назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [ 30 ] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


30

(10:A:f*) %у (к) есть схема выбора: Су из %у (к) представляет собой фактический выбор игрока к при ходе <М% (при к = 0 - случайный выбор).

(10:A:g*) Зу (к) есть информационная схема игрока k: Dy из Зу (к) представляет собой фактическую информацию игрока к при ходе вЖК.

(10:A:h*) рК (Су) есть вероятность фактического выбора Су при ходе оМу, если он является случайным.

Теперь с помощью введенных наименований мы поясним «смысл» требований (10:1 :а) - (10:1 :j) в духе заключительных замечаний из п. 10.1.1.

(10:1:а*) Информационная схема посредника при ходе оМу содержит распределение этого хода.

(10:1:Ь*) Схема выбора при случайном ходе Л у содержит информационную схему посредника при этом ходе.

(10:1:с*) Схема выбора при личном ходе o/fiy игрока к содержит информационную схему игрока к при этом ходе.

(10:l:d*) Информационная схема посредника при ходе о/Яу содержит - в той мере, в какой этот ход является личным ходом игрока к,- информационную схему игрока при этом ходе.

(10:1:е*) Вероятности выбора различных альтернатив при случайном ходе оМу ведут себя как вероятности, соответствующие дизъюнктным исчерпывающим альтернативам.

(10:l:f*) Информационная схема посредника при первом ходе пуста.

(10:l:g*) Информационная схема посредника в конце игры определяет партию полностью.

(10:1 :h*) Информационная схема посредника при ходе (в конце

игры для х = v) получается из его информационной схемы при ходе (My путем ее суперпозиции со схемой выбора при ходес.

(10:l:i*) Пусть дан ход оМу, являющийся личным ходом игрока к, а также задана любая фактическая информация игрока к при этом ходе. Тогда любая фактическая информация посредника при этом ходе и любой фактический выбор игрока к при этом ходе, которые принадлежат этой фактической информации игрока (т. е. являются ее размельчениями), также будут совместимыми друг с другом. Иначе говоря, они имеют место в фактических партиях.

(10:1:j*) Пусть дан ход оМу, являющийся личным ходом игрока

а также задана любая фактическая информация игрока к при этом ходе. Тогда число фактических альтернативных выборов, имеющихся в распоряжении игрока к, отлично от нуля.

Этим наша формализация общей схемы игры заканчивается 10.2. Логическое обсуждение аксиом

10.2. Мы еще не рассматривали вопросов, которые в формальной логике обычно связываются с любой аксиоматической системой, именно непротиворечивость, категоричность (полнота) и независимость аксиом х).

г) См. Д. Гильберт, Основания геометрии (цитир. ранее).



*) В этом заключается важная характеристическая черта общего логического подхода к аксиоматизации. Так, аксиомы евклидовой геометрии определяют единственный объект, а аксиомы теории групп в математике или рациональной механики в физике-не определяют, так как существует много различных групп и много различных механических систем.

Наша система обладает первым и последним из названных свойств, но не обладает вторым. Эти факты легко проверяются, причем нетрудно видеть, что ситуация в точности такова, какой ей следовало бы быть. Резюмируем относящиеся к этому соображения.

Непротиворечивость. В реальном существовании игр не может быть никаких сомнений; мы же попросту дали их точное формальное описание. В дальнейшем мы подробно рассмотрим формализацию нескольких игр; см., например, примеры из §§ 18, 19. Со строго математической, логической точки зрения для установления непротиворечивости можно использовать даже самые простые игры. Но, разумеется, наши реальные интересы лежат в области более сложных игр, которые представляют действительный интерес.

Замечание. Самая простая игра состоит в следующем: v = 0, afi состоит только из одного элемента, скажем я0. Следовательно, никаких (к), %х (к) и<2 (к) здесь вообще нет, а единственным К является Jt состоящее из одного Q. Положим (по) - 0, к = 1, . . ., п. Описание этой игры очевидно: никто ничего не делает, и ничего не происходит. Это показывает также, что в данном случае непротиворечивость не является особенно интересным вопросом.

Категоричность (полнота) здесь не имеет места, поскольку существует много различных игр, удовлетворяющих этим аксиомам. Ссылки на содержательные примеры указаны выше.

Читатель может заметить, что в этом случае мы и не добивались полноты, так как наши аксиомы должны определять целый класс объектов (игр), а не единственный объект х).

Независимость нашей системы аксиом может быть легко установлена, но мы здесь не будем этим заниматься.

10.3. Общие замечания относительно аксиом

10.3. В связи с приведенной аксиоматизацией стоит сделать еще два замечания.

Во-первых, наш подход следует классическим путям получения точной формулировки для интуитивно, эмпирически заданных идей. В повседневной практике существует практически удовлетворительное понятие игры, являющееся тем не менее слишком неопределенным для точного рассмотрения. Читатель, следивший за нашими рассуждениями, должен был заметить, как постепенно эта неопределенность устранялась, «зона сумерек» отступала и шаг за шагом складывалась точная формулировка.

Во-вторых, мы надеемся, что это может послужить примером реализации следующего широко дискутировавшегося предложения: возможно математическое описание и изучение человеческих действий, в которых основной акцент лежит в психологической области. В нашем случае психологический элемент был привнесен необходимостью анализировать решения, информацию, на базе которой они принимаются, и взаимосвязь таких комплексов информации (на различных ходах) друг с другом. Эта взаимосвязь происходит из связи различных комплексов информации во времени, причинности, а также в силу умозрительных предположений, делаемых игроками друг относительно друга.



Разумеется, существует еще много - и притом весьма важных - психологических аспектов, которых мы здесь не касались. Тем не менее «факт остается фактом: группа явлений, носящих в основном психологический характер, аксиоматизирована.

10.4. Графическое представление

10.4.1. Графическое представление многочисленных разбиений, которые нам пришлось использовать для описания игры, является нелегким делом. Мы не будем пытаться рассматривать этот вопрос систематически: даже сравнительно простые игры приводят к столь сложным и отпугивающим диаграммам, что обычные преимущества графического метода уже не могут проявиться.

Однако графическое представление имеет некоторые, хотя и ограниченные, возможности, и мы скажем о них несколько слов.

В первую очередь, из (10:l:h) п. 10.1.1 (или, равным образом, если судить по смыслу, из (10:l:h*) п. 10.1.2) ясно, что Ay+i является подразбиением Ау. Иначе говоря, каждое из разбиений в последовательности, . . ., Av, Av+i является подразбиением своего непосредственного предшественника. Следовательно, все это можно изобразить при помощи приема, изображенного на рис. 9 из п. 8.3.2, т. е. посредством дерева. (Рис. 9 не является характерным с одной точки зрения: так как длина игры Г предполагается фиксированной, все ветви этого дерева должны быть продолжены на полную высоту. См. приводимый в п. 10.4.2 рис. 10.) Мы не будем пытаться добавить к этой картинке By, %у (к), 33 у (к).

Существует, однако, один класс игр, в которых последовательность Jbi, . . Ач, Av+t уже описывает практически всю историю. Это важный класс (он уже обсуждался в п. 6.4.1, а более подробно о нем будет сказано в § 15), в котором предварение и предшествование эквивалентны. Его характеристики могут быть просто выражены в рамках выполняемой нами формализации.

10.4.2. Как показывают обсуждения в пп. 6.4.1, 6.4.2 и интерпретация в п. 6.4.3, предварение и предшествование эквивалентны в том й только в том случае, когда игрок, совершающий личный ход, знает в этот момент всю предыдущую историю партии. Пусть этот игрок есть к, а ход - о/Ну. Утверждение о том, что оМу представляет собой личный ход игрока к, означает, что мы находимся в пределах множества By (к). Следовательно, утверждение заключается в том, что на By (к) информационная схема игрока к совпадает с информационной схемой посредника, т. е. что 3)и (к) равно А у на В у (к). Но 33 у (к) является разбиением в By (к); следовательно, приведенное выше утверждение означает, что ЗЗу (к) является попросту той частью Ау, которая лежит в By (к).

Переформулируем сказанное

{10:В) Предварение и предшествование совпадают, т. е. каждый игрок, совершающий свой личный ход, полностью информирован в этот момент обо всей предшествующей истории партии, в том и только в том случае, когда ЗЗу (к) является.той частью Ау, которая лежит в By (к).

Если это имеет место, то мы можем рассуждать следующим образом. В силу (10:1:с) из п. 10.1.1 и сказанного выше, х (к) должно теперь быть подразбиением Ау. Это справедливо для личных ходов, т. е. для

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [ 30 ] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]