момент t £ [О, 1] произвести выстрел по своему противнику, причем меткость каждого игрока с течением времени возрастает. Разумно считать, что игрок должен произвести свой выстрел достаточно поздно (чтобы стрелять с большей вероятностью попадания), однако и не слишком поздно (ибо противник может опередить его своим выстрелом и убить).

Различные модификации игр с выбором момента времени рассматривались в многочисленных статьях. Шифман [1] в симметричном случае и Карлин [2] в общем свели нахождение оптимальных стратегий игроков в игре с выбором момента времени к решению сопряженных интегральных уравнений и нашли вид решения таких игр. Подробное изложение большинства результатов, относящихся к этому классу игр, содержится в главах 13 и 14 монографии Карлина [3] (особенно см. комментарии и библиографию к этим главам).

К играм с выбором момента времени примыкают игры, в которых одному или обоим игрокам приходится выбирать несколько моментов времени. Такую игру можно интерпретировать как дуэль со многими выстрелами. Этими играми занимались Блекуэлл и Гиршик [1], Рестрепо [1} и другие.

10. К числу простейших игр на единичном квадрате следовало бы отнести также те игры, в которых все ситуации разбиваются на два класса: благоприятные для игрока I, в которых он получает выигрыш, равный единице, и неблагоприятные для него, в которых его выигрыш равен нулю. Можно считать, что функции выигрыша в таких играх являются характеристическими функциями тех или иных множеств.

Один пример такой игры с военно-тактической интерпретацией приведен в книге Дрешера [1]. Дальнейшие примеры технического содержания см. у Н. Н. Воробьева [7].

11. Весьма разнообразны "и интересны игры, в которых стратегиями игроков являются функции. Следует при этом иметь в виду, что функциональная природа стратегии еще не противоречит нормальности формы игры. Для игры в нормальной форме характерен мгновенный выбор стратегии как единого целого, даже если при этом выбирается целая функция.

В широком классе игр такого рода игрок, выбирающий функцию, называется пулеметчиком (вШарубежной литературе - бомбардировщиком). Выбираемая им функция интерпретируется как плотность огня, который он ведет в каждый момент времени. Очевидно, стратегию пулеметчика можно рассматривать как предельный случай стратегии игрока, выбирающего несколько моментов времени. Если его противник выбирает момент времени из интервала, то он называется снайпером (соответственно истребителем). Анализ игр этого класса требует привлечения известной из статистики леммы Неймана -Пирсона [1]. Обстоятельное рассмотрение этих игр и историю вопроса см. в гл. 16 монографии Карлина [3].

12. Несколько особое место занимают игры типа покера, столь подробно рассмотренные в § 19 монографии фон Неймана и Моргенштерна. В этих играх фактически стратегией игрока является не конкретное решение, а функция, значения которой суть такие решения, а область задания - множество информационных состояний. Тем самым покер было бы естественно отнести к динамическим играм. Основные результаты, относящиеся к теории игр этого типа, приведены в гл. 17 монографии Карлина [3].

§ 3. КООПЕРАТИВНАЯ ТЕОРИЯ

1. С принципиальной точки зрения антагонистические игры исследованы исчерпывающим образом. Переход к более широкому классу бескоалиционных игр фон Нейман и Моргенштерн лишь наметили, дав общее определение такой игры, но никак не развили, ибо не сформулировали даже общих принципов разумного поведения игроков в таких играх. Они свели вопрос к изучению характеристической функции игры, т. е., в конечном итоге, к некоторой системе антагонистических игр.

Это сведение при всей его концептуальной глубине и аналитическом изяществе оказывается содержательно неполным, ибо не отражает всех черт исходной игры. Весьма убедительным свидетельством неполноты этой теерии является пример, приведенный Мак-Кинси [1]: игрок I, выбирая одну из своих стратегий, доставляет себе выигрыш 0, а своему партнеру, игроку II,-выигрыш 10; если же I выбирает свою вторую стратегию, то 6н сам получит - 1000, а II получит 0. Здесь, очевидно, и (I) = 0; v (II) = 0; v (I, II) = 10. Если мы ограничимся лишь рассмотрением характеристической функции, то неизбежно упустим некоторые существенные черты ситуации.

Кроме того, классическая кооперативная теория фон Неймана - Моргенштерна предполагает наличие индивидуальной неограниченной трансферабельной количественно инвариантной полезности (единственным местом, где авторы пытаются освободиться от этого предположения, являются §§ 66, 67, особенно см. п. 66.3). Сказанное предопределило возможности (в значительной мере уже осуществленные) целой иерархии обобщений первоначальной кооперативной теории фон Неймана и Моргенштерна.

