назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [ 23 ] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


23

уже к% Ф кК) лежат в предотвращении этой «сигнализации», т. е. получения информации противником к„. Это обычно достигается путем беспорядочного и на первый взгляд нелогичного поведения при совершении выбора на ходе оМ \» Оно делает для противника затруднительным извлечение из наблюдаемого исхода оМ% информации относительно исхода оМ, о котором у него нет никаких непосредственных сведений иначе говоря, эти действия делают «сигнал» ненадежным и двусмысленным. В п. 19.2.1 мы увидим, что в действительности в этом и заключается функция блефа в покере *).

Мы будем называть эти две процедуры прямой и обратной сигнализацией. К этому стоит добавить, что обратная сигнализация, т. е. сбивание противника с толку, имеет место почти во всех играх, включая бридж. Так происходит потому, что она основана на нетранзитивности предварения в случае нескольких игроков. С другой стороны, прямая сигнализация является более редкой: покер, например, не содержит ни малейшего намека на нее. Действительно, как мы уже отмечали выше, из нее следует нетранзитивность предварения, когда мы имеем дело только с одним игроком. Иначе говоря, она требует надлежащим образом урегулированной «забывчивости» этого игрока, которая достигается в бридже путем «расщепления» игрока на два лица.

Во всяком случае, бридж и покер представляются достаточно характерными примерами этих двух типов нетранзитивности - соответственно при прямой и обратной сигнализации.

Оба типа сигнализации приводят к деликатной проблеме разумного их сочетания при фактическом разыгрывании игры, т. е. при попытках нахождения «хороших», «рациональных» способов игры. Всякая попытка сигнализировать больше или меньше, чем этого требует «бесхитростная» игра, неизбежно приводит к отклонениям от «бесхитростного» способа игры. А это обычно оказывается возможным лишь ценой определенных затрат, т. е. прямыми последствиями здесь являются убытки. Таким образом, задача состоит в том, чтобы установить эту дополнительную сигнализацию на таком уровне, при котором ее преимущества - передача или сокрытие информации - перевесили бы непосредственно вызываемые ею потери. Чувствуется, что это приводит к чему-то похожему на поиск оптимума, хотя все это никоим образом не является четко определенным. Мы увидим, какцм % образом теория игр двух лиц уже позаботилась об этой проблеме; она будет подробно рассмотрена на одном характерном примере, представляющем собой упрощенную форму покера (см. § 19).

Отметим, наконец, что все важные примеры нетранзитивности предварения доставляются нам играми, содержащими случайные ходы. Это довольно странно, поскольку видимой связи между этими двумя явлениями нет 2>3). В действительности дальнейшее исследование покажет, что наличие или отсутствие случайных ходов лишь в малой мере влияет на существенные аспекты стратегий в этой ситуации.

г) И что блеф вовсе не является попыткой обеспечить себе дополнительные выигрыши - в любом прямом смысле,- имея на руках слабую карту. См. указанный пункт.

2) См. соответствующий случай, разобранный в п. 6.4.1, когда предварение совпадает с предшествованием и является поэтому транзитивным. Как было там упомянуто, наличие или отсутствие случайных ходов в этом случае несущественно.

3) Довольно важный в этой связи пример дается игрой в орлянку. Эта игра вместе с некоторыми родственными ей играми рассматривается в § 18.



§ 7. ПОЛНОЕ ОПИСАНИЕ ПОНЯТИЯ ИГРЫ

7.1. Переменность характеристик каждого хода

7.1.1. В п. 6.2.1 мы ввели ах альтернатив (1), . . ., Jk (ах) хода оМк, а также индекс характеризующий ход как личный или как случайный и в первом случае определяющий того игрока, чья очередь ходить, а во втором - задающий вероятности рх (1), . . ., рп (ах) указанных выше альтернатив. В п. 6.3.1 мы описали понятие предварения с помощью множеств Ах, представляющих собой множество всех тех X (из значений X = 1, . . ., х - 1), которые предваряют х. Мы не указали, однако, зависят ли все эти объекты - ах, Лх и Jb (о), рп (а) для а= 1, . . ., ах- только от х или также и от других вещей. Разумеется, этими «другими вещами» могут быть только исходы выборов, соответствующих ходам, которые предшествуют оМ. Иначе говоря, речь идет о числах аи . . ., ах ! (см. п. 6.2.2).

Эта зависимость требует более подробного рассмотрения.

Во-первых, зависимость самих альтернатив (о) (в отличие от их числа aj от а1? . . ., ах 4 несущественна. Мы можем с полным основанием предположить, что выбор, соответствующий ходу с#х, производится не среди самих альтернатив (а), а среди их номеров а. В конце концов в выражениях, описывающих исход игры, т. е. в функциях ЗРъ (оь . . ., ах), к = 1, . . ., п1), появляется только а, соответствующее ходу qSk , т. е. ах (см. п. 6.2.2).

Во-вторых, все зависимости от аь . . ., ox i, которые имеют место, когда о/ЯК оказывается случайным ходом, т. е. когда &х = 0 (см. конец п. 6.2.1), не вызывают никаких усложнений. Они не препятствуют нашему анализу поведения игроков. Это относится, в частности, ко всем вероятностям рК (о), так как они возникают только в связи со случайными ходами. С другой стороны, множества Лх при случайных ходах никогда не появляются.

В-третьих, мы должны рассмотреть зависимости ах, fcx, Лх от аи . . . . . ., o-i, когда оказывается личным ходом2). Теперь эта возможность действительно является источником затруднений. К тому же возможность эта весьма реальна 3). Причина состоит в следующем.

7.1.2. Игрок кК на ходе ©#х должен быть информирован о значениях ах, &х, Лх, поскольку они составляют теперь часть правил игры, которых

г) Форма и характер альтернатив <?£х (о), имеющихся на ходе оМ, могли бы, разумеется, доставить игроку &х (если оМ является личным ходом) некоторую информацию о предшествующих значениях ои . . ., ах !, если бы Л (о) от них зависели. Однако любую такую информацию можно было бы определить независимым образом как информацию, имеющуюся у игрока &х при ходе оМ. Мы рассматривали простейшие схемы, относящиеся к понятию информации, в п. 6.3.1 и дополним этот анализ в п. 7.1.2. Следующее далее рассмотрение ах, &х, Лх также характерно в том, что касается роли альтернатив Лх (а) в качестве возможных источников информации.

2) Произойдет ли это для данного х, будет зависеть само от &х и, следовательно, косвенным образом от а4, . . ., ах 1? так как оно характеризуется соотношением к% ф 0 (см. конец п. 6.2.1).

3) Например, в шахматах число возможных альтернатив ах на ходе зависит от положения фигур, т. е. от прошлого развития партии. В бридже игроком, кладущим первую карту при разыгрывании следующей взятки, т. е. игроком кК на ходе <Мк, является тот, кто взял последнюю взятку, что зависит опять-таки от предыдущего хода партии. В некоторых вариантах покера и родственных ему игр количество информации, доступное игроку в данный момент, т. е. множество Лх на ходе е#х зависит от того, что он и другие игроки делали до этого.



он должен придерживаться. В той части, в какой они зависят от (ть . . . • • •» °х -ь он может вывести из них определенные заключения относительно значений аь . . ., ак 4. Но мы предположили, что он абсолютно ничего не знает о значениях о% для X, не принадлежащих Лх! Вовсе не ясно, каким образом можно здесь избежать противоречий.

Выскажемся более точно. Противоречие не будет иметь места в следующем случае. Пусть Лх не зависит ни от одного из аь . . ., ct-i* a осх и кк зависят только от о% для X, принадлежащих Лх. Тогда игрок к не может извлечь никакой информации из ак, йииЛх, помимо той, которой он уже располагает (т. е. о значениях с для X из Лх). Если это имеет место, то мы будем говорить, что перед нами частная форма зависимости.

Но всегда ли мы имеем частную форму зависимости? Возьмем крайний случай: что будет, если Лх всегда пусто - т. е. если игрок кК предполагается совершенно неинформированным на ходе оМ - и все же, скажем, осх явным образом зависит от некоторых из ои . . ., or* 4?

Это, очевидно, недопустимо. Мы должны потребовать, чтобы все количественные выводы, которые можно сделать, зная осх, к и Лх, были бы явным образом и с самого начала определены как информация, имеющаяся у игрока кх при ходе оМ. Было бы, однако, ошибочным пытаться достичь этого путем включения в Ах индексов X всех тех ая, от которых ах, кн и Лх явным образом зависят. Что касается Лх, то следует, прежде всего, проявить большую аккуратность, чтобы избежать кругового характера в этом требовании *). Но даже если эта трудность и не возникает в силу того, что Лх зависит только от х и не зависит от ои . . ., ax t1 т. е. в случае, когда информация, имеющаяся у любого игрока в любой момент игры, не зависит от предыдущего течения партии, указанный выше подход может все-таки быть недопустимым. Предположим, например, что осх зависит от определенной комбинации некоторых сгя из значений X = 1, . . ., х - 1и что правила игры предусматривают, что игрок кх на ходе оМх знает значение этой комбинации, но не разрешают ему знать большего (т. е. значения индивидуальных а4, . . ., crx-i). Он может, например, знать значение сг + огь где \i и X предшествуют х (fx, X < х), но ему не разрешается знать значения и о% по отдельности.

Можно было бы испытать различные приемы сведения описанной ситуации к нашей прежней, более простой схеме, которая описывает состояние информации игрока кн посредством множества Л„ 2). Однако становится совершенно невозможным распутать различные компоненты информации игрока к на ходех, если сами они происходят от личных ходов разных игроков или одного и того же игрока, но на различных этапах его информированности. В приведенном выше примере это произойдет, если кц Ф кх или если к = к%, но состояние информации этого игрока на ходах оМ и оМ% является различным3).

г) Те о, от которых, кроме всего прочего, зависит Лх, можно определить лишь путем рассмотрения совокупности всех Лх для всех последовательностей о±, . . . • • • » °V-i- Должно ли каждое Лх содержать эти X?

2) В приведенном примере можно было бы попытаться заменить ход оМ новым ходом, в котором выбирается не а, a 0* + 0. Ход оМ% остался бы неизменным. Тогда игрок кх на ходе оМ был бы информирован об исходе выбора, связанного только с новым ходом оМ.

3) В примере, приведенном в предыдущей сноске, это означает следующее. Если k]i Ф к%, то не существует игрока, которому может быть приписан новый ход <М (на котором выбрано ай + о~А, и который должен быть личным). Если А: = к, но состояние информации меняется от оМ к оМ%, то новому ходу оМ нельзя удовлетворительным образом приписать никакого состояния информации.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [ 23 ] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]