Так как исход выбора посредника зависит от случая, должны быть указаны соответствующие вероятности. Теперь выбор посредника является системой независимых случайных событий. Как указывалось в п. 11.1.2, такое случайное событие имеется для любого х = 1, . . ., v и для любого А у из Л у, являющегося подмножеством By (0), т. е. дд1 любой пары х, А у из области определения 20 (и; А у). Что касается этого события, вероятность конкретного исхода 20 (и; A J = Су равна ру (Су). Следовательно, вероятность всего выбора посредника, представляемого функцией 2 о (и; А у), равна произведению отдельных вероятностей
Выскажем это формально:
(11:С) Вероятность выбора посредника, представляемого функцией
2 о (и; 4и)» равна произведению вероятностей Ру(Су), где 2 о (и; А у) = Су, а х и А у пробегают всю область определения 2 о (и; А у) (см. (11:В)).
Если рассмотреть условия (10:1:е) из п. 10.1.1 для всех таких пар *х, А у и перемножить их, то получится следующее. Все указанные в (11:С) вероятности неотрицательны, и их сумма, взятая по всем выборам посредника, равна единице. Так оно и должно быть, ибо совокупность всех выборов посредника представляет собой систему дизъюнктных исчерпывающих альтернатив.
11.2. Окончательное упрощение описания игры
11.2.1. Если каждым игроком k = 1, . . ., п принята определенная стратегия и если указан определенный выбор посредника, то эти объекты единственным образом определяют все развитие партии и соответственно ее исход для каждого игрока. Это должно быть ясно из словесного описания всех этих понятий, однако можно дать и простое формальное доказательство.
Обозначим рассматриваемые стратегии через 2fe (х; Dy), к = = 1, . . ., и, а выбор посредника - через 20 (и; А у). Мы будем определять фактическую информацию посредника во все моменты х = 1, . . . . . ., v, v + 1. Чтобы не смешивать ее с переменной А у, мы будем обозначать ее через А у. Разумеется, At равно самому Q (см. (10:1 :f) из п. 10.1.1).
Рассмотрим теперь некоторое х = 1, . . ., v и предположим, что соответствующее А у уже известно. Тогда А у является подмножеством в точности одного By (к), к = 0, 1, . . ., п (см. (10:1:а) из п. 10.1.1). Если А: = 0, то оМу является случайным ходом, так что исходом выбора будет 20 (и; Ау). Соответственно 4х+1==20(х; Ау) (см. (10:l:h) из п. 10.1.1 и детали в п. 9.2.2). Если к = 1, . . ., п, то оМу является личным ходом игрока к. А у является подмножеством ровно одного By из 3)у (к) (см. (10:l:d) из п. 10.1.1). Тем самым исход выбора есть 2ft (х; Dy). Соответственно Ау+1 = А у (] 2А (х; Dy) (см. (10:l:h) из п. 10.1.1 Jh детали в п. 9.2.2).
Таким образом* мы последовательно определяем по индукции Аи А2, А3, . . Av, Ay+i. Но Av+i представляет собой одноэлементное
г) Рассматриваемые случайные события должны считаться независимыми»
множество (см. (10:l:g) из п. 10.1.1); обозначим его единственный элемент через л.
Это л представляет собой фактически имевшую место партию *). Следовательно, для игрока к = 1, . . ., п исходом этой партии будет
&к (я).
11.2.2. Тот факт, что стратегии всех игроков и выбор посредника определяют в совокупности фактическую партию - и тем самым ее исход для каждого игрока,- открывает возможность нового и значительно более простого описания игры Г.
Рассмотрим данного игрока к (= 1, . . ., п) и множество всех его возможных стратегий 2ft (х; Dy); для краткости будем обозначать его через 2k. Число стратегий, будучи чудовищным, очевидно, все же является конечным. Обозначим его через pft, а сами стратегии - через 2, ...
• • -
Образуем аналогично все возможные выборы посредника 20 (и; А у) или, для краткости, 20. Их число снова будет конечным. Обозначим его через р0, а сами выборы - через 2J, . . ., .2{*°. Обозначим вероятности этих выборов соответственно через р1, . . ., р$о (см. (11:С) из п. 11.1.3). Все эти вероятности неотрицательны, и их сумма равна единице (см. конец п. 11.1.3).
Фиксированный выбор всех стратегий и выборов посредника, скажем 2, соответственно для к = 1, . . ., п и для к = 0, где
тА= 1, . . ., рА, А = 0, 1, . . ., гг,
определяет партию л (см. конец п. 11.2.1) и ее исход Лрк (я) для каждого игрока &=1, п. Положим
(11:1) а(л) = а(т0, т4, ..., тл), к=1, п.
