапом. Этим аспектом являлась оценка влияния случая. Конечно, это стало возможным в результате разработки и надлежащего применения теории

*) Существующие двойные солитеры являются конкурентными играми между двумя участниками, т. е. играми двух лиц.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [ 33 ] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]