назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [ 28 ] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


28

на каждом множестве А х из Лк должно быть постоянным, но что оно может меняться от одного А к другому.

Соответственно мы можем образовать для каждого к = О, 1, . . п множество В% (к), которое содержит все множества А для &х = к, причем различные J9X (к) дизъюнктны. Таким образом, В% (к), к = О, 1, . . п, образуют семейство непересекающихся подмножеств множества Q. Обозначим это семейство через 38 х.

(9:В) i?x снова является разбиением в Q. Так как каждое Л х из Л

является подмножеством некоторого J9X (к) из i?х, разбиение Л является подразбиением 38

У нас не было повода привести какое-либо перечисление множеств А х из A,/, с разбиением 38 дело обстоит иначе. 38 х состоит ровно из п -f- 1 множеств В к (к), к = 0, 1, . . ., п, которые, таким образом, входят сюда в некотором фиксированном перечислении посредством индекса к = О, 1, . . ., п 1). И это перечисление существенно, так как оно заменяет функцию кК (см. сноску 4 на стр. 94).

9.1.4. В-третьих, следует подробно описать условия, в которых должен иметь место выбор, связанный с ходом о£К.

Предположим сначала, что g#x является случайным ходом, т. е. что мы находимся в пределах множества ВК (0). Тогда существенными величинами будут число альтернатив ах и вероятности р% (1), . . ., /?х (ах) этих альтернатив (см. конец п. 6.2.1). Как отмечалось в п. 7.1.1 (там это было вторым предметом рассмотрения), все эти величины могут зависеть от всей информации, заключенной в ЛК (см. сноску 4 на стр. 94), поскольку (Му, является теперь случайным ходом. Это значит, что ах и рК (1), . . . . . ., рК (ах) должны быть постоянными на каждом множестве А% из Л 2), но могут меняться от одного АК к другому.

На каждом из этих множеств А х происходит выбор одной из альтернатив, т. е. выбор числа ох = 1, . . ., <хх (см. п. 6.2.2). Это можно описать, указав ах дизъюнктных подмножеств множества Аю которые отвечают выражаемому АК ограничению, плюс имевший место выбор ох. Мы обозначим эти множества через Сх, а их систему, состоящую из всех подмножеств С к множеств А к, которые являются подмножествами Бх (0), через %ъ (0). Таким образом, <ёх (0) представляет собой разбиение в В к (0), а поскольку каждое Сх из %% (0) есть подмножество некоторого А к из Aw то %ъ (0) будет подразбиением Л

Величины ах определяются разбиением $х (0) 3), поэтому мы можем больше о них не упоминать. Описание рх (1), . . ., /?х (ах) напрашивается само собой: с каждым Сх из х (0) должно быть связано число рх (Сх) (его вероятность), причем должны выполняться ограничения, эквивалентные указанным в сноске 2 на стр. 76 4).

г) Таким образом, &К в действительности является не множеством и не разбиением, а имеет более сложную природу: оно состоит из множеств i?x (&), к = 0, 1, . . . . . ., п, в указанном перечислении. Однако оно обладает свойствами (8:А:а) и (8:А:Ь) из п. 8.3.1, характеризующими разбиение. Но и здесь следует сделать одно исключение: среди множеств В% (к) могут быть пустые.

2) Мы находимся в пределах ВК (0); следовательно, все это относится только к тем Акоторые являются подмножествами данного 2?х (0).

3) ах является числом тех Сх из gx (0), которые являются подмножествами данного А п.

4) То есть все (Сх) 0 и для каждого Лх будет JjP* (*) ~ Где сУмма распространена на все Сх из gx (0), являющиеся подмножествами Лх.



9.1.5. Предположим теперь, что является личным ходом, скажем, игрока к = 1, . . ., п, т. е. что мы находимся в пределах множества (к). В этом случае мы должны определить состояние информации игрока к при ходе (М. В п. 6.3.1 оно описывалось посредством множества Лх, в п. 7.2.1 - при помощи семейства функций Фх, причем последнее описание было более общим и окончательным. Согласно этому описанию игрок к при ходе оМ-у знает значения всех функций h (04, . . ., ax i) из Фх и ничего больше. Этот объем информации определяет некоторое разделение В (к) на несколько непересекающихся подмножеств, соответствующих различным возможным содержаниям информации игрока к при ходе оМ. Обозначим эти подмножества через Z>x, а их систему - через 3 % (к). Таким образом, 3)у (к) является разбиением в В% (к).

Разумеется, информация игрока к при ходе Л% является частью общей информации, имеющейся в этот момент (в смысле п. 9.1.2), которая воплощена в А у Следовательно, ни в одном множестве АКиз Jbw являющемся подмножеством В% (к), не может проявиться никакой двусмысленности, т. е. это А н не может иметь общих элементов более чем с одним D% из 3х (к). Это означает, что рассматриваемое А% должно быть подмножеством некоторого Dy из 3%(к). Иными словами, на множестве ВК (к) семейство А% представляет собой подразбиение 3 (к).

В действительности развитие партии сужается при ходе до множества А% из А%. Но игрок к, которому принадлежит ход оМ-, этого не знает; насколько ему известно, партия находится попросту в пределах множества Dy из 3К (к). Теперь он должен произвести выбор одной из альтернатив Ан (1), . . ., Ау (ах), т. е. выбор ах = 1, . . ., ах. Как отмечалось в пп. 7.1.2 и 7.2.1 (особенно в конце п. 7.2.1), а% вполне может быть переменным, но оно может зависеть только от информации, заключенной в 3) у (к). Это значит, что оно должно быть постоянным на том множестве JDX из 3)н (к), которым мы ограничились. Таким образом, выбор ах = 1, . . .

. ., ах можно описать путем указания ах дизъюнктных подмножеств множества Z)x, которые отвечают выражаемому D% ограничению, плюс имевший место выбор ах. Обозначим эти множества через Сх, а их систему, состоящую из всех подмножеств СК множеств D% из 3% (к), через х (&). Таким образом, %х (к) есть разбиение в Вх (к), а поскольку любое С% из *ёх (к) является подмножеством некоторого D% из 3% (к), то % (к) будет подразбиением 3%(к).

Величины а% определяются разбиением %% (к) *); следовательно, мы можем больше о них не упоминать. ах не должно быть нулем, т. е. для данного Dy из 3К (к) должно существовать некоторое Сх из х (к), являющееся подмножеством Z)x 2).

9.2. Рассмотрение разбиений и их свойств

9.2.1. В предыдущих пунктах мы полностью описали положение дел в момент, предшествующий ходу g#x. Теперь мы перейдем к рассмотрению того, что будет происходить, когда мы продвигаемся по ходам к = 1, . . ., v. Нам будет удобно добавить к этим ходам еще один ход

1) ах есть число тех С% из gx (к), которые являются подмножествами данного Ах.

2) Мы требовали это только для к = 1, . . ., тг, хотя это может быть равным образом справедливо для к = 0, если вместо нашего из х (к) взято некоторое Лх, являющееся подмножеством ВК (0). Но формулировать это для данного случая нет необходимости, так как этот факт является следствием предыдущей сноски; действительно, если бы нужного множества СК не существовало, то приведенная в этой сноске сумма Ру, (Руд была бы равна нулю, а не единице.



с номером х = v + 1; он соответствует завершению партии, т. е. следует за последним ходом gSv.

Как уже говорилось в предыдущих пунктах, для и = 1, .... v мы имеем разбиения

Ау, #х = (Дх(0), Вк(1), Ву{п)),

Все они, за единственным исключением А;у,, относятся к ходу оМу, следовательно, их не нужно определять для к = v + 1, да и это невозможно. Но разбиение Av+\ имеет вполне ясный смысл, как показывает его рассмотрение в п. 9.1.2; оно представляет полную информацию, которая вообще может существовать применительно к партии, т. е. описывает индивидуальное развитие этой партии *).

Здесь напрашиваются два замечания. В смысле приведенных выше соображений разбиение А<± соответствует моменту, в который не имеется вообще никакой информации. Следовательно, А\ должно состоять из единственного множества Q. С другой стороны, Av+\ соответствует возможности фактической идентификации имевшей место партии. Следовательно, Av+i представляет собой систему одноэлементных множеств.

Теперь мы займемся описанием перехода от х к х + 1, когда х =

= 1, .... V.

9.2.2. Об изменении 38 у, 9о% (к), SB у (к) при замене к на к -f- 1 нельзя сказать ровно ничего. Наши предыдущие рассуждения показали, что при такой замене с этими объектами (т. е. с тем, что они представляют) может произойти все что угодно.

Однако можно описать, каким образом Ay+t получается из А у.

Информация, заключенная в Ay+i, получается из информации, заключенной в Aw добавлением к последней сведений об исходе выбора, связанного с ходом Му 2). Это должно быть ясно из рассуждений п. 9.1.2. Таким образом, информация в Ay+i, выходящая за рамки информации в Ау, является как раз информацией, заключенной в %у (0), %у • • • (п). .

Это означает, что разбиения Ay+i получаются путем суперпозиции разбиения А у, со всеми разбиениями %у (0), (1), . . ., %у (к), т. е. путем образования пересечений любого А у из А у с каждым Су из всех <ёх (0), х (1), . . ., х (к) и последующего отбрасывания пустых множеств.

Благодаря связи А у и %у (к) с множествами By (к), которая рассматривалась в предыдущих пунктах, мы можем сказать об этом процессе суперпозиции даже несколько больше.

В By (0) разбиение %у (0) является подразбиением А у (см. обсуждение в п. 9.1.4). Следовательно, Ay+i попросту совпадает там с %у (0). В By (к), к = 1, . . ., п, как %у (к), так и Ау являются подразбиениями 3)у (к) (см. обсуждение в п. 9.1.5). Это значит, что Ау+1 получается там путем взятия сначала любого Dy из 3)у (к), затем для любого такого Dy - всех А у из А у и всех Су из х (к), являющихся подмножествами этого Ою и путем образования всех пересечений А у (] Су.

Любое такое множество А у f Су описывает те партии, которые возникают, когда игрок к, располагая информацией из Dy, но находясь

х) Или, в смысле сноски 4 на стр. 95, последовательность а4, . . ., о\. Последовательность же о-!, . . ., gv, как говорилось в п. 6.2.2, характеризует саму партию.

2) В нашей прежней терминологии - значения ах. \

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [ 28 ] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]