Лучше всего проводить это рассмотрение, прослеживая ходы . . . . . ., J(v по мере осуществления соответствующих выборов.

Сосредоточим поэтому наше внимание на некотором конкретном ходе Если оМк является случайным ходом, то прибавить больше нечего: выбор производится случайным образом, ничья воля и ничье знание других вещей не могут на него повлиять. Однако, если оМ является личным ходом игрока кк, то весьма важным является состояние информации этого игрока в процессе формирования его решения относительно т. е. формирования его выбора (Тх.

Единственное, о чем он может быть информирован, это о выборах, соответствующих ходам, которые предшествуют оЖх, т. е. ходам е#1? . . . . . ., Иначе говоря, он может знать значения <ть . . ., ax-i- Но он

может всего этого и не знать. Важной особенностью игры Г является объем информации относительно а4, . . ., сгх ь которой игрок кК располагает в момент, когда ему предстоит выбрать ак. Вскоре мы выясним на нескольких примерах природу подобных ограничений.

Простейший тип правил, описывающих состояние информации игрока к к при ходе заключается в следующем. Указывается множество Лк, состоящее из некоторых чисел, взятых из Я = 1, х - 1. Принимает-

ся, что игрок кк знает значения сгя, если X принадлежит Лк, и совершенно не располагает информацией относительно ая при любом другом X.

Если X принадлежит Л„, то будем говорить, что X предваряет х. Отсюда следует, что X принимает одно из значений 1, . . ., х - 1, т. е. X <.к\ однако обратное заключение не обязательно будет верно. Иными словами, если рассматривать вместо Я их соответствующие хощаоМ% ис!х, то можно сказать, что из предварения следует предшествование *), но обратное может быть и неверным.

6.3.2. Несмотря на свой несколько ограничительный характер, понятие предварения заслуживает более подробного рассмотрения. Рассматриваемое как само по себе, так и в своем отношении к предшествованию {см. последнюю сноску), оно дает почву для возникновения различных комбинаторных возможностей. Эти возможности имеют различный смысл в тех играх, в которых они возникают; сейчас мы проиллюстрируем их на нескольких примерах особенно характерных ситуаций.

6.4. Предварение, транзитивность и сигнализация

6.4.1. Мы начнем со следующего замечания. Существуют игры, в которых предварение и предшествование совпадают. Например, ими будут те игры, в которых игрок к, совершающий свой личный ход qM, информирован об исходах выборов на всех предшествующихходах оМи . . ., o#x i. Типичным представителем этого класса игр с «полной» информацией являются шахматы. Обычно считается, что подобные игры носят особенно рациональный характер. В § 15, особенно в п. 15.7, мы увидим, в каком смысле можно точно интерпретировать это утверждение.

Шахматы обладают еще и той характерной чертой, что все ходы в этой игре являются личными. Однако отмеченное выше свойство, т. е. эквивалентность предварения и предшествования, можно сохранить даже в играх, в которых производятся* случайные ходы. Примером такой игры

г) Во времени, т. е. X < х означает, что оМ происходит перед сМК.

является трик-трак Можно высказать некоторые сомнения по поводу того, не нарушает ли наличие случайных ходов «рационального характера» игр, упомянутых в связи с предыдущими примерами.

В п. 15.7.1 мы увидим, что этого не произойдет, если придерживаться некоторого весьма правдоподобного толкования этого «рационального* характера». Неважно, являются ли все ходы личными или нет; существенным является совпадение предварения и предшествования.

6.4.2. Рассмотрим теперь игры, в которых из предшествования не следует предварения. Так бывает, когда игрок /сх, делающий свой личный ход оМк, не информирован обо всем происшедшем ранее. Существует обширный класс игр, в которых это имеет место. Эти игры обычно содержат как случайные, так и личные ходы. Обычно считается, что эти игры носят смешанный характер: хотя их исход существенно зависит от случая, сильное влияние на него оказывают также и стратегические способности игроков.

Удобными примерами являются покер и бридж. Эти две игры показывают также, какие характерные черты понятия предварения могут обнаружиться, если оно обособлено от понятия предшествования. Этот момент, по-видимому, заслуживает несколько более подробного рассмотрения.

Предшествование, т. е. хронологическое упорядочение ходов, обладает свойством транзитивности 2). В наших же примерах предварение но обязано быть транзитивным. Действительно ни в покере, ни в бридже это не так, и условия, при которых это имеет место, довольно характерны.

Рассмотрим в связи с этим покер. Пусть оМ - случайный ход, состоящий в сдаче игроку 1 его карт; оМ% - первая ставка игрока 1, его личный ход; <Мк - первая последующая ставка игрока 2, личный ход второго игрока. Тогда оМ предваряет оЖ% в. оМх предваряет о/Мх, но оМ не предваряет Таким образом, мы встретили нетранзитивность, но в ней участвуют оба игрока. Действительно, на первый взгляд может показаться неправдоподобным, что предварение может оказаться в какой-либо игре яетранзитивным по отношению к личным ходам одного и того же игрока. Для этого требовалось бы, чтобы этот игрок между ходами оМ% и оМ «забывал» исход выбора, связанного с оМ 4). Трудно представить себе, каким пут$м могло бы реализоваться или тем более вынуждаться подобное-забывание. Тем не менее следующий наш пример иллюстрирует именно эту ситуацию.