Заметим, прежде всего, что нельзя сохранить в играх неограниченную трансферабельность полезности, но отказаться от ее инвариантности. Как показал Ауман [1], если в игре участвуют хотя бы три игрока, то из неограниченной трансферабельности полезности следует ее линейность. Таким образом, если отвлечься от непринципиальных модификаций, теория фон Неймана - Моргенштерна покрывает все случаи неограниченно передаваемой (трансферабельной) полезности.

Первая возможность обобщения связана с развитием классической кооперативной теории без трансферабельной полезности (т. е. без общих «денег», являющихся «равнополезными» для всех игроков), но с побочными платежами, осуществляемыми в натуральных предметах; фактически при этом, разумеется, происходит передача полезности, но единой шкалы пересчета полезностей нет, и тем более суммарное приращение полезностей не обязано обращаться в нуль. Следующим шагом в направлении обобщений классической кооперативной теории является полный отказ от передач полезностей, но при сохранении общего способа задания игры, напоминающего характеристическую функцию. Соответствующая теория называется теорией игр без побочных платежей.

Далее, можно вернуться к чисто стратегическому аспекту игры и считать, что ожидаемые выигрыши игроков (или коалиций) не являются первичными данными, приводимыми в определении игры, а вычисляются на основе значений функций выигрыша в тех или иных ситуациях. На этом уровне обобщения появляется теория бескоалиционных игр.

Наконец, если считать, что элементарными участниками игры (т. е. сторонами, которыми приписываются выигрыши в ситуациях) являются коалиции, которые могут пересекаться друг с другом, то мы получаем наиболее широкий класс игр, класс коалиционных игр.

Бескоалиционные игры часто называют некооперативными. На этом терминологическом различии стоит несколько остановиться, потому что дело здесь не в том, какие объединения игроков называть коалициями, а какие - кооперациями, а в точке зрения на саму теорию. Если мы расширяем класс изучаемых кооперативных игр, то мы отказываемся от кооперативного аспекта как частной формы рациональных действий игроков. Тем самым мы приходим к некооперативным играм. Если, наоборот, мы, исходя из наиболее общих, коалиционных игр, ограничиваемся случаем одноэлементных (или, что, в сущности, то же самое, попарно непересекающихся) коалиций, то приходим к тому же самому классу игр, которые теперь уже, однако, естественно называть бескоалиционными.

Обратимся теперь к изложению основных результатов, полученных на каждом из этих этапов обобщения, разделив весь материал для удобства на две части. Большое число фактических сведений по этим вопросам, а также критическое рассмотрение различных подходов к ним содержится в монографии Льюса и Райфы [1].

2. Кооперативная теория бескоалиционных игр была разработана фон Нейманом и Моргенштерном наиболее подробно и тщательно. Ей посвящено около двух третей общего объема монографии. Кроме того, эта теория привлекает обилием утверждений, допускающих естественное истолкование в экономических или социологических терминах. Поэтому можно было бы ожидать, что в последующие годы кооперативная теория сделает значительные успехи.

Эти ожидания сбылись лишь частично. Хотя работы, трактующие вопросы кооперативной теории, являются математически тонкими и оригинальными, но число их долгое время было невелико и начало быстро возрастать лишь совсем недавно. Несколько причин обусловили это обстоятельство.

Первой из них следует считать резкую нетрадиционность всей теоретико-игровой проблематики, которая, впрочем, легко объяснима, так как все «традиционные» математические теории имеют, в сущности, своим предметом те или иные аспекты и варианты перемещений физических тел в физическом пространстве, а теория игр связана с наиболее сложными вариантами понятия разумного и целесообразного. Этим определяется и нетрадиционность математического аппарата теории игр. Но если антагонистические игры удалось связать с классическими вопросами линейной алгебры, функционального анализа и интегральных уравнений или с не столь классическими, но достаточно наглядными выпуклыми многогранниками, то исследование кооперативной теории опирается лишь на запутанные элементарные комбинаторные рассуждения, весьма специальные в каждом случае.

Во-вторых, неясность основного понятия теории игр - оптимального поведения в условиях, выходящих за пределы чисто антагонистического конфликта, а также трудности (чтобы не сказать невозможность) экспериментальной проверки ее аксиом. С этим же связана неполнота кооперативной теории в части выбора того или иного решения из большого их числа и выбор в решении некоторого определенного дележа.

В-третьих, антагонистические игры с самого начала оказались тесно связанными с приложениями, как внутриматематическими, теоретическими (например, с математической статистикой), так и прикладными (военно-тактические задачи). Поэтому лица, занявшиеся теорией игр, стимулировались во вполне определенном направлении, не связанном непосредственно с кооперативной теорией.