назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [ 223 ] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


223

Ввиду всего сказанного кооперативная теория представляет собой в настоящий момент довольно пеструю картину. Мы остановимся лишь на некоторых явлениях, которые представляются наиболее значительными.

3. До последнего времени оставался открытым вопрос о существовании решений для произвольных кооперативных игр. Пример Льюкаса [1] дал отрицательный ответ на этот вопрос. Тем самым поставлены новые проблемы: классификации неразрешимых игр в соответствии с причинами их неразрешимости, а также поисков нового («обобщенного») понятия решения, которое будет существовать для каждой игры. Пока последнее не сделано, принципы разумного поведения (а решения в смысле Неймана - Моргенштерна являются таковыми, несмотря на свою уязвимость для критики) оказываются ограниченными. Игры же, не подпадающие под четко сформулированные принципы, ускользают из области математики в область психологии, заставляя еще раз вспомнить высказывание Бореля, приведенное в 1.4.2.

Вместе с тем остаются актуальными поиски возможно более широких классов игр, имеющих решения. В этом направлении пока получены лишь отдельные, сравнительно частные результаты.

Так, Джиллис [2] показал, что «положительная доля» всех игр имеет решения, а для «положительной доли» всех нулевых игр это решение единственное.

Пример противоположного характера построили Калиш и Неринг [1]. Они рассматривают игры с бесконечным (счетным) множеством игроков /, Дележи (аь а2, . . ,) такой игры, если она задана в -1-О-редуцирован-ной форме, должны удовлетворять соотношениям

at г - 1 для всех i £ /,

2a*!<oo,

2а£=0.

Игра называется конечно убывающей, если для любой коалиции S cz I и игрока i£I

v(S)v(S\i)

(ясно, что игра с конечным множеством игроков не может быть конечно убывающей). Доказывается, что конечно убывающие игры не имеют решений.

Построенный Льюкасом [1] пример игры, не имеющей решения, носит весьма искусственный характер. В этом примере

/ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},

»(/) = 5, 3, 5, 7, 9) = 4,

v(l, 2)=»(3, 4) = i>(5, 6) = »(7, 8)=р(9, 10) = 1,

i>(3, 5, 7, 9) = v(l, 5, 7, 9)=i>(l, 3, 7, 9)=3,

v(3, 5, 7) =w(l, 5, 7) =»(1, 3, 7) = 2,

у(3, 5, 9) = у(1, 5, 9) = у(1, 3, 9) = 2,

17(1, 4, 7, 9) = i;(3, 6, 7, 9) = 17(5, 2, 7, 9) = 2,



(Данная характеристическая функция не является супераддитивной; однако в свете сказанного в III.11.1 с точки зрения решений это обстоятельство - несущественное.)

4. Разнообразие, наблюдавшееся в строении отдельных решений различных игр, как выяснилось, является вполне закономерным. Шепли [3] установил, что, каково бы ни было замкнутое множество / в и-мерном евклидовом пространстве, существует (ненулевая) игра п + 3 лиц, в которой одно из решений распадается на две замкнутые части, причем одна из этих частей «подобна» множеству /.

Таким образом, индивидуальные описания решений игр за пределами класса ненулевых игр четырех лиц (рассмотренных в гл. VII монографии) оказываются бесцельными.

Общие высказывания о решениях произвольной игры носят весьма ограниченный характер. Например, Джиллис [2] выяснил, что дележи, принадлежащие какому-либо решению, не могут лежать «достаточно близко» от вершин симплекса дележей.

Шепли в [3] поставил вопрос о существовании у игр решений, являющихся бесконечными, но лишь счетными множествами дележей, а также зависящей от числа игроков оценке сверху числа дележей в конечном решении. Гальмарино [1] установил, что в играх четырех лиц счетных решений быть не может, а для конечных решений существует требуемая оценка.

5. Невозможность указывать общие свойства решений, присущие всем играм, естественным образом приводит к выделению различных частных классов игр и изучению их решений. Начало этому направлению было положено в монографии фон Неймана и Моргенштерна, а затем появилось большое число работ, посвященных специфическим играм, выделяемым содержательными признаками. Формальное описание этого класса игр состоит в следующем.

