назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [ 27 ] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


27

8.4. Логическая интерпретация множеств и разбиений

8.4.1. Описанные в пп. 8.2.1, 8.3.2 понятия будут полезными в последующем рассмотрении игр в силу той логической интерпретации, которая может быть им приписана.

Начнем с интерпретации множеств.

Если Q представляет собой множество объектов любой природы, то любое мыслимое свойство, которым некоторые из этих объектов могут, а другие не могут обладать, можно полностью охарактеризовать указанием множества тех элементов й, которые этим свойством обладают. Иначе говоря, если два свойства соответствуют в этом смысле одному и тому же множеству (одному и тому же подмножеству Q), то этими двумя свойствами будут обладать одни и те же элементы Q. Сказанное означает, что эти свойства эквивалентны в Q в том смысле, как это понимается в логике.

Теперь уже не только свойства (элементов Q) находятся в этом простом соответствии с множествами (подмножествами Q), но и элементарные логические операции над этими свойствами оказываются находящимися в соответствии с теоретико-множественными операциями, рассмотренными нами в п. 8.2.2.

Так, дизъюнкция двух свойств, т. е. утверждение о том, что справедливо по крайней мере одно из них, соответствует, очевидно, образованию объединения их множеств - операции А [} В. Конъюнкция двух свойств, т. е. утверждение о том, что оба они справедливы, отвечает образованию пересечения соответствующих множеств - операции A f В. Наконец, отрицание некоторого свойства, т. е. утверждение противоположного, отвечает образованию дополнения соответствующего множества, операции -А х).

Вместо сопоставления подмножеств множества Q свойствам объектов из Q, как это было проделано выше, мы можем равным образом сопоставить их всем возможным объемам информации, относящимся к некоторому, в остальном неопределенному, элементу из Й. Действительно, любая такая информация сводится к утверждению о том, что этот неизвестный элемент из Q обладает определенным конкретным свойством. Эту информацию можно эквивалентным образом представить при помощи множества всех тех элементов из Q, которые этим свойством обладают; иначе говоря, при помощи множества, до которого данная информация сужает область возможного изменения этого неизвестного элемента из Q.

Отметим, в частности, что пустое множество 0 соответствует свойству, которое никогда не имеет места, т. е. абсурдной информации. Два непересекающихся множества отвечают двум несовместным свойствам, т. е. двум взаимно исключающим объемам информации.

8.4.2. Обратимся теперь к разбиениям.

Возвращаясь к определениям (8:В:а) и (8:В:Ь) из п. 8.3.1 и переформулируя их в нашей новой терминологии, мы видим, что разбиение представляет собой систему попарно взаимно исключающих объемов информации (относительно некоторого неизвестного элемента из Q), ни один из которых не является сам по себе абсурдным. Другими словами, разбиение является предварительным сообщением, которое говорит, сколько информации будет впоследствии дано по поводу некоторого (в остальном неизвестного) элемента из Q, т. е. до какой степени будет в дальнейшем сужена

*) По поводу связей теории множеств и формальной логики см., например, гл. VIII цитированной выше книги Г. Биркгофа.



область возможного изменения для этого элемента. Однако разбиение не дает нам фактической информации - это свелось бы к выбору некоторого элемента этого разбиения, так как такой элемент является подмножеством Q, т. е. дает фактическую информацию.

Поэтому мы можем сказать, что разбиение в Q является информационной схемой. Что касается подмножеств Q, то в п. 8.4.1 мы видели, что каждое из них соответствует определенной информации. Чтобы избежать путаницы с терминологией, используемой для разбиений, мы будем в этом случае (т. е. для подмножества Q) употреблять термин фактическая информация.

Рассмотрим теперь определение (8:В:с) из п. 8.3.1 и сопоставим его с нашей теперешней терминологией. Оно выражает для двух разбиений Jk и в Q смысл того утверждения, что Л является подразбиением 38. Это сводится к утверждению о том, что информация, даваемая разбиением Л, содержит всю информацию, даваемую разбиением 98 (а возможно, еще и больше); иными словами, информационная схема Jb содержит информационную схему 98.

Эти замечания показывают значение рис. 4-9 из п. 8.3.2 в некотором новом свете. Представляется, в частности, что дерево, изображенное на рис. 9, описывает последовательность непрерывно возрастающих информационных схем.

§ 9. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ ИГРЫ 9.1. Разбиения, описывающие игру

9.1.1. Пусть число ходов фиксировано - мы теперь знаем, что такое допущение] правомерно. Обозначим это число снова через v, а сами ходы - через <Mi, . . ., oMv.

Рассмотрим все возможные партии игры Г и составим множество Q, элементами которого они являются. Если воспользоваться описанием, данным в предыдущих пунктах, то всевозможные партии будут попросту всевозможными последовательностями а4, . . ., ov *). Таких последовательностей существует лишь конечное число 2), так что Q является конечным множеством.

Однако имеются также и более непосредственные пути формирования Q. Мы можем, например, образовать это множество, описывая каждую партию как последовательность v + 1 последовательных позиций, возникающих при ее протекании 3). В общем, разумеется, не всякая позиция может следовать за данной позицией, но позиции, возможные в данный момент, ограничены предыдущими позициями некоторым специальным образом, который должен быть точно описан правилами игры 4). Так как наше описание правил игры начинается с образования Q, может оказаться нежелательным допускать столь жзсткую зависимость самого Q от всех деталей этих правил. Отметим поэтому, что нет никаких возражений против включения в Q также и абсурдных последовательностей позиций 5). Таким образом, было бы вполне допустимо даже

г) См., в частности, п. 6.2.2. Область изменения аь . . ., o*v в сноске на стр. 85.

2) Доказательство сразу следует из указанной выше сноски.

3) Перед оМи между оМ и оМг, между <М2 и еМ3 и т. д., между gMv i и ©#v, после qMv.

*) Это аналогично развертыванию последовательности о*!, . . ., ov, как оно описано в сноске на стр. 85.

5) То есть последовательностей, которые впоследствии окажутся запрещенными правилами игры, когда последние будут сформулированы полностью.



образовывать й из всех последовательностей v + 1 последовательных позиций без всяких ограничений.

Наши дальнейшие описания покажут, как следует выбирать реально возможные партии из этого, возможно избыточного, множества Й.

9.1.2. Задавшись v и й, приступим к рассмотрению более сложных деталей развития партии.

Рассмотрим определенный момент в этом развитии, скажем тот, который непосредственно предшествует данному ходу g/#x. В этот момент правила игры должны давать следующие общие сведения.

Во-первых, необходимо описать, до каких пределов события, которые привели к ходу оМ1), определили развитие партии. Любая конкретная последовательность этих событий сужает множество Й до некоторого подмножества А*А, представляющего собой множество всех тех партий из Й, развитие которых до хода оМх совпадает с указанной последовательностью. В терминологии предыдущих пунктов Й является, как отмечалось в п. 9.1.1, множеством всех последовательностей а1? . . ., av; тогда А к будет множеством тех последовательностей ои . . ., av, для которых а*., . . ., crx i имеют данные численные значения (см. сноску 1). Однако с нашей теперешней более широкой точки зрения нам достаточно лишь указать, что А должно быть некоторым подмножеством Й.

Теперь различные возможные развития, которые игра может принять до хода оМю должны быть представлены различными множествами А. Любые два таких развития, если они отличны друг от друга, порождают два совершенно различных множества партий; это значит, что никакая партия не может начаться (т. е. дойти до о£%) обоими путями одновременно. Отсюда следует, что любые два различных множества Ак должны быть дизъюнктными.

Таким образом, полные формальные возможности развития всех мыслимых партий нашей игры вплоть до хода оМ описываются семейством попарно непересекающихся подмножеств множества Й. Это и есть семейство всех множеств А и, упомянутых выше. Мы обозначим его через

Объединение всех множеств Aw содержащихся в Ан, должно содержать все возможные партии. Но так как мы явным образом допустили избыточность й (см. конец п. 9.1.1), их объединение не обязано при этом быть равным й.

Резюмируем сказанное:

(9:А) является разбиением в й.

Мы могли бы сказать также, что разбиение Лх описывает информационную схему лица, которое знает все, что произошло до хода оМн2), т. е. схему некоего посредника, наблюдающего за развитием партии 3).

9.1.3. Во-вторых, должно быть известно, какой характер будет иметь ход оМк. Это выражается введенным в п. 6.2.1 индексом /сх. Именно кн = = 1, . . ., п, если ход является личным и принадлежит игроку к; кК = О, если ход является случайным. &х может зависеть от развития партии до хода о/Иъ, т. е. от информации, заключенной в Jky. 4). Это означает, что к%

г) Иначе говоря, выборы, связанные с предшествующими ходами сМ1ч . . ., ex i, т. е. численные значения стц . . ., о*.

2) То есть исходы всех выборов, связанных с ходами oMiy . . ., gM-i, или, в нашей прежней терминологии, значения ои . . .,

Введение такого лица необходимо, так как, вообще говоря, ни один игрок не располагает всей заключенной в А информацией.

4) В обозначениях п. 7.2.1 и в духе предыдущих сносок можно сказать, что

кк = К * • •»

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [ 27 ] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]