Вся партия состоит теперь из выбора каждым игроком к своей стратегии 2£fe, т. е. числа xk = 1, . . ., pft, и из случайного выбора посредника т0 = 1, . . ., Ро соответственно с вероятностями р1, . . ., р&°-
Игрок к должен выбирать свою стратегию, т. е. свое Tft, без какой-либо информации относительно выборов других игроков или относительно случайных событий (выбора посредника). Это должно быть так, поскольку вся информация, которой он может в какой-либо момент располагать, заключена уже в его стратегии 2ft = 2ft, т. е. в функции 2Д = 2fe (х; Dy). (См. рассуждения в п. 11.1.1.) Даже если он имеет определенное мнение по поводу того, какими, вероятно, будут стратегии других игроков,, то и оно должно уже содержаться в функции 2ft (х; Dy).
11.2.3. Все это, однако, означает, что мы вернули игру Г к ее простейшему описанию в рамках наиболее простых исходных положений, развитых в пп. 6.2.1-6.3.1. Мы имеем п -f- 1 ходов - один случайный ход и один личный ход для каждого из игроков к = 1, . . ., п\ каждый ход имеет фиксированное число альтернатив: (30 для случайного хода и Pi? • • •» Ьп Для личных ходов; каждый игрок должен сделать свой
*) Это индуктивное определение А±, А2, А г, . . ., Av, A v+i является лишь математическим воспроизведением фактического течения партии. Читатель может проверите параллели проделанных здесь шагов.
выбор, не располагая абсолютно никакой информацией об исходе всех других выборов *).
Теперь мы можем избавиться даже от случайного хода. Если выборы игроков уже произведены, причем каждый игрок к выбрал свое тА, то влияние случайного хода сводится к следующему. Исход партии для игрока к может быть любым из чисел
3k (t(b Tl> • • • » То = 1, ..., Ро
•соответственно с вероятностями р1, р&°. Следовательно, математическое ожидание исхода равно
<11:2) Жк (т4, .. ., тд) = 2 Рх°8к (т0, т41 ..., тя).
т0=1
Суждения игрока должны направляться единственно этим математическим ожиданием, так как различные ходы и, в частности, случайный ход никак не связаны друг с другом 2). Таким образом, единственными ходами, имеющими существенное значение, оказываются п личных ходов игроков к = 1, . . ., п.
Поэтому окончательная формулировка будет такой:
{11:D) Игра п лиц Г, т. е. полная система ее правил, задается указанием следующих данных:
«(ll:D:a) Чисел рА для каждого к = 1, . . ., п.
<ll:D:b) Функций &Ск- Жк (т4, . . ., %п) для каждого к=1, . . ., и, причем %] = 1, . . ., р7- (/ ==1, . . ., п).
Развитие партии игры Г заключается в следующем: Каждый игрок к выбирает число %k = 1, . . ., Каждый игрок должен произвести свой выбор, не зная абсолютно ничего о выборах других. После совершения всех выборов они сообщаются посреднику, который определяет, что исход партии для игрока к есть &Ск (т4, . . ., тд).
11.3. Роль стратегий в упрощенной форме игры
11.3. Отметим, что в построенной схеме не остается места для каких *бы то ни было других «стратегий». Каждый игрок имеет один и только один ход; он должен его сделать, будучи в абсолютном неведении относительно чего-либо другого3). Эта полная кристаллизация проблемы в такой
х) Благодаря полной несвязанности п-\-1 ходов порядок, в котором они указываются, не играет никакой роли.
2) Мы имеем право на использование неизменного понятия математического ожидания, поскольку, как подчеркивалось в конце п. 5.2.2, мы вполне удовлетворены упрощенным понятием полезности. Это, в частности, исключает все те более сложные понятия «ожидания», которые в действительности являются попытками улучшить это наивное понятие полезности. Упомянем, например, «моральное ожидание» Д. Бер-нулли в «Петербургском парадоксе».
3) Вернемся к определению стратегии, данному в п. 11.1.1. В этой игре игрок .к имеет один и только один личный ход независимо от течения партии - ход cMk. Он должен произвести свой выбор при ходе оМк с нулевой информацией. Таким образом, его стратегия является попросту определенным выбором для хода оМк - не больше и не меньше; иначе говоря, это есть в точности хк = 1, . . .,
Описание этой игры в терминах разбиений и сравнение изложенного выше с фор-шальным описанием стратегии в (11 :А) из п. 11.1.3 мы предоставляем читателю.