Обратимся к бриджу. Хотя в бридже участвуют четыре игрока, которых можно обозначить через А, Б, В, Г, эту игру следует считать-игрой двух лиц. Действительно, А и В образуют объединение, которое-является более чем добровольной коалицией; то же относится к игро-

*) Случайными ходами в трик-траке являются бросания кости, определяющие общее число клеток, на которое могут продвинуться шашки каждого игрока. Личными ходами являются решения о распределении общего числа продвижений, разрешенных данному игроку, между его шашками. Личным ходом является также решение игрока о распределении возможностей при выпадении дубля. Во всяком случае, на каждом ходе исходы выборов всех предшествующих ходов видны на доске всем.

2) Это значит, что если оМ предшествует <М%, а сМ% предшествует оМ, то оМ предшествует оМ%. Особые случаи, когда наличие или отсутствие транзитивности имела серьезное значение, анализировались в пп. 4.4.2 и, 4.6.2 из гл. I в связи с отношением доминирования.

3) Иначе говоря, игрок 1 делает свою первую ставку, зная свои собственные карты; игрок 2 делает свою первую ставку, зная предыдущий торг игрока 1; однако в то же время игрок 2 не знает карт игрока 1.

4) Мы предполагаем, что предваряет <М% и оМ% предваряет е#х, но еМ непредваряет оМ.

кам Б ж Г. Для игрока А объединение с Б или Г вместо объединения с В было бы «жульничеством» в том же самом смысле, в каком было бы жульничеством подглядывание в карты игрока Б или ход не в масть. Иначе говоря, это было бы нарушением правил игры. Если три (или более) игрока играют в покер, то вполне допустимо для двух (или более) из них, если их интересы параллельны, объединиться против оставшегося игрока. Однако в бридже должны объединяться игроки А и В и аналогично Б и Г, в то время как объединение А и Б запрещено. Естественный способ описания этого факта состоит в обозначении А и В одним игроком 1, а. Б и Г - одним игроком 2. Можно привести следующую равносильную формулировку: бридж является игрой двух лиц, но оба игрока 1 и 2 не действуют в нем самостоятельным образом. Игрок 1 действует4 посредством своих представителей А и 5, а игрок 2 - посредством своих представителей Б ж Г.

Рассмотрим теперь представителей А ж В игрока 1. Правила игры ограничивают их общение, т. е. обмен информацией между ними. Например, пусть о#р, - случайный ход, состоящий в сдаче игроку А его карт, Si - первая карта, с которой ходит А, т. е. личный ход игрока 1; оМ - карта, с которой ходит при розыгрыше этой взятки 5, т. е. личный ход игрока 1. Тогда <М предваряет o/ft ж оМ% предваряет с„, но оМ не предваряет оМ% *). Таким образом, мы снова сталкиваемся с нетранзитивностью, но на этот раз она относится уже только к одному игроку. Отметим, что нужное нам «забывание» хода оМ между ходами оМк и4и было достигнуто здесь путем «раздвоения личности» игрока 1 на А ж В.

6.4.3. Приведенные примеры показывают, чтонетранзитивность отношения предварения соответствует хорошо известной компоненте практической стратегии, а именно возможности «сигнализации». Если при ходе с#х не имеется никаких сведений о М, но оказывается возможным наблюдать при ходе оЖх исход хода &ж&оМ% оказывает влияние оЛ1 (из-за знания об исходе оМу), togIb действительности является сигналом от о/М kcIl т. е. некоторым косвенным носителем информации. Теперь могут возникнуть две противоположные ситуации в зависимости от того, являются лж оМх и ходами одного и того же игрока или двух различных игроков.

В первом случае, который, как мы видели, имеет место в бридже, интересы игрока (который есть к% = &х) лежат в содействии «сигнализации», т. е. в распространении информации «в пределах своей фирмы». Это стремление находит свою реализацию в широкой системе «условных сигналов» в бридже 2). Они являются частями стратегии, а не правил игры (см. п. 6.1) и, следовательно, могут варьироваться 3), в то время как сама игра в бридж остается неизменной.

Во втором случае, который, как мы видели, имеет место в покере, интересы игрока (теперь мы имеем в виду игрока к%\ заметим, что здесь

г) Иначе говоря, А ходит со своей первой карты, зная собственные карты; В участвует в разыгрывании этой взятки, зная первую карту, с которой пошел А; в тс же время В не знает имеющихся у А карт.

2) Отметим, что эта «сигнализация» считается в бридже абсолютно честной, если только она осуществляется путем действий, которые для этого предусмотрены правилами игры. Например, вполне допустимо, чтобы игроки А и В (две составляющих игрока 1, см. п. 6.4.2) договорились - до начала партии! - о том, что «начальный торг» на два козыря указывает на слабость других мастей. Однако недопустимо, т. е. является жульничеством, указывать на слабость своих карт путем интонаций голоса при торге или постукивания по столу.

3) Они могут быть даже различными для двух игроков, т. е. для А и В, с одной стороны, и Б и Г - с другой. Однако «в пределах фирмы» одного игрока они должны совпадать.