назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [ 221 ] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]


221

ника. По существу, тот же критерий рассматривает Хейбрехтс [1]; она же анализирует принцип, основанный на минимизации некоторой характеристики отклонения функции выигрыша от значения игры.

Максиминный принцип поведения игроков не зависит от мощности множеств стратегий игроков. Поэтому переход от матричных игр к бесконечным антагонистическим играм никаких концептуальных, чисто теоретико-игровых трудностей не вызывает. Однако уже вопросы существования значения игры и ее решений выглядят при переходе к бесконечному случаю иначе.

2. «Как известно, в стратегических играх целесообразно использовать смешанные стратегии, т. е. вероятностные распределения на множествах чистых стратегий игроков. Однако для того, чтобы рассмотрение смешанных стратегий в игре (А, В, Н) имело смысл, необходимо существование выигрыша в условиях ситуации, образованной любой парой таких стратегий игроков, т. е. существование для любой пары смешанных стратегий F и G интеграла

J j Я (a, b)dF(a)dG(b). (3)

Этот вопрос является содержательным по следующей причине. Дело в том, что уже само рассмотрение вероятностной меры F на множестве А означает предварительное введение на А некоторой а-алгебры Ш подмножеств, измеримых в смысле F. Точно так же рассмотрение меры G связано с о-алгеброй 95 подмножеств В, измеримых в смысле G. Рассмотрение интеграла (3) связано с а-алгеброй подмножеств 6, порожденной всеми декартовыми произведениями вида К х L, где К £ 21 и L £ 93. Если функция выигрыша Н измерима относительно а-алгебры 6, то интеграл (3) существует.

3. Прообразом многочисленных теорем существования в бесконечных антагонистических играх явилась теорема Билля [1] о полной определенности игр на единичном квадрате с непрерывной функцией выигрыша. Фактически при доказательстве этой теоремы используется только то, что сегменты стратегий игроков в своей естественной евклидовой топологии являются условно компактными пространствами *), а функция выигрыша непрерывна в этой же топологии.

Таким образом, оказывается существенным, какая топология (или, в частности, какая метрика) принята на множестве стратегий игроков.

4. Очевидно, расстояние, определяемое между стратегиями, должно отражать различие между ними. Это различие может быть чисто «физическим», описывающим разницу между ними, как фактически осуществляемыми действиями игроков. Но выбор игроком той или иной стратегии производится им не на основании внешних, «физических» ее характеристик, а во имя максимизации своего выигрыша.

Вальд [2] вводит на множествах стратегий естественную метрику (которую можно было бы назвать также равномерной или чебышевской; сам Вальд называет ее иногда также метрикой Хелли), полагая в игре (А, В, Н) для любых а, а" £ А

Ра (а\ а") = sup Н (а, Ъ) - Н (а", Ъ) \

Ь£В

*) Пространство называется условно компактным (в иной терминологии - вполне ограниченным), если из каждой бесконечной последовательности его элементов можно выбрать сходящуюся в себе подпоследовательность.



и аналогично для пространства стратегий второго игрока. Очевидно, в естественной топологии функция выигрыша является непрерывной по каждой из своих переменных (т. е. по стратегии каждого из игроков).

Пусть 21 и 23 - о-алгебры подмножеств А и В, порожденные открытыми в естественной топологии подмножествами пространств А и В. Обозначим через © наименьшую о-алгебру, содержащую все подмножества А X В вида К х L, где К £ 21 и L £ S3. Как показал Вальд [2], если хотя бы одно из пространств А и В в естественной топологии сепарабельно, то функция выигрыша Н измерима относительно 6.

Вальд доказал [2] полную определенность бесконечных антагонистических втр/% которых пространства стратегий игроков условно компактны в естественней топологии (замечательно, что из условной компактности пространства стратегий одного игрока вытекает условная компактность пространства стратегий другого). Он же установил, что если вместо условной компактности пространств стратегий потребовать их компактность, то эта теорема может быть усилена: вместо полной определенности игры можно утверждать существование оптимальных стратегий у игроков. При всей своей кажущейся наглядности этот результат является весьма тонким и нетривиальным.

5. К сожалению, естественная топология в ряде случаев оказывается слишком «грубой». Например, если в игре на единичном квадрате функция выигрыша разрывна в каждой точке диагонали квадрата (в остальных точках она может быть и непрерывной), то расстояние между любыми двумя точками больше некоторого фиксированного положительного числа, так что пространства стратегий игроков в естественной топологии сплошь состоят из изолированных точек.

