Ввиду всего сказанного кооперативная теория представляет собой в настоящий момент довольно пеструю картину. Мы остановимся лишь на некоторых явлениях, которые представляются наиболее значительными.
3. До последнего времени оставался открытым вопрос о существовании решений для произвольных кооперативных игр. Пример Льюкаса [1] дал отрицательный ответ на этот вопрос. Тем самым поставлены новые проблемы: классификации неразрешимых игр в соответствии с причинами их неразрешимости, а также поисков нового («обобщенного») понятия решения, которое будет существовать для каждой игры. Пока последнее не сделано, принципы разумного поведения (а решения в смысле Неймана - Моргенштерна являются таковыми, несмотря на свою уязвимость для критики) оказываются ограниченными. Игры же, не подпадающие под четко сформулированные принципы, ускользают из области математики в область психологии, заставляя еще раз вспомнить высказывание Бореля, приведенное в 1.4.2.
Вместе с тем остаются актуальными поиски возможно более широких классов игр, имеющих решения. В этом направлении пока получены лишь отдельные, сравнительно частные результаты.
Так, Джиллис [2] показал, что «положительная доля» всех игр имеет решения, а для «положительной доли» всех нулевых игр это решение единственное.
Пример противоположного характера построили Калиш и Неринг [1]. Они рассматривают игры с бесконечным (счетным) множеством игроков /, Дележи (аь а2, . . ,) такой игры, если она задана в -1-О-редуцирован-ной форме, должны удовлетворять соотношениям
at г - 1 для всех i £ /,
2a*!<oo,
2а£=0.
Игра называется конечно убывающей, если для любой коалиции S cz I и игрока i£I
v(S)v(S\i)
(ясно, что игра с конечным множеством игроков не может быть конечно убывающей). Доказывается, что конечно убывающие игры не имеют решений.
Построенный Льюкасом [1] пример игры, не имеющей решения, носит весьма искусственный характер. В этом примере
/ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
»(/) = 5, 3, 5, 7, 9) = 4,
v(l, 2)=»(3, 4) = i>(5, 6) = »(7, 8)=р(9, 10) = 1,
i>(3, 5, 7, 9) = v(l, 5, 7, 9)=i>(l, 3, 7, 9)=3,
v(3, 5, 7) =w(l, 5, 7) =»(1, 3, 7) = 2,
у(3, 5, 9) = у(1, 5, 9) = у(1, 3, 9) = 2,
17(1, 4, 7, 9) = i;(3, 6, 7, 9) = 17(5, 2, 7, 9) = 2,
(Данная характеристическая функция не является супераддитивной; однако в свете сказанного в III.11.1 с точки зрения решений это обстоятельство - несущественное.)
4. Разнообразие, наблюдавшееся в строении отдельных решений различных игр, как выяснилось, является вполне закономерным. Шепли [3] установил, что, каково бы ни было замкнутое множество / в и-мерном евклидовом пространстве, существует (ненулевая) игра п + 3 лиц, в которой одно из решений распадается на две замкнутые части, причем одна из этих частей «подобна» множеству /.
Таким образом, индивидуальные описания решений игр за пределами класса ненулевых игр четырех лиц (рассмотренных в гл. VII монографии) оказываются бесцельными.
Общие высказывания о решениях произвольной игры носят весьма ограниченный характер. Например, Джиллис [2] выяснил, что дележи, принадлежащие какому-либо решению, не могут лежать «достаточно близко» от вершин симплекса дележей.
Шепли в [3] поставил вопрос о существовании у игр решений, являющихся бесконечными, но лишь счетными множествами дележей, а также зависящей от числа игроков оценке сверху числа дележей в конечном решении. Гальмарино [1] установил, что в играх четырех лиц счетных решений быть не может, а для конечных решений существует требуемая оценка.
5. Невозможность указывать общие свойства решений, присущие всем играм, естественным образом приводит к выделению различных частных классов игр и изучению их решений. Начало этому направлению было положено в монографии фон Неймана и Моргенштерна, а затем появилось большое число работ, посвященных специфическим играм, выделяемым содержательными признаками. Формальное описание этого класса игр состоит в следующем.
