А не является подмножеством В, равно как и В не является подмножеством А; следовательно, ни разность А -В, ни разность В -А не
являются дополнением одного из этих множеств до другого. На следующем рисунке, однако, В является подмножеством А, так что А - В является дополнением В в А (рис. 3).
8.3. Разбиения, их свойства и их графическое представление
8.3.1. Пусть дано множество Q и система множеств А. Мы будем говорить, что Jh является -разбиением в Q, если оно удовлетворяет следующим двум требованиям:
(8:В:а) Любой элемент А системы Jh является непустым подмножеством множества Q.
(8:В:Ь) Jh представляет собой систему попарно непересекающихся множеств.
Это понятие также породило обширную литературу *). Если даны два разбиения Jh и 98, то мы будем говорить, что Л является подразбиением 98, если они удовлетворяют следующему условию:
(8:В:с) Любой элемент А разбиения Jh является подмножеством некоторого элемента В разбиения 98 2). Отметим, что если Jh является подразбиением 98 и 98 является подразбиением Jh, то Jh = 98 3). Сформулируем теперь следующее определение.
х) См. цитированную в сноске на стр. 88 книгу Г. Биркгофа. Наши требования (8:В:а), (8:В:Ь) не совпадают дословно с общепринятыми. Именно в (8:В:а) иногда не требуется, чтобы элементы А системы Jh были непустыми. Действительно, нам придется сделать одно исключение в п. 9.1.3 (см. сноску 1 на стр. 95). В условии (8:В:Ь) обычно требуется, чтобы объединение всех элементов Jh было равно множеству Q. Для наших целей будет более удобным это требование опустить.
2) Так как Jh и 99 также представляют собой множества, уместно сравнить отношение «быть подмножеством» (применительно к Jh и 99) с отношением «быть подразбиением». Легко видеть, что если Jh является подмножеством 9В, то Jh является и подразбиением 9В, но обратное, вообще говоря, неверно.
3) Доказательство. Рассмотрим некоторый элемент i из «i. Он должен быть подмножеством некоторого элемента В из 9В, а В в свою очередь - подмножеством некоторого элемента At из Jh. Таким образом, А и А имеют общие элементы (именно все элементы непустого множества А) и тем самым не являются дизъюнктными. Так как оба они принадлежат разбиению Jk, отсюда следует А = At. Поэтому А является подмножеством В, а В - подмножеством А (= А). Следовательно, А = В, так что А принадлежит «38. Отсюда мы получаем, что Jh есть подмножество 9В (см. предыдущую сноску). Аналогично & является подмножеством Jh. Следовательно, Jh = 9В.
Рис. 2.
Рис. 3.
(8:B:d) Пусть даны два разбиения Л и 98. Образуем систему всех непустых пересечений A f В, где А пробегает все элементы Л, а В - элементы 98. Очевидно, мы снова получим разбиение, называемое суперпозицией Л и г).
Рис. 4. Рис. 5,
Определим, наконец, описанные выше соотношения для двух разбиений Л и па данном множестве С.
(8:В:е) Л является подразбиением на множестве С, если любое А, принадлежащее Л и являющееся подмножеством С, является также подмножеством некоторого 5, которое принадлежит 98 и является подмножеством С.
(8:B:f) Л равно 98 на множестве С, если элементами Л и 98 являются одни и те же подмножества множества С.
Очевидно, сноска 3 со стр. 89 снова применима - с соответствующими изменениями. Кроме того, определенные сейчас понятия на множестве £2 совпадают с первоначальными понятиями.
8.3.2. Приведем снова некоторые графические иллюстрации в смысле п. 8.2.3.
Начнем с изображения разбиения. Мы не будем обозначать элементы разбиения, представляющие собой множества, буквами, а будем обводить каждое из них пунктиром (рис. 4).
Далее мы изобразим два разбиения Jb и 98 \ для различения их условимся изображать обводящие линии элементов Л «длинным» пунктиром, а элементов $ -«коротким» пунктиром. На рис. 5 Л является подразбиением 98. На следующем рис. 6 Л не является подразбиением 98 и 98 не является подразбиением Л. Предоставляем читателю определить суперпозицию Л и 98 на рис. 6.
Рис. 6.
г) Легко показать, что суперпозиция разбиений Л и & является подразбиением как Л, так и J и что любое разбиение %, представляющее собой подразбиение как Л, так и оказывается также подразбиением их суперпозиции. Отсюда происходит и название. См. гл. I и II цитированной выше книги Г. Биркгофа.
Рис. 7. Рис. 8.
составляющих элементы разбиения, и не может быть использовано для изображения одновременно нескольких разбиений в Q, как это было проделано на рис. 6. Этот недостаток, однако, может быть устранен, если два разбиения А и 98 в Q соотносятся так, как на рис. 5, а именно если А является подразбиением 98. В этом случае мы снова можем представить Q точкой внизу, каждый элемент 98 - отрезком, идущим вверх от этой точки, как на рис. 7, а каждый элемент А - другим отрезком, идущим
Рис. 9.
дальше вверх и начинающимся в верхнем конце того отрезка 98, который представляет элемент 98, подмножеством которого является этот элемент А. Мы можем таким образом представить два разбиения А и 98, изображенные на рис. 5 (см. рис. 8). Это представление опять-таки является менее наглядным, чем соответствующее ему изображение на рис. 5. Однако его простота позволяет продолжить его гораздо дальше, чем могут практически зайти картинки в духе рис. 4-6. Именно, мы можем изобразить при помощи этого приема последовательность разбиений А, . . . . . ., А, в которой каждое разбиение является подразбиением своего непосредственного предшественника. На рис. 9 изображен пример для [I = 5.
Конфигурации такого типа уже изучались в математике; они называются деревьями.
Другое, более схематичное описание разбиений можно получить, представляя множество Q одной точкой, а любой элемент разбиения, представляющий собой подмножество Q, отрезком, идущим из этой точки вверх. Тогда разбиение А (рис. 5) будет представлено гораздо более простым чертежом (рис. 7). Такое представление не указывает элементов,