Поэтому наряду с естественной употребляются и иные способы топо-логизации пространств стратегий игроков. Так, Карлин [1] вводит слабую топологию, в которой последовательность стратегий Д, /2, ... одного из игроков (пусть для определенности первого) объявляется сходящейся к стратегии /, если для любой стратегии g второго игрока

Ясно, что нужные свойства пространства стратегии в условиях слабой топологии достигаются при более широких условиях относительно функции выигрыша, чем в условиях естественной топологии. Поэтому рассмотрение слабой топологии приводит к более сильным утверждениям. В частности, Карлином доказывается полная определенность игры на единичном квадрате, если точки разрыва функции выигрыша заполняют всю диагональ.

Весьма общая теорема о существовании значений у антагонистических игр была доказана У Вень-цзюном [1].

6. Еще со времен статьи Билля [1] известны примеры антагонистических игр, не имеющих значения. Так, не имеет значения игра, в которой множествами стратегий игроков являются множества натуральных чисел, а функция выигрыша определяется соотношением

Естественный подход к играм такого рода состоит в дальнейшем расширении понятия стратегии, охватывающем понятие смешанной стра-

НтЯ(/„, g) = H(f,g).

1, если т>п, О, если т = п, - 1, если т <С п.



тегии как вероятностной меры на множествах чистых стратегий. Этот подход приводит к принятию в качестве новых, обобщенных стратегий игроков конечно-аддитивных мер на множествах их чистых стратегий. Множество конечно-аддитивных мер оказывается уже достаточно универсальным: в конечно-аддитивных мерах как стратегиях каждая игра с измеримой ограниченной функцией выигрыша имеет значение. Идея этого результата восходит к работе Карлина Щ, а строгое доказательство принадлежит Е. Б. Яновской [2]. Она же в работе [1] впервые начала рассма-. тривать игры с неограниченными функциями выигрыша.

7. Пожалуй, за исключением теорем существования, в юрии игр нет других утверждений, справедливых для всех игр и .точно широких классов. Более того, даже в отдельных примерах сконечных игр, о которых получены какие-либо нетривиальные результаты, множества стратегий являются либо подмножествами конечномерных евклидовых пространств (или же вероятностных мер на таких множествах), либо множествами конечномерных векторов, каждая компонента которых является ограниченной функцией, определенной на заданном подмножестве евклидова пространства. Игры на единичном квадрате, очевидно, относятся к первому из указанных классов. Им посвящено наибольшее количество работ.

8. Очевидно, каждую матричную игру можно рассматривать как полиэдральную и тем самым как бесконечную. Наоборот, решение полиэдральных игр потому и является столь сравнительно простым, что каждая такая игра определяется конечным числом параметров.

Следующими по сложности играми на единичном квадрате являются те, в которых функция выигрыша Н (х, у) имеет вид

23 г, (*)«,(»)• (4)

Такие игры называются вырожденными. С точки зрения математического ожидания выигрыша каждую смешанную стратегию F игрока I в вырожденной игре с функцией выигрыша (4) можно описать ее моментами

$rt(x)dF(x) о

(аналогичное справедливо и для игрока II). Поэтому смешанные стратегии в вырожденной.,игре с функцией выигрыша (4) можно с точностью до эквивалентности описывать п параметрами. Свойства вырожденных игр рассмотрены в статьях Дрешера, Карлина и Шепли [1], Дрешера и Карлина [1], а также Гейла и Гросса [1].

Важным стимулом в разработке теории вырожденных и особенно полиномиальных игр была надежда, что такими играми удастся аппроксимировать произвольные непрерывные игры на единичном квадрате. Эта надежда не сбылась, так как, во-первых, сами полиномиальные игры оказались весьма сложными, а во-вторых, сходимость полиномов к непрерывным функциям, вообще говоря, является довольно медленной. Систематическое изложение полученных результатов, касающихся этого класса игр, содержится в гл. 11 монографии Карлина [31.

9. Большое число исследований посвящено играм с выбором момента времени. Естественная интерпретация этих игр как «дуэлей» состоит в следующем. Предположим, что каждый из двух противников может в любой

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [ 221 ] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232]