Пусть множество всех игроков / представлено в виде объединения P\jQ непересекающихся групп Р (продавцы) и Q (покупатели), причем для любой коалиции S (рынок)
y(S) = niin{[Snn \S(]Q\}
(т. е. содержательно выигрыш рынка равен числу заключенных на нем сделок).
Шепли описывает класс решений для модели рынка и в том числе единственное симметричное решение (в каждом дележе которого все компоненты, соответствующие покупателям, так же как и все компоненты, Соответствующие продавцам, равны друг другу).
6. Важный класс игр, так называемые «игры с квотой», исследовал Шепли в статье [2]. Квотой в игре с характеристической функцией v называется вектор (©!, . . . , сол), обладающий двумя свойствами:
17(£и/) = ю. + ю/ ПРИ любых i,
Как выясняется, для того чтобы игра (характеристическая функция) обладала квотой, необходимо и достаточно, чтобы для любой четверки различных игроков £, /, /с, I имело место
Hi[}j) + v(k[)l) = v(i[)l) + v(j + k)
*) Так, Шепли [4] систематически рассмотрел один из случаев намеченной фон Нейманом и О. Моргенштерном в § 64 их монографии модели рынка.
и, кроме того, чтобы было
2 v(i{jj) = 2(n-l)v(I).
Отсюда следует, между прочим, что всякая игра четырех лиц с нулевой суммой имеет квоту. Шепли доказывает, что каждая игра с квотой обладает решением (ср. п. 60.4), и приводит одно из решений в явном виде. Это решение основано на доминировании относительно двуэлементных коалиций.
Как сама идея квоты, так и полученные Шепли результаты были обобщены Калишем [1]. В частности, он ввел иг-квоту как вектор (со* ,. . .
• . ., (On), для которого v (S) = 2 сог- для всех /га-элементных коалиций
S, и указал необходимые и достаточные условия существования решения игры, основанного на этой иг-квоте.
7. Большой интерес привлекли простые игры. Нулевые простые игры должны быть собственными (т. е. коалиция вместе с ее дополнением не могут быть выигрывающими) и строгими (коалиция вместе с ее дополнением не могут быть проигрывающими). Выход за пределы нулевых игр приводит к возможностям появления несобственных и (или) нестрогих простых игр.
В нестрогой игре коалиция, являющаяся проигрывающей вместе со своим дополнением, называется блокирующей. Ричардсон [4], развивая идеи, намеченные фон Нейманом и Моргенштерном в § 53 монографии, предложил рассматривать игры как проективные пространства, в которых точки понимаются как игроки, а попарно пересекающиеся подпространства наименьшей размерности - как выигрывающие коалиции. Им получен ряд результатов о существовании блокирующих коалиций, в которых число игроков имеет определенное арифметическое строение.
Простая игра называется однородной, если она имеет транзитивную группу автоморфизмов. Не всякое число игроков может участвовать в строгой однородной игре. Исбелл показал [2], что для каждого нечетного т найдется такое h, что при k > h не существует строгих однородных игр с 2hm игроками
Чрезвычайно важно, интересно и перспективно изучение всякого рода действий на множествах игр, которые позволяют конструировать сложные и разнообразные игры из отдельных сравнительно простых и однотипных компонент. К такого рода действиям относятся композиции игр, введенные фон Нейманом и Моргенштерном (в гл. IX). Пока не удалось обнаружить иных достаточно естественных конструкций, применимых к произвольным играм. Однако для простых игр Шепли [6] ввел понятия суммы и произведения.
Пусть Г (Pi, Wi) и Г (Р2, W2) - две простые игры в 0-1-редуциро-ванной форме с непересекающимися множествами игроков (здесь и далее Pi, Р2 и Р - множества игроков в играх, W, W2 и W - соответствующие множества выигрывающих коалиций; характеристические функции этих игр обозначены через vt, v2 и v). Суммой этих двух игр называется игра
Г (Ри Wt) 0 Г (Р2, W2) = Г (Р, W), где P = Pi\]P2, причем для любого S cz Р
v(S) = vi(S()Pl)-hv2(Sr]Pz)