назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [ 31 ] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


31

& = 1, . . ., п, а для к = 0 это сразу следует из (10:1:Ь) п. 10.1.1. Теперь (10:l:h) из п. 10.1.1 позволяет вывести отсюда (за деталями мы отсылаем к п. 9.2.2), что Ау+ч совпадает с %у (к) на ВК (к) для к = 0, 1, . . ., п. (Мы могли бы равным образом использовать соответствующие формулировки со звездочками из п. 10.1.2, разъясняющие смысл этих понятий. Словесное выражение этих рассуждений мы предоставляем

Рис. 10.

читателю.) Но %у (к) представляет собой разбиение в By (к); следовательно, приведенное выше утверждение означает, что %у (к) является попросту той частью которая лежит в В% (к).

Переформулируем сказанное:

(10:С) Если выполнено условие (10:В), то %у (к) является той частью

Ay+i, которая лежит в ВК (к).

Таким образом, если предварение и предшествование совпадают, то в нашей теперешней формализации последовательность А±, . . . . . ., Ач+i и множества By (к), к = 0, 1, . . ., п, для каждого х = 1, . . ., v описывают игру полностью. Иначе говоря, картинку, изображенную на рис. 9 из п. 8.3.2, следует дополнить лишь объединением тех элементов каждого А%, которые принадлежат одному и тому же множеству By (к). (См., однако, замечания, сделанные в п. 10.4.1.) Мы можем сделать это, обведя их линией, в разрыве которой будет стоять число к из By (к). Пустые ВК (к) можно опустить. Пример этого для v = 5 и п = 3 изображен на рис. 10.

Во многих играх этого класса даже и такой дополнительный прием не является необходимым, так как для каждого х непустым оказывается только одно By (к). Это значит, что характер каждого хода оМу не зависит от предыдущего развития партии х). В этом случае достаточно указать при каждом А у характер хода Л у, т. е. единственное к = 0/ 1, . . ., nf для которого By (к) Ф 0.

*) Это справедливо для шахмат. Правила трик-трака допускают как ту, так и другую интерпретацию.



§ 11. СТРАТЕГИИ И ОКОНЧАТЕЛЬНОЕ УПРОЩЕНИЕ ОПИСАНИЯ ИГРЫ

11.1. Понятие стратегии и его формализация

11.1.1. Вернемся к развитию фактической партии л игры Г.

Ходы оМ% следуют друг за другом в порядке к = 1, . . v. На каждом ходе оМу производится выбор, либо случайный - если партия находится в By (0),- либо выбор игрока k = 1, . . ., п - если партия находится в By (к). Выбор состоит в фиксации некоторого Су из %у (к) (как указывалось выше, к = 0 или к=1, . . ., я), которое и является очередном ограничением партии. Если выбор производится игроком к, то следует принять меры предосторожности с тем, чтобы информационная схема этого игрока была бы в этот момент именно 3)у (к). (Как показывают примеры бриджа (см. конец п. 6.4.2) и «закрытых шахмат» (см. п. 9.2.3), это может доставлять известные практические затруднения.)

Представим себе теперь, что каждый игрок к = 1, . . ., п вместо того, чтобы принимать каждое решение по мере того, как в этом возникает необходимость, заранее принимает решение на все возможные случаи. Иначе говоря, игрок начиная партию, уже имеет исчерпывающий план, указывающий, какие выборы он будет совершать в любой возможной ситуации и для любой возможной фактической информации, которой он в этот момент сможет располагать в соответствии с информационной схемой, предусматриваемой для него правилами игры в этом случае. Мы назовем такой план стратегией.

Отметим следующее обстоятельство. Если мы требуем, чтобы каждый игрок начинал игру с исчерпывающим планом такого рода, т. е. с некоторой стратегией, то мы никоим образом не ограничиваем его свободы действий. В частности, мы тем самым не заставляем его принимать решения на основе меньшей информации, чем та, которая была бы ему доступна в любом практическом случае в фактической партии. Дело здесь в следующем. Мы предполагаем, что стратегия определяет каждое конкретное решение только как функцию именно того объема фактической информации, которая была бы доступна для этой цели в фактической партии. Единственным дополнительным бременем, которое возлагает на игроков» наше предположение, является интеллектуальная нагрузка: игрокам следует запастись правилами поведения на все возможные случаи, хотя в действительности им предстоит пройти только через одну партию. Но в рамках математического исследования такое предположение выглядит вполне безобидно (см. также п. 4.1.2).

11.1.2. Случайную компоненту игры можно рассмотреть точно такими же образом.

В самом деле, представляется достаточно очевидным, что вовсе не обязательно производить выборы, которые предоставляются случаю (т. е. выборы при случайных ходах), только тогда, когда до этих ходов доходит дело. Все эти выборы мог бы заранее произвести некоторый посредник, сообщая затем их результаты игрокам в те моменты и в той мере, в какой правила игры предусматривают подобную информацию.

Правда, посредник не может заранее знать, какие ходы окажутся случайными и с какими вероятностями; это будет, вообще говоря, зависеть от фактического развития партии. Но, как и в рассмотренных выше стратегиях, он мог бы предусмотреть все возможные случаи. Он мог бы заранее решить, каким должен быть исход выбора при любом возможном



случайном ходе, для любого возможного предшествующего развития партии, т. е. для любой возможной фактической информационной схемы посредника при рассматриваемом ходе. В этих условиях вероятности, предписываемые правилами игры для каждой из указанных возможностей, были бы полностью определены, так что посредник мог бы связать с каждым из нужных выборов, которые должны регулироваться случаем, соответствующие им вероятности.

После этого посредник мог бы, как об этом говорилось выше, оповещать игроков об исходах в надлежащие моменты и в надлежащей мере.

Такое предварительное решение относительно выборов при всех мыслимых случайных ходах мы назовем выбором посредника.

В последнем пункте мы видели, что замена выборов при всех личных ходах игрока к на стратегию игрока к вполне законна; иначе говоря, она не меняет общего характера игры Г. Очевидно, проводимая нами теперь замена выборов при всех случайных ходах на выбор посредника является законной в том же самом смысле.

11.1.3. Нам остается формализовать понятия стратегии и выбора посредника. Качественное обсуждение, проведенное в последних двух пунктах, делает эту задачу совершенно недвусмысленной.

Стратегия игрока к производит следующее. Рассмотрим некоторый ход оЖК. Предположим, что он оказался личным ходом игрока к, т. е. что партия находится в пределах В% (к). Рассмотрим возможную фактическую информацию игрока к в этот момент, т. е. некоторое из 2)и (к). Тогда стратегия, о которой идет речь, должна определять его выбор в сложившейся обстановке, т. е. некоторое Су из Су (к), являющееся подмножеством указанного Dy.

Выскажем это формально:

{11:А) Стратегия игрока к есть функция 2Д (х; Dy), которая определена для любого х = 1, . . ., v и для любого Dy из Dy (к) и значение которой 2ft (х; Dy) = Су всегда обладает следующими свойствами: Су принадлежит %у (к) и является подмножеством Dy.

То, что стратегии, т. е. функции 2А (х; Dy), удовлетворяющие написанному требованию, вообще существуют, в точности совпадает с нашим постулатом (10:1:j) из п. 10.1.1.

Выбор посредника производится так. Рассмотрим некоторый ход оМу. Предположим, что он оказался случайным ходом, т. е. что партия находится в By (0). Рассмотрим возможную фактическую информацию посредника в этот момент, т. е. некоторое АуШ Л у, являющееся подмножеством By (0). Тогда рассматриваемый выбор посредника должен определить случайный выбор в этих обстоятельствах, т. е. некоторое Су из у (0), являющееся подмножеством указанного А у.

Формулируем:

(11:В) Выбор посредника есть функция 20(х; Ау), которая определена

для любого х = 1, v и для любого Ау из Лу, являющегося подмножеством Вк(0), и значение которой 20 (; Ау) = Су всегда обладает следующими свойствами: Су принадлежит %у (0) и является подмножеством Ау.

По поводу существования выбора посредника, т. е. функции И0 (х; А у), удовлетворяющей указанному требованию, см. замечание, сделанное выше после (11:А), и сноску 2 на стр. 96.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [ 31 ] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]