назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [ 29 ] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


29

г) В старой терминологии мы имели соответственно £Fk = 3Fk (сг1? . . ., av> (см. п. 6.2.2).

фактически в положении из А у (некоторого подмножества Dy), делает при ходе о/%% выбор Су так, чтобы ограничить положение дел множеством Су.

Так как этот выбор, в соответствии со сказанным выше, возможен, такие партии существуют. Иначе говоря, множество А у П Су должно быть непустым. Переформулируем это утверждение:

(9:С) Если А у из Л у и Су из %у (к) являются подмножествами

одного и того же Dy из 3)% (к), то пересечение А% {\ Су должно быть непустым.

9.2.3. Существуют игры, в которых можно поддаться искушению отбросить это требование. Это те игры, в которых игрок может сделать вполне законный выбор, который, однако, впоследствии оказывается запрещенным. Таковы, например, «закрытые шахматы», упоминавшиеся в сноске 1 на стр. 84: в них игрок может сделать на первый взгляд возможный выбор («ход») на своей доске и (возможно) лишь после этого узнает от «посредника», что этот выбор является «невозможным».

Этот пример, однако, является незаконным. Рассматриваемый ход лучше всего разложить в последовательность нескольких альтернативных ходов. По-видимому, лучше всего привести предполагаемые правила «закрытых шахмат» полностью.

Игра состоит из последовательности ходов. На каждом ходе «посредник» объявляет обоим игрокам о том, был ли предыдущий ход «возможным». Если он таковым не был, то следующий ход будет личным ходом того же игрока, что и предыдущий; если же он был возможным, то следующий ход будет личным ходом другого игрока. На каждом ходе игрок информирован обо всех своих предшествующих выборах, о всей последовательности «возможностей» или «невозможностей» всех предшествующих выборов обоих игроков, а также обо всех предшествовавших позициях, когда один из игроков объявлял шах или брал какую-либо фигуру. Но он знает точный состав только собственных потерь. При определении развития игры «посредник» не принимает во внимание «невозможные» ходы. В остальном игра разыгрывается по тем же правилам, что и шахматы, причем применяется правило остановки, описанное в замечании 1 на стр. 85, дополненное еще одним требованием: и один из игроков не может делать («испытывать») один и тот же выбор дважды в непрерывающейся последовательности своих личных ходов. (На практике, разумеется, для обеспечения этих условий, налагаемых на информацию, каждый игрок нуждается в отдельной шахматной доске, невидимой для его оппонента, но находящейся в поле зрения «посредника».)

Во всяком случае, мы будем придерживаться сформулированного выше требования. Мы увидим, что оно весьма удобно для наших последующих рассмотрений (см. п. 11.2.1).

9.2.4. Теперь нам остается сделать только одно: ввести в нашей новой терминологии величины к = 1, . . ., п, из п. 6.2.2. JF представляет собой исход партии для игрока к. k должно быть функцией от фактически имевшей место партии х). Если для обозначения этой партии использовать символ л, то мы можем сказать: JFh является функцией переменной л с областью изменения Q, т. е.

ft-.fftW, Л=1, .... и.



) За пояснениями отсылаем читателя к концу п. 10.1.1 и к обсуждению в п.10.1.2.

§ 10. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА

* 10.1. Аксиомы и их интерпретация

10.1.1. Наше описание общего понятия игры новыми средствами, с использованием множеств и разбиений, теперь закончено. Все построения и определения уже были в достаточной мере объяснены, и поэтому мы можем перейти к строгому аксиоматическому определению игры. Разумеется, оно будет представлять собой лишь сжатую переформулировку идей, которые мы более широко обсуждали в предыдущих параграфах.

Сначала мы сформулируем точное определение без каких-либо комментариев

Игра п лиц Г, т. е. полная система ее правил, определена, если указаны следующие данные:

(10:А:а) Число v.

(10:A:b) Конечное множество Q.

(10:А:с) Функция 3h = Fh (я), я £ Q, к = 1, . . п.

(10:A:d) Разбиение Лу в Q, х = 1, . . ., v, v + 1.

(10:А:е) Разбиение 98х в Q, х = 1, v. 98у состоит из п + 1

множеств В у (к), к = 0, 1, . . ., п, занумерованных таким образом.

(10:A:f) Разбиение %у (к) в By (к), х = 1, . . ., v, к = 0, 1, . . ., п.

(10:A:g) Разбиение 3)у (к) в By (к), х = 1, . . ., v, к = 1, . . ., п.

(10:A:h) Число ру (Су), заданное для любого Су из %у (0), х = 1, . . . . . ., V.

Перечисленные объекты должны удовлетворять следующим требованиям:

(10:1:а) Лу является подразбиением у.

(10:1 :Ь) %у (0) является подразбиением Л у.

(10:1:с) %у (к) является подразбиением 3)у (к), к = 1, . . ., п)\

(10:l:d) На By (к) разбиение Л у является подразбиением 3)у (к), к = 1, . . ., п.

(10:1:е) Для всех х = 1, . . ., v и для любого А у из Л у, являющегося подмножеством By (0), справедливо следующее условие. Для всех Су из %у (0), которые являются подмножествами этого А у, числа ру (Су) неотрицательны и 2 Рх, (и) = 1, где сумма распространена на эти подмножества.

(10:1 :f) Ci состоит из одного множества Q.

(10:1 :g) Лч+i состоит из одноэлементных множеств.

{10:1 :h) Лу+i получается из Л у путем его суперпозиции со всеми *ёу (к), к = 0, 1, . . ., п, х = 1, . . ., v. (Детали изложены в п. 9.2.2).



(10:1:i) р Если из Jb и Сх из %% (к), к = 1, . . ., п являются подмножествами одного и того же D% из 3)К (к), то пересечение 4Х П должно быть непустым, х = 1, . . ., v.

(10:1:j) Для х = 1, . . ., v и k = 1, . . ., п и для любого Dn из (&) должно существовать некоторое С* из %% (к), являющееся подмножеством DK.

К этому определению следует подходить прежде всего в духе современного аксиоматического метода. Мы избегали даже давать названия математическим понятиям, введенным в (10:А:а) - (10:A:h), с тем, чтобы не устанавливать каких бы то ни было соответствий с возможными толкованиями, которые эти названия могут подсказывать. В своей абсолютной чистоте эти понятия могут теперь стать предметом точного математического исследования

Этот подход наилучшим образом приспособлен для развития строго определенных понятий. Приложение к объектам, заданным чисто интуитивным образом, будет дано впоследствии, после завершения точного анализа. В связи с этим напомним также то, о чем уже было сказано в п. 4.1.3 (гл. I),- о роли моделей в физике: аксиоматические модели интуитивных систем аналогичны математическим моделям физических систем (заданных столь же интуитивно).

Если это осознано, то нелишним будет напомнить, что это аксиоматическое определение было выкристаллизовано из детальных эмпирических обсуждений, проведенных в предшествующих параграфах. Если мы снабдим входящие в это определение понятия соответствующими названиями, указывающими, по возможности, на их интуитивное происхождение, то это облегчит нам использование нашего определения и сделает его структуру более прозрачной. Кроме того, будет полезно пояснить в том же духе смысл наших-постулатов (10:1:а) - (10:1: j), т. е. разъяснить те интуитивные соображения, из которых они возникли.

Все это будет, разумеется, попросту сжатым резюме интуитивных рассуждений предыдущих пунктов, которые привели к этой аксиоматизации.

10.1.2. Дадим сначала технические названия понятиям, введенным в (10:А:а) - (10:A:h) из п. 10.1.1.

(10:А:а*) v есть длина игры Г.

10:A:b*) Q есть множество всех партий в Г.

(10:А:с*) JFh (я) есть исход партии я для игрока к.

(10:A:d*) Л% есть информационная схема посредника: Ак из Л% представляет собой фактическую информацию посредника при ходе оМу (т. е. непосредственно перед этим ходом), а для х = v -f- 1 - в конце игры.

(10:А:е*) 38 * есть схема распределения. Вх (к) из i?x представляет собой фактическое распределение хода оМ%.

г) Это аналогично современному подходу к аксиоматизации таких дисциплин, как логика, геометрия и т. п. Так, при аксиоматизации геометрии обычно считается, что понятия точки, прямой и плоскости не следует априори отождествлять с какими-либо интуитивными представлениями - они являются лишь обозначениями объектов, относительно которых предполагается только выполнение свойств, выражаемых аксиомами. См., например, D. Н i 1 b е г t, Die Grundlagen der Geometrie, Leipzig, 1899 (русский перевод: Д. Гильберт, Основания геометрии).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [ 29 ] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]