Пусть множество всех игроков / представлено в виде объединения P\jQ непересекающихся групп Р (продавцы) и Q (покупатели), причем для любой коалиции S (рынок)

y(S) = niin{[Snn \S(]Q\}

(т. е. содержательно выигрыш рынка равен числу заключенных на нем сделок).

Шепли описывает класс решений для модели рынка и в том числе единственное симметричное решение (в каждом дележе которого все компоненты, соответствующие покупателям, так же как и все компоненты, Соответствующие продавцам, равны друг другу).

6. Важный класс игр, так называемые «игры с квотой», исследовал Шепли в статье [2]. Квотой в игре с характеристической функцией v называется вектор (©!, . . . , сол), обладающий двумя свойствами:

17(£и/) = ю. + ю/ ПРИ любых i,

Как выясняется, для того чтобы игра (характеристическая функция) обладала квотой, необходимо и достаточно, чтобы для любой четверки различных игроков £, /, /с, I имело место

Hi[}j) + v(k[)l) = v(i[)l) + v(j + k)

*) Так, Шепли [4] систематически рассмотрел один из случаев намеченной фон Нейманом и О. Моргенштерном в § 64 их монографии модели рынка.



и, кроме того, чтобы было

2 v(i{jj) = 2(n-l)v(I).

Отсюда следует, между прочим, что всякая игра четырех лиц с нулевой суммой имеет квоту. Шепли доказывает, что каждая игра с квотой обладает решением (ср. п. 60.4), и приводит одно из решений в явном виде. Это решение основано на доминировании относительно двуэлементных коалиций.

Как сама идея квоты, так и полученные Шепли результаты были обобщены Калишем [1]. В частности, он ввел иг-квоту как вектор (со* ,. . .

• . ., (On), для которого v (S) = 2 сог- для всех /га-элементных коалиций

S, и указал необходимые и достаточные условия существования решения игры, основанного на этой иг-квоте.

7. Большой интерес привлекли простые игры. Нулевые простые игры должны быть собственными (т. е. коалиция вместе с ее дополнением не могут быть выигрывающими) и строгими (коалиция вместе с ее дополнением не могут быть проигрывающими). Выход за пределы нулевых игр приводит к возможностям появления несобственных и (или) нестрогих простых игр.

В нестрогой игре коалиция, являющаяся проигрывающей вместе со своим дополнением, называется блокирующей. Ричардсон [4], развивая идеи, намеченные фон Нейманом и Моргенштерном в § 53 монографии, предложил рассматривать игры как проективные пространства, в которых точки понимаются как игроки, а попарно пересекающиеся подпространства наименьшей размерности - как выигрывающие коалиции. Им получен ряд результатов о существовании блокирующих коалиций, в которых число игроков имеет определенное арифметическое строение.

Простая игра называется однородной, если она имеет транзитивную группу автоморфизмов. Не всякое число игроков может участвовать в строгой однородной игре. Исбелл показал [2], что для каждого нечетного т найдется такое h, что при k > h не существует строгих однородных игр с 2hm игроками

Чрезвычайно важно, интересно и перспективно изучение всякого рода действий на множествах игр, которые позволяют конструировать сложные и разнообразные игры из отдельных сравнительно простых и однотипных компонент. К такого рода действиям относятся композиции игр, введенные фон Нейманом и Моргенштерном (в гл. IX). Пока не удалось обнаружить иных достаточно естественных конструкций, применимых к произвольным играм. Однако для простых игр Шепли [6] ввел понятия суммы и произведения.

Пусть Г (Pi, Wi) и Г (Р2, W2) - две простые игры в 0-1-редуциро-ванной форме с непересекающимися множествами игроков (здесь и далее Pi, Р2 и Р - множества игроков в играх, W, W2 и W - соответствующие множества выигрывающих коалиций; характеристические функции этих игр обозначены через vt, v2 и v). Суммой этих двух игр называется игра

Г (Ри Wt) 0 Г (Р2, W2) = Г (Р, W), где P = Pi\]P2, причем для любого S cz Р

v(S) = vi(S()Pl)-hv2(Sr]Pz)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [ 223